太理水利工程计算及设计-常微分方程初值问题的数值方法

第七章常微分方程初值问题的数值方法,第一节有限差分解法,本章内容,许多实际问题的数学模型是微分方程的定解问题,而能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法。,问题的描述和基本概念,一阶常微分方程初值问题的形式,初值问题：给定起始点（t=t0）上未知量y的值而确定其未来（tt0）值的问题叫初值问题。边值问题：未知量y的值给定在多个点上的问题叫边值问题。,解的存在性与唯一性,设有初值问题,若f(y,t)在区域G：0tT，y内连续，且存在常数L，使得对于0tT及所有的y、y*均有,成立，初值问题（8-4）的解存在且唯一。,（8-4）,里普希兹条件,（8-5）,初值问题数值解法的提法,所谓初值问题的数值解法，就是寻求问题的解y(t)在一系列节点t0t1t21的方法为多步法。,如果计算yj+1要用到yj+1本身，则称之为隐式法，否则为显式法。,隐式法与显式法,第一节有限差分解法,一、有限差分的基本概念,有限差分法是求解微分方程的基本数值方法之一，是以小而有限的间距上变量的变化（差分）的比值（差商）代替某点的导数（或偏导数），即令,从而使连续的初值问题离散化为节点上的代数方程。由此建立的代数方程称为差分方程。,差分近似式可由泰勒级数得到。,第一节有限差分解法,1.向前差分近似式,解得,舍去O(t)项，得到导数的向前差分近似式,（8-7）,截断误差为O(t）,（8-6）,第一节有限差分解法,2.向后差分近似式,解,，并舍去O(t)项，得到导数的向后差分近似式,（8-9）,截断误差为O(t）,（8-8）,第一节有限差分解法,（8-11）,截断误差为O(t2）,（8-10）,两式相减得,3.中心差分近似式,（8-6）,（8-8）,第一节有限差分解法,4.二阶导数的差分近似式,（8-12）,截断误差为O(t)2）,两式相加得,（8-6）,（8-8）,第一节有限差分解法,如记变量t的等距离散值tj=t0+jh，其中h=tj-tj-1,j=1,2,n，则上述各差分近似可简记为,向前差分向后差分中心差分二阶差分,这里yj=y(tj)。,（8-13）（8-14）（8-15）（8-16）,5.变量t为等距离散值的差分近似式,第一节有限差分解法,第一节有限差分解法,（1）相容性是指当h=t0时，差分方程应逼近微分方程。相容性保证了差分方程的截断误差与步长h一同趋于零。截断误差趋于零愈快，差分方程的准确度愈高，因而数值解的准确性愈好。,6.差分近似式的选择以及由此构造的差分解法应满足相容性、收敛性及稳定性的要求。,（2）收敛性是指当h=t0时，差分方程的数值解应趋于微分方程的准确解。,（3）稳定性是指对于固定的步长h，当t充分大时，数值解的误差能限制在一定范围内，不致使误差淹没解。,第一节有限差分解法,二、欧拉法及其简单改进,欧拉法是基于差分法的最简单的显式单步法，尽管其精度较低，但算法简单，起源最早，也是其它较复杂数值解法的一个很好的引导。,一阶常微分方程初值问题的形式,用向前差分式,1.欧拉法,第一节有限差分解法,代替导数，整理得,（8-18）,计算式（8-18）就是欧拉法公式。,欧拉法的几何意义：欧拉法常称为折线法。,第一节有限差分解法,2.向后欧拉公式,以t=tj+1处的向后差分式,取代初值问题（8-4）中的导数，则有,从而得到向后欧拉公式,（8-20）,第一节有限差分解法,3.中点欧拉公式,以t=tj处的中心差分式,取代初值问题（8-4）中的导数，就可得到中点欧拉公式,（8-21）,第一节有限差分解法,4.梯形欧拉公式,将以下两式相加并除以2,可得到梯形欧拉公式,（8-22）,可改写为迭代形式求解，如,（8-23）,欧拉公式,向后欧拉公式,式中是yj+1在第n次迭代的值，且。,用,5.改进的欧拉法（预测校正法）,代替下式中右端项中的yj+1,得到,（8-24）,式（8-24）称为改进的欧拉法，也称为预测校正法。,欧拉公式,梯形欧拉公式,第一节有限差分解法,而微分方程的精确解满足泰勒级数,近似解满足欧拉方程,三、欧拉法的误差分析,1.局部截断误差,在一步中产生的误差而非累积误差。,假定t=tj时的精确解y(tj)已知，将其代入欧拉方程，得到,（8-25）,第一节有限差分解法,（8-26）,式（8-26）减去（8-25）得,（8-27）,Ej+1为局部截断误差，Ej+1=O(h2)。,（8-25）,第一节有限差分解法,2.总体误差（整体误差）,从式（8-18）减去（8-25）,（8-28）,j+1,j,（8-25）,（8-18）,有,假定f对y有连续偏导数，由微分中值定理得,并记，则有,为了简化讨论，可把Pj，Ej+1看作常数，分别记为P和E，则,由于y0=y(t0)，故0=0，从而,第一节有限差分解法,由于E=O(h2)及tj+1=(j+1)h,故,表明欧拉法的总体截断误差为O(h)。,可以证明向后欧拉法和中点欧拉法的总体误差也是O(h)。梯形欧拉法和改进欧拉法的总体误差是O(h2)。,第一节有限差分解法,例1,用欧拉法计算初值问题,解本例的欧拉法公式为,