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4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,解得,积分,即,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次,得原方程的通解为,例1,2不显含自变量t的方程,一般形式:,因为,用数学归纳法易得:,将这些表达式代入(4.59)可得:,即有新方程,它比原方程降低一阶,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,第三步:,解方程,即得原方程的通解,解,令,则方程化为,从而可得,及,这两方程的全部解是,例2,再代回原来变量得到,所以得原方程的通解为,3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶,的非零解,令,则,代入(4.69)得,即,引入新的未知函数,方程变为,是一阶线性方程,解之得,因而,则,因此(4.69)的通解为,解题步骤:,第一步:,第二步:,解之得,即,第三步:,第四步:,(4.69)的通解为,注,一般求(4.69)的解直接用公式(4.70),解,这里,由(4.70)得,例3,代入(4.2)得,事实上,若,则,即,因此,对(4.67)仿以上做法,二、二阶线性方程的幂级数解法,对二阶变系数齐线性方程,其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.,下面考虑该方程及初始条件,用级数表示解?,定理10,定理11,例4,解,设级数,为方程的解,由初始条件得:,因而,将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得,即,因而,也即,故方程的解为,例5,解,将方程改写为,易见,它满足定理11条件,且,将(4.75)代入(4.74)中,得,由(4.76)得,即,从而可得,因此(4.77)变为,若取,则可得(4.74)的另一个特解,由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.,因而(4.74)的通解为,因此,不能象上面一样求得通解;,因此,(4.74)的通解为,例6
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