一元一次方程知识点和常考题型解析

一维一次方程知识点与常试题型知识点复习得很扎实知识点1 :一维一次方程和解的概念1、一次方程式：一次方程的标准形式是ax b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，a0 )。要点：一次方程必须满足以下三个条件：(1)只包含一个未知数(2)未知数的次数为1次(3)整式方程式注意：方程式必须是最简单的形式，一元系数不能为零。2、方程解：判断一个数是否为某个方程的解：代入方程的两侧，看两侧是否相等知识点二：一次方程的解法1、方程的同解原理(也称为方程的基本性质)。方程式性质1 :在方程式的两侧加上(或减去)相同个数(或式)，结果也相同。如果是(c是一个数或一个表达式)。方程式性质2 :方程式两侧乘以相同个数，或除以相同的非零数，结果保持不变。如果是的话，如果是的话要点：分数的分子、分母同时乘以或除以，分数的值保持不变。即，(但m0 )2、求解一次方程式的一般步骤：一般程序具体做法根据注意事项去分母方程的两侧乘以各分母的最小公倍数方程的基本性质2请注意防止乘法遗漏(特别是整数项)，并加上括号加括号一般来说，首先是大括号，然后是大括号，最后是大括号去括号法则，分配律注意变号，防止漏车移动项目将所有包含未知数的项移动到方程式的一侧，将其他项移动到方程式的另一侧(记住要移动项，请加上编号)。方程的基本性质1移动项目要换号码，不要换号码合并同类项把方程式变成ax=b(a0 )的形式合并同类项法则计算要谨慎，不要犯错误系数变为1方程的两侧除以未知数的系数a得到方程的解x=方程的基本性质2计算要谨慎，分子的分母不可逆转要点：可以理解方程式ax=b在不同条件下求解的各种情况，简单应用：a0时，方程式有唯一的解a=0、b=0时，方程式有无数解a=0，b0时，方程解不开。知识分3 :排列一维一次方程求解问题1、排列一维一次方程求解问题的一般程序：(一)审查-审查问题：认真审查问题，阐明问题的含义，找出能够表达本问题含义的同等关系。(2)设定-设定未知数：根据问题，偶然设定未知数列举(3)列-方程式：设定未知数后，利用同量的关系写方程式，即列方程式。(4)解-解方程式：解列出的方程式，求未知数的值(5)答案-验证，写答案：验证求出的未知数值是否为方程式的解，是否符合实际请在检查后写答案，加上学分。2、常见等量关系一般列方程解决了一些类型的问题知识点3 :方程和整式，方程的区别(1)从概念上看，整式：将单项式和多项式总称为整式。等式：表示等号相等关系的公式称为等式。 举例来说，2 3=5、m=n=n m等被称为等式，且-3a 2b、3 m2n等不包括等号，因此其为代数式而非等式。方程式：含有未知数的方程式叫方程式。 例如5x 3=11 . 要理解方程式的概念，必须明确以下两点：是方程式包含未知数。 两者必不可少。(2)从是否包含等号来看，方程式首先是方程式，它是用“=”连接两个代数式的方程式，但整数式是用运算符连接的，不包含等号。(3)从是否含有未知量来看，方程式中必须含有“=”，但不一定含有未知量的方程式中必须含有“=”和未知量。 但是，整式中不含等号，未必含有未知的量，可以分为单项式和多项式。2常见应用问题实例一、一般旅游问题(邂逅与追击问题)1 .程序问题中的三个基本量及其关系：行程=速度时间=行程速度=行程时间2 .笔画问题的基本类型(1)邂逅问题：快速行进慢速行进=原距离(2)追究问题：快速行进-慢速行进=原距离从甲地到乙地，有人步行比公共汽车多3.6小时，步行速度为每小时8公里，公共汽车速度为每小时40公里，知道甲、乙两地相距x公里，方程式如下。解：同量关系步行时间-乘公共汽车的时间=3.6小时方程式清单如下：有人从家骑自行车去学校。 一小时走15公里，比预定时间提前15分钟到达一小时走9公里，比预定时间晚15分钟从家到学校的路程是多少公里解：等量关系速度15公里行程的总行程=速度9公里行程的总行程速度15公里行驶的时间15分钟=速度9公里行驶的时间-15分钟注：如果速度已知，请设置时间列中的距离方程式，并设置距离列中的时间方程式。方法1 :设预定时间为x小/小时，则式为15(x-0.25)=9(x 0.25 )方法2 :假设从家到学校有x公里，方程式如下3、一列公共汽车车长200米，一列卡车车长280米，平行轨道相对行驶，两车头相遇后车尾完全离开16秒，公共汽车与卡车速度之比为3:2，你知道车辆每秒行驶几米吗？注意：把2辆车的尾巴看作2人，把2辆车的长度和总路程的相遇作为问题。等量关系：快车的路程；低速列车的路程=2列车车长之和假设总线速度为3x米/秒，轨道速度为2x米/秒，则163x 162x=200 280在与铁路平行的道路上，有人和骑自行车的人一起往南走。 行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。 列车从他们后面过来的话，通过行人的时间是22秒，骑自行车的人通过的时间是26秒。 行人的速度是每秒几米？这趟列车的车长是多少米？注意：如果把列车的车尾看作快递员的话，就是提前追赶车长的问题。等量关系：两种情况下列车速度相同两种情况下列车车长相同如果时间已知，则设定速度列的距离方程式，设定距离列的速度方程式。解：行人的速度为3.6km/小时=3600米3600秒=1米/秒骑自行车人的速度是10.8km/小时=10800m3600秒=3m/秒方法1 :列车速度为x米/秒时，26(x-3)=22(x-1 )为x=4方法2 :列车的车长为x米6、一次郊游活动，一些人走路，另一些人坐车，两个人一起出发。 汽车速度60公里/小时，步行速度5公里/小时，行人比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再次回顾步行的人们。 从出发地到目的地的距离是60公里。 q :行人出发后过了多长时间，才遇到回头看他们的车(车拐弯的时间可以忽略)。注意：此类问题相当于环形路线问题，两者总路线为一圈即，行人行程总行程汽车行程=602解：行人出发后经过x时间，如果遇到回头看他们的车，5x 60(x-1)=6027、有人预定骑自行车以每小时12公里的速度从a地到b地，这样可以在规定的时间内到达b地，但是他因为把预定的时间推迟了20分钟，所以必须以每小时15公里的速度前进，结果是比规定时间提前4分钟到达b地，a、b两地之间的距离解：方法1 :从a地到b地的时间为x时间12x=x=2 12 x=122=24 (公里)方法2:a、b两地点的距离为xkm (路程、列时间方程式)。x=24a:a、b两地点的距离为24公里。温暖注意：在知道速度时，设定时间，设定矩阵方程式的程序，列时间方程式就是我们的解题策略。8、一列列车等速行驶，通过长300m的隧道需要20秒的时间。 隧道顶上有灯，垂直向下发光。 灯照在电车上的时间是10秒，根据以上的数据能求出电车的长度吗？如果不能求出电车的长度，请说明理由。分析：将车尾作为行人进行分析即可前者为此人在300米的隧道上加上车长，后者只有那个人通过车长。在这个问题上告诉时间的只是设定车长列速关系，或者设定车速列速关系式。解：方法1 :假设这列车的长度为x米，根据问题的含义得出x=300 :这趟火车的长度是300米。方法2 :假设这趟列车的速度为x米/秒题意： 20x-300=10x=30x=300a :这趟列车的长度是300米。9、甲、乙两地距离x公里，一列列车原本从甲地到乙地需要15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时加快60公里，因此从甲地到乙地只需10小时即可到达，得到了方程式。 答案：十二列火车分别在平行轨道上行驶。 其中快车长100米，快车长150米，两列车相对而行时，快车通过有快车的窗口所需时间为5秒。车辆的速度和车辆相对行驶时通过有快车的窗口的时间是多少？如果两辆车向同一个方向行驶，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的开头车赶上慢车的结尾车到快车的结尾车离开慢车的开头车至少需要几秒钟？分析：快车通过慢车窗口时：研究慢车窗口的人和快车车尾的人遇到问题的是这时的行驶距离和快车列车长！在快车窗口各站停车行驶时：正在研究快车窗口的人和快车末尾的人遇到问题的是这时的行驶距离和慢车的长度！快车从后面追慢车时：正在研究快车后面的人追慢车前头的人追击问题，这时的行驶路程和车辆车长之和！解：车辆速度之和=1005=20 (米/秒)各站停车通过快车窗口的时间=15020=7.5 (秒)至少设为x秒时，(快车车速为20-8 )为(20-8)x-8x=100 150 x=62.5a :至少62.5秒的快车从后面追上去，都超过了慢车。11、甲、乙两人同时到距离a地25.5公里的b地，甲骑自行车，乙走路，甲的速度比乙的速度快2公里时，甲先到达b地后，立刻从b地回来，中途遇到乙。 那时，他们出发已经过了三个小时了。 追求两个人的速度。解：乙方的速度为x公里/小时3x 3 (2x 2)=25.52 x=5 2x 2=12甲、乙的速度分别为12公里/小时、5公里/小时。二、课程和钟表问题：1、6点和7点之间，时钟的分针和时针几点重合老师分析：6:00分针指12，时针指6，这时两针有180差6:007:00之间，经过x分钟两针重叠，时针走了0.5天分针6x下面可以根据追踪问题列举方程式，简单求解。解：如果x分钟后两针重叠，则6x=180 0.5x解2、甲、乙两人跑长400米的路线，甲跑分240米，乙跑分200米，两人同时向同一个方向出发，几分钟后两人相遇？ 背对背跑的话，几分钟后见？老师注意到这是环形路线，同时也是同一方向的追击和邂逅的问题。解如果在同一时刻出发x分钟后两人相遇，则240x-200x=400 x=10设置背隙，x分钟后遇到，240x 200x=400 x=3、在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针和分针：重叠成为扁平成为直角解：使分针在3点x分重叠2根针。a :三点钟两根针重叠。把分针朝向3点x分，把两根针扁平。a :三点钟两根针扁了。使分针在3点x分两根针成直角。a :三点钟两根针成直角了。4、有的钟一小时比标准时间慢三分钟。 早上6点30分加上正确的时间，那天中午的时钟指示时间是12点50分，正确的时间是多少解：方法1 :如果正确的时间经过了x分钟，则为x380=60(60-3 )解x=400分=6点40分6:30 6:40=13:10方法2 :确切时间经过x时三、船只和飞机飞行问题：航行问题：顺水(风)速度=静水(风)速度水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度水流速度=(顺水速度-逆水速度) 2一艘船在两个码头之间航行，水流速度为3公里/小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求出两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度为xkm/小时，则为3(x-3)=2(x 3)回答x=152(x 3)=2(15 3)=36(km ) :两码头之间的距离为36km。2、一架飞机在两个城市之间飞行，风速为每小时24公里，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求出两个城市之间的距离。解：无风时的速度为xkm/小时，则为3(x-24)=(x 24 )小明用静水划船速度为10公里/小时，现在往返于某条河流，逆水为9小时，顺水为6小时求出这条河的水流速度。解：水流速度为xkm/小时时，9(10-x)=6(10 x )为x=2答：水流速度为2km/小时.4、某船从a码头顺流航行至b码头后逆流至c码头，共20小时，船在静水中速度为7.5公里/小时，水流速度为2.5公里/小时，如果a与c的距离比a与b的距离短40公里，则求a与b的距离。解： a和b的距离为xkm。 (请按下述分类绘制示意图，理解方程式)。c在a、b之间时，x=120c在BA的延长线上时，x=56a:a和b的距离是120公里或56公里。四、工程问题1 .工程问题的三个量及其关系如下：劳动合计=生产性劳动时间2 .总是没有主题给出工作总量的情况下，以工作总量为