初中数学图形与几何课标解读11.06

讲 座 （数数学学） 题题目目： 初中数学图形与几何课标解读 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 1 目目 录录 一、删除和增加的内容一、删除和增加的内容.1 1 （一）删除的内容：.1 1.图形的认识 .1 2.图形与变换 .1 3.图形与证明 .1 （二）增加的内容.1 1.必学内容： .1 2.选学内容： .2 二、具体内容分析二、具体内容分析.2 2 （一）图形的性质.2 1.关于“点、线、面、角” .2 2.关于“相交线与平行线” .3 3.关于“三角形” .3 4.关于“四边形” .4 5.关于“圆” .5 6.关于“尺规作图” .6 7.关于“定义、命题、定理” .6 （二）图形的变化.7 1.图形的轴对称、旋转、平移 .7 2.图形的相似 .8 3.图形的投影 .10 （三）图形与坐标.11 1.坐标与图形位置 .11 2.坐标与图形运动 .11 三、教学实施建议三、教学实施建议.1212 1.重视过程，贯穿始终.12 2.整体设计，逐步实现.13 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 1 初中数学图形与几何课标解读初中数学图形与几何课标解读 一、删除和增加的内容一、删除和增加的内容 （一）删除的内容：（一）删除的内容： 1.图形的认识图形的认识 （1）关于梯形、等腰梯形的相关要求 （2）探索并了解圆与圆的位置关系 （3）关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带 等图形的欣赏等 2.图形与变换图形与变换 关于镜面对称的要求 3.图形与证明图形与证明 等腰梯形的性质和判定定理 （二）增加的内容（二）增加的内容 增加的内容包括两个部分，一是必学内容，一是选学内容 1.必学内容：必学内容： （1）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义 （2）了解平行于同一条直线的两条直线平行 （3）会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 2 （4）了解并证明圆内接四边形的对角互补 （5）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 （6）过一点作已知直线的垂线 （7）已知一直角边和斜边作直角三角形 （8）作三角形的外接圆、内切圆 （9）作圆的内接正方形和正六边形 2.选学内容：选学内容： （1）了解平行线性质定理的证明 （2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 （3）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 （4）了解相似三角形判定定理的证明 二、具体内容分析二、具体内容分析 关于第三学段，传统内容主要是运用演绎推理的方法、依据扩大的公理化 体系证明一些平面图形的性质。 课程标准（2011 年版） 把以“图形的认识、 图形与变换、图形与坐标、图形与证明”四条线索展开空间与图形的课程内容 调整为“图形的性质、图形的变化、图形与坐标”三个部分，其中“图形的性 质”基本上是整合了上述的第一和第四部分，这样的表述中使“图形的认识” 能够与“图形的概念和命题”有机结合，形成一个完整的认识过程。总体上看， 图形与几何领域的内容设置充分体现了课程目标的要求，即以图形为载体，培 养学生的空间观念、推理能力，使学生更好地认识和描述我们生存的现实空间， 运用几何语言和知识进行交流，分析并解决现实世界中的问题。 与过去的内容相比， “图形与几何”领域的内容结构与具体的内容及要求都 有较大的变化。大量使用“探索性质”这样的句型，要求学生在“做数学” 的活动中，通过自主探索知识和掌握图形性质，积累数学活动的经验，发展空 间观念和推理能力。同时，还大力提倡“动手实验、自主探索、合作交流”的 学习方式。削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，删去了大量繁难的几何 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 3 证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。 第三学段“图形与几何”的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图 形与坐标三个部分。 （一）图形的性质（一）图形的性质 包括 9 个基本事实，探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定 义、命题、定理等内容。 1.关于关于“点、线、面、角点、线、面、角” 这部分内容主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础。这里， 有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小” “比较角的大小” ，在运用图形 运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换 算，并会计算角的和、差” ， 课程标准（2011 年版） 不要求进行角的倍、分 的计算。 2.关于关于“相交线与平行线相交线与平行线” （1）两条直线的位置关系有相交、平行两种， 课程标准（2011 年版） 没有把两条直线重合作为第三种位置关系。 （2）两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。这里，不仅有 特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系两 直线相交所成角的大小成为特殊值（900）时，两直线的位置关系就是特殊的相 交（垂直） 。 （3） “两条直线相交，只有一个交点” ， 课程标准（2011 年版） 既没 有把这个显然的结论作为基本事实（若作为基本事实，它与基本事实（1）不独 立） ，也没有要求根据基本事实（1）用反证法加以证明。 （4）需要指出：课程标准（2011 年版） 没有把“两直线平行，同位角 相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。这样处理一是为了减少 “基本事实”的个数，二是避免学生产生难以证明的结论就可以作为“基本事 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 4 实”的误解。这个定理的证明要运用反证法完成（参见课程标准（2011 年版） 附录 2 例 59） ，只要求学生“了解” 。 （5）识别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。这里，重要 的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练，而是引导学生感 受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位 置关系）的内在联系。 3.关于关于“三角形三角形” （1）三角形内角和定理是一个十分重要的定理。第二学段要求学生“了解 三角形内角和是 1800” ，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这 个结论。 （2） 课程标准（2011 年版） 表述判定三角形全等的三个基本事实，使 用了对应边或角“分别”相等（不用“对应”相等）的表述方式，这是因为 “对应相等”的意义难以给出明确定义，又可能与全等三角形的对应边、对应 角混淆。 另外， “两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） ” 的表述中，特别指出“一组等角的对边相等” ，是为了避免理解这个定理时可能 发生歧义。 （3）线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理，可以通过图形 的轴对称获得猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于 学生找到证明的思路。 （4）关于直角三角形的性质， 课程标准（2011 年版） 只要求探索并掌 握“直角三角形的两个锐角互余” “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这两个定理，没有把“直角三角形中 300角所对的边等于斜边的一半”作为定 理；关于直角三角形的判定，除“两个角互余的三角形是直角三角形”和勾股 定理的逆定理外，不要求证明其他的判定方法（比如，若一个三角形一边上的 中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形） 。 （5）关于三角形的“心” ， 课程标准（2011 年版） 要求“了解”三角 形的重心， “知道”三角形的内心、外心，会“作三角形的外接圆、内切圆” ， 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 5 不要求再做进一步的延伸（比如，三角形的重心把中线分成的两条线段之比为 2:1 等） ；课程标准（2011 年版） 不要求介绍三角形的“垂心”的概念。 4.关于关于“四边形四边形” （1）运用归纳的方法可以得到多边形的外角和公式。多边形的外角和公式 与三角形的内角和定理之间有着密切的联系：由三角形内角和定理，可以推导 出多边形内角和公式，进而推导出多边形的外角和等于 3600的结论；也可以先 推出多边形的外角和等于 3600的结论，然后得到多边形内角和公式、三角形内 角和定理。 （2） “理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关 系” ，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越来 越多，判定它需要的条件也越来越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、 正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一样环环紧扣，这条 “知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想，而且也是引导学生感悟“分类” 思想的好素材。 （3）四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的 有关知识。但是，四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性， 三角形具有稳定性。如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来 困难。比如，学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于边数大于 或等于 4 的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须 定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形” ；而三角形具有稳定性，由 三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角 形” 。 （4）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除课程 标准（2011 年版） 列出的条目外，不要求增加其他的判定定理（如“一组对 边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形”等） 。 平行四边形中的数学思想方法平行四边形中的数学思想方法 一、分类讨论思想一、分类讨论思想 当某个问题有多种可能时，应将所有的情况逐一写出来，再进行讨论，决 定取舍，例如：已知 a=5cm，b=10cm，c=20cm，以其中两条对角线，另一条为 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 6 一边，能作出几个不同的平行四边形呢？就是要运用分类讨论的思想，进行分 情况来讨论解决 例 1把边长为 3cm，5cm 和 7cm 的两个三角形拼成一个四边形，一共能拼 成几种不同的四边形？其中有几种是平形四边形？ 分析：由于要拼成四边形，故两个三角形一定有两条边重合在一起，这条 重合的边即为四边形的对角线因此找出问题的突破口，分三种情况讨论不难 得出正确的答案 （1）以 3cm 长的边为对角线，有两种拼法，得到两个四边形中有一个是平行四 边形 如图 1（1）所示： （2）以 7cm 长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中有一个平 行四边形如图所示 1（2）： （3）以 5cm 长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中也有一个 是平行四边形，如图所示 1（3）： 答：总共拼成 6 种不同的四边形，其中有 3 种是平行四边形 二、构造思想二、构造思想 学了平行四边形后，有不少题目，利用根据所给图形的形状及特点通过添 加辅助线构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质使问题得到解决 例 2已知：ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线 上一点，BE=CF，EF 交 BC 于 D，请问：DE 与 DF 有何等量关系？ 理由如下：如 2，过 E 作 EMAC 交 BC 于 M，连 EC、MF， AB=AC，B=ACB，又ACB=EMB，B=EBM， 则 BE=EM，BE=CF，EM=CF，则四边形 EMFC 为平行四边形， DE=DF 例 3如 3，正方形 ABEF 和 ACGH 在ABC 外侧，M 是 BC 边的中点 试说明：FH=2AM A B C E M D F 图 2 M A B EF D C G H 图 3 图 1（1） 图 1（2） 图 1（3） 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 7 证明：以 AB、AC 为边作一 ABCD，连 MD，M 为 BC 中点，则 AM=DM，在 FAH 和ABD 中，AB=AF，BD=AC=AH， ABD=180BAC，FAH=360FABCAHBAC= 180BAC，ABD=FAH，ABDFAH，故 FH=AD=2AM 三、转化（变换）思想三、转化（变换）思想 体现最为突出的是将梯形问题转化为三角形、平行四边形问题来解决， 而这种转化又通常是利用平移、旋转引辅助线来实现的 例 4如图 4 所示：已知六边形 ABCDEF 的 6 个内角均为 120， CD2cm，BC8cm，AB8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长 分析：分别求出六条边的长度，再求六边形的周长显然不可能，从图中可 以发现 AF 分别绕 A 点，F 点旋转 60后分别与 BA，EF 在同一直线上同理 DC 分别绕 D，C 旋转 60后，分别与 ED,BC 在同一直线上，如图所示，得到一个 平行四边形 EMBN，MFA 与DCN 都为等边三角形，所以六边形的周长应等于 平行四边形的周长减去 AF+DC 解：由已知可得MN60，又BE120 所以 ENMB，EMNB，所以四边形 MBNE 为平行四边形又因为 AMF，CDN 为等边三角形所以 MA=AFMF5cm，CDCNDN2cm MBEN8+513cm，MEBN8+210cm 故 ED13-211cm，EFME-MF10- 55cm 得六边形的周长为 8+8+2+11+5+539cm 四、归纳探索思想四、归纳探索思想 例 5如图 5，ABC 中 ABAC，点 P 在 BC 上任一点， PEAC，PFAB 分别交 AB，AC 于 E、F， 试问线段 PE，PF，AB 之间有什么关系？试证明你的结论 分析：对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题，其解题思路一般是从 给的条件出发探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明 答：由线段 PE，PF，AB 之线段长度，不难得出三线段之间的关系为 PE+PFAB 证明：PEAC EPBC 又ABAC BC EPBB PEEB PEAC PFAB 四边形 AEPF 是平行四边形 PFAE 由+得 PE+PFEB+AE，即 PE+PFAB 五、实际应用思想五、实际应用思想 图 4 图 5 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 8 例 6如图 6，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角 A、B、C、D 处 均有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼，想使池塘面积扩大一倍，又想保 持核桃树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问田村能否实现这一设 想， 若能，请你画出图形，若不能，请说明理由 （画图要留下痕迹，不写作法） 分析：由平行四边形的特征可知，四棵树应在平行四边形 的边上，面积要扩大一倍，则把BOA、BOC、COD、AOD 的面积扩一 倍即可，分别过点 B，点 D 作 AC 的平行线；过点 A，点 C 分别 BD 的平行线，不 难证明四边形 ABCD就是符合条件的平行四边形的池塘 答：能，画法如图 （5）三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地展示“合情推理提 出猜想演绎推理”的过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种 推理功能不同，但相辅相成。 三角形中位线定理的教学 问题：怎样把一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平 行四边形？ B A F E D C 操作：1.沿ABC 的中位线 DE 将ABC 剪成两部分 2.将ADE 绕点 E 旋转 180到CFE 的位置。 BCFED 是四边形吗？如果是，它是怎样的四边形？ 图 6 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 9 运用图形的运动方法探索并得到猜测： 因为 DE 绕点 E 旋转 180到 EF，所以 DEF 是一条直线，所以 BCFED 是四边 形。 因为图形的旋转不改变图形的大小，所以 CF=AD,DAC=FCA,于是 CFAD,可 知四边形 BCFD 是平行四边形。于是 DFBC,DF=BC,可知 DE= BC。 2 1 运用演绎推理证明上述结论：延长 DE 到点 F，使 EF=DE，连结 FC .可证 AEDCEF ，得 CF=AD,CFAD.再证四边形 BCFD 是平行四边形，可得 DEBC, DE= BC 2 1 明晰结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 不难看出，上述演绎推理的思路源于图形的旋转变换。 5.关于关于“圆圆” （1） 课程标准（2011 年版） 把“探索并证明垂径定理” “探索并证明切 线长定理”作为选学内容，主要是出于控制教学和考试难度的考虑，同时又为 学有余力的学生提供了进一步学习的空间。这两个定理的探索和证明过程，同 样可以展示合情推理和演绎推理相辅相成的过程。 课程标准（2011 年版） 要 求“了解圆周角定理及其推论的证明” ，这个定理的证明需要对图形的位置关系 进行分类，这在几何定理的证明中并不多见。 （2）点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形” 与“数”的内在联系图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然。 这样的课程内容，有关的结论固然重要，但更重要的是其中蕴涵的数形结合的 思想。 （3）关于“探索切线与过切点的半径的关系” ， 课程标准（2011 年版） 只要求知道这种关系，并“会用三角尺过圆上一点画圆的切线” ，没有把圆的切 线的性质和判定作为定理。 （4）对于“正多边形与圆的关系” ， 课程标准（2011 年版） 只要求知 道通过等分圆周可以作正多边形，并且只要求“作圆的内接正方形和正六边” ， 不要求进行有关半径、 （半）边长、弦心距三者之间的有关计算；对于“正多边 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 10 形的概念” ，要防止“正三角形”的概念对“正多边形”概念教学的负迁移。 6.关于关于“尺规作图尺规作图” （1）用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他 尺规作图（如作三角形、作圆）的基础。 （2）像证明要做到“言必有据”一样， 课程标准（2011 年版） 要求 “在尺规作图中，理解作图的道理，保留作图的痕迹” ，即作图也要做到有根有 据。 课程标准（2011 年版） 的这种要求有助于发展学生的理解精神，应当予 以重视。 不同的尺规作图，其“道理”可能是一样的。比如，用尺规作一个角的平 分线、过一点作已知直线的垂线、做线段的垂直平分线，这三者本质上没有区 别：作图过程都是构造等腰三角形， “道理”都是线段垂直平分线的判定（或者 说是等腰三角形的性质） 。 尺规作图与图形的判定有着本质的联系。比如，已知三边、两边及其夹角、 两角及其加边，可以作出（确定）一个三角形，这与判定两个三角形全等的 “SSS，SAS，ASA”在本质上是一致的。已知两边和一角，作出的三角形不唯一， 判定三角形全等也没有所谓的“SSA” 。 7.关于关于“定义、命题、定理定义、命题、定理” （1）对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容， 课程标准（2011 年 版） 的要求是：“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其 逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成了其逆命题不一定成立。 ”不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别是条件和结论多于一个的命题 的逆命题。 事实上，学生在这部分内容学习中的困难主要源于对文字语言的理解、表 述和句式的变换（简单句变换为复合句） 。加强文字语言与结合图形的符号语言 之间的“翻译” ，是帮助学生克服这种困难的有效途径。 （2） 课程标准（2011 年版） 要求学生“知道证明的意义和证明的必要 性，知道证明要合乎逻辑” 。应当通过生活中、数学中的实例，使学生知道由合 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 11 情推理发现的结论不一定正确，通过演绎推理才能确认其正确性，因而证明是 必要的，并且证明必须合乎逻辑。 “知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。 ”用三段 论形式证明命题时，可以有不同的表达形式（参见课程标准（2011 年版） 例 62） ，对此应让学生了解。在此基础上，可以让学生学会简化的三段论表达 形式。 （3）对于“反例” ， 课程标准（2011 年版） 的要求是“了解反例的作 用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的” 。反例，有助于加深学生对命题 的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例往往是困难的， 课程标准（2011 年版） 不要求学生自己构造反例。 （4）对于“反证法” ， 课程标准（2011 年版） 的要求是“通过实例体会 反证法的含义” ，不要求学生独立运用反证法证明命题。反证法是一种间接证法， 它在思维方式上与直接证法有所不同。虽然用反证法证明命题的过程可以归纳 成“作出反设、推出矛盾、肯定结论”三个步骤，但是真正掌握反证法需要一 个长期的过程：通过实例体会反证法的含义借助相当数量的实例感悟反证法 的思想，不断积累经验，然后在适当的时机结合有关课程内容正式呈现反证法 及其步骤在反复应用的过程中不断加深对反证法的认识。把反证法作为一种 操作步骤进行训练，是难以取得好的教学效果的。 顺便指出两点：一是反证法与举反例是有区别的。前者用于证明一个命题 为真，其过程是先否定命题的结论，再由此推出与已知事项矛盾的结果，从而 肯定结论成立；后者是通过举出“命题的条件成立，结论却不成立”的例子， 断定一个命题为假。二是反证法的依据不是原命题与逆否命题的同真同假，原 命题与逆否命题的同真同假却是运用反证法加以证明的。 （二）图形的变化（二）图形的变化 1.图形的轴对称、旋转、平移图形的轴对称、旋转、平移 （1）对于轴对称、旋转、平移的概念， 课程标准（2011 年版） 的要求 是“了解”或“认识” ，这种要求借助图形直观不难达到，义务教育阶段不可能 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 12 也不必要给出图形变换的严格定义。 （2）对于轴对称、旋转、平移的基本性质， 课程标准（2011 年版） 要 求通过“探索”得到，即通过图形的运动变化去发现这些性质，而不是单纯地 把这些性质作为现成的结论呈现给学生。进行这样的探索活动，有助于学生感 受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究 图形性质奠定基础。 （3） “探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质” “探索 线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义，不仅是知道这些 图形是轴对称图形或中心对称图形，而且还包括运用轴对称性或中心对称性探 索这些图形的其他性质。 （4）轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易 混淆的概念。 “轴对称（中心对称） ”的意义是两个图形关于一条直线（一个点） 对称，它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系；“轴对称图形（中心 对称图形） ”揭示的是一个图形自身具有的特殊性质（对称性） 。 （5） 课程标准（2011 年版） 还要求：能画出简单平面图形（点、线段、 直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活 中的轴对称图形、中心对称图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应 用；运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。这些画图和设计图案的活 动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数 学的美及其应用价值，应当认真落实课程标准（2011 年版） 的这些要求。 2.图形的相似图形的相似 （1）相似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变换，相似变换改 变图形的大小，不改变图形的形状（即改变两点间距离的大小，不改变角的大 小） ，也称为“保角变换” 。 相似图形的性质在现实生活中和数学中都有着广泛的应用。但是，若要用 演绎推理的方法研究相似形的判定和性质，则需要许多相应的知识作基础。为 了降低探索相似三角形性质和判定的难度， 课程标准（2011 年版） 把“两条 直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实，且只要求 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 13 “了解”相似三角形的判定定理和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明 其他命题。 三角形相似与三角形全等有着紧密的内在联系（两个相似三角形的相似比 k=1 时，这两个三角形全等） ，可通过与三角形全等的判定定理进行类比，引导 学生探索相似三角形的判定定理，进一步感受特殊与一般的关系。 （2） “比例的基本性质、线段的比、成比例的线段”是研究相似形的基础。 课程标准（2011 年版） 除“比例的基本性质”外，不要求研究比例的其他 性质（如合比定理、分比定理等） 。 对于“黄金分割” ， 课程标准（2011 年版） 要求“通过建筑、艺术上的 实例了解黄金分割” ，感悟数学的美。线段的“黄金比” ，可以作为一元二次方 程求根公式的应用给予介绍。 （3）图形的相似， 课程标准（2011 年版） 要求“通过具体实例认识图 形的相似” ， “了解相似多边形的相似比” 。对于相似形的定义，可以用“各角相 等，各边成比例”来定义相似多边形。三角形的相似要特殊一些，它的相似条 件的获得由课程标准（2011 年版） 的一条基本事实加以保证，即“两条直 线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例” 。相似比，在解决有关图形的计 算问题时常有应用，应当予以关注。 图形的位似， 课程标准（2011 年版） 只要求“了解图形的位似，知道利 用位似可以将一个图形放大或缩小” 。借助实际生活经验，学生不难达到课程 标准（2011 年版） 的这个要求，不必进一步介绍关于“图形的位似”的其他 知识。 （4）对于“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”这个要求，应当 予以足够的重视。利用图形的相似解决一些简单的实际问题，必然经历“把实 际问题抽象成为数学问题解决数学问题对解得的结果作出符合实际意义的 解释”的过程，学生经历这样的过程，有助于他们感悟模型思想，感受数学的 价值。 上述要求中“简单”的意义，通常是指：当实际问题抽象为数学问题后， 就可以直接运用相似形的有关知识予以解决。 （5） 课程标准（2011 年版） 要求“利用相似的直角三角形，探索并认 识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA） ” 。不难探索发现：相似的直角三角形的 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 14 边与边的比值，随锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，利 用相似的直角三角形定义锐角三角函数便顺理成章。 （6）锐角三角函数进一步丰富了直角三角形的边与角之间的关系。对于 课程标准（2011 年版） “能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解 决一些简单的实际问题”的要求，不应简单把“解直角三角形”分为几种类型 进行训练，而应注重引导学生在全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据 实际情况选择恰当的方法求解。在用解直角三角形的相关知识“解决一些简单 的实际问题”的过程中，应当注重引导学生感悟模型思想，感受数学的价值。 需要指出：课程标准（2011 年版） 中“会使用计算器由已知锐角求它 的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，应当认真加以落 实。如果不掌握用计算器进行计算的技能，那么上述“解直角三角形” “解决一 些简单的实际问题”的要求将难以真正落实。 3.图形的投影图形的投影 （1）日常生活中，有许多关于中心投影、平行投影的实例，可以“通过丰 富的实例” ，引导学生“了解中心投影和平行投影的概念” 。 （2）平行投影是学习三视图的基础。画一个物体的三视图、根据视图描述 几何体，有助于发展学生的空间观念。 课程标准（2011 年版） 要求“会画直 棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图， 并会根据视图描述简单的几何体” ，这里的“简单物体”应是直棱柱、圆柱、圆 锥、球，或它们的组合。 课程标准（2011 年版） 没有给出“三视图”的概念，其要求也与机械 制图中的三视图有一定的区别，机械制图中画三视图有其自身的规定。比如， 左视图应画在主视图的右面，俯视图应画在主视图的下面，且主视图与俯视图 应“长对正” ，主视图与左视图应“高平齐” ，左视图与俯视图应“宽相等” 。但 课程标准（2011 年版） 的要求主要是“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主 视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几 何体” ，主要目标还是对学生空间观念的培养。 （3）画直棱柱、圆锥的侧面展开图，根据展开图想象和制作实物模型，有 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 15 助于学生感受三维空间与二维平面的相互转换，可以有效地发展学生的空间观 念。通过制作包装盒这样的实践活动，有助于学生感受数学与生活的联系，以 及数学的应用价值。 （三）图形与坐标（三）图形与坐标 1.坐标与图形位置坐标与图形位置 （1） 课程标准（2011 年版） 把平面直角坐标系的有关内容安排在“图 形与几何”的课程内容里，更好地体现了数与形的紧密联系。结合实例“用有 序数对表示物体的位置” ，能有效地引导学生感悟数与形的这种联系。 （2） 课程标准（2011 年版） 要求“理解平面直角坐标系的有关概念， 能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点 的位置写出它的坐标” 。对于平面直角坐标系，不仅应要求学生理解和掌握有关 知识，更应注重引导学生感悟“有序数对”与“点的位置”的对应关系， “数量 关系”与“图形位置关系”的内在联系，这对于“数与代数”中相关内容（如 函数的图象）的学习有着重要的作用。 （3） 课程标准（2011 年版） 要求“在实际问题中，能建立适当的直角 坐标系，描述物体的位置” 。建立坐标系的难度应当控制，但应使学生知道：在 不同的坐标系中，描述图形或物体位置的结果也不同。 （4） “在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置” ，蕴涵了极 坐标的思想。在日常生活中，人们用“从这里往东南方向走 3 千米”来描述某 个村庄的位置，实际上就是用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。 2.坐标与图形运动坐标与图形运动 （1） 课程标准（2011 年版） 要求“在直角坐标系中，以坐标轴为对称 轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶 点坐标之间的关系” ，这实际上是图形的轴对称（反射）变换。画一个图形的轴 对称图形，关键是画一些点的轴对称点， 课程标准（2011 年版） 规定“以对 称轴为坐标轴”就控制了画图的难度。知道关于坐标轴对称的“对应顶点坐标 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 16 之间的关系” ，有助于学生学习“数与代数”中函数（如二次函数）图象的画法， 以及判断函数图象是否具有轴对称性。 （2） 课程标准（2011 年版） 要求“在直角坐标系中，能写出一个已知 顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标 之间的关系” ，这实际上是图形的平移变换。知道沿坐标轴方向平移后“对应顶 点坐标之间的关系” ，有助于学生掌握一次函数 y=ax+b 与正比例函数 y=ax 图象 之间的关系，二次函数 y=ax2与 y=ax2+c 图象之间的关系。 （3） 课程标准（2011 年版） 要求“在直角坐标系中，探索并了解将一 个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关 系，体会图形顶点坐标的变化” 。一个图形依次沿两个坐标轴方向平移，可以看 成它沿某个方向的一次平移（课程标准（2011 年版） 不要求沿非坐标轴方 向的平移） 。体会经过这样的两次平移后“图形顶点坐标的变化” ，有助于学生 掌握二次函数 y=ax2与 y=a（x-h）2+k 图象之间的关系。 （4） 课程标准（2011 年版） 要求“在直角坐标系中，探索并了解将一 个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大 或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的” ，这实际上是图形的位似变 换，有助于学生体会如何在坐标系中画一个图形的位似图形。经过这种变换， “对应顶点的坐标之间的关系”是显然的，但给出的多边形的顶点坐标以整数 为宜，以避免给画图带来不便。 三、教学实施建议三、教学实施建议 1.重视过程，贯穿始终重视过程，贯穿始终 数学课程目标的整体实现，是通过教学过程展开的。数学教学活动要重视 过程，突出重点。活动是体现过程载体之一，活动的基本特点之一是“动” ，手 动、体动、脑动；另一个是“活” ，多样才能活，对比才能活，需要根据学生和 数学内容的特点设计相应的教学活动，注意教学要求的层次性，让学生去经历、 去体验、去猜测、去验证、去交流讨论等。 例如例如全等三角形的学习，可以组织学生开展如下活动： 初中数学图形与几何课标解读北京市通州区第四中学 王志芳 17 先把两张全等的三角形纸板摆好，改变其中一个三角形的位置（平移，或 翻折，或旋转） ，说出这两个全等三角形的对应边和对应角。 判定两个三角形全等，直接可用的条件由多到少；论证由一次全等过渡到 两次全等；图形由简单到复杂；论证的结论由“全等”递进到“边或角相等， 两线平行或垂直” ；从