一副三角板摆放、旋转等问题

一副三角板摆放、旋转等问题例1.(2004年福建南平）如图1，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果 1=40，那么 2=_。同样问题改变设问就是（山西临汾）中考题：若AOD=145，则BOC= _。例2.(广东梅州)如图2,将一副三角板重叠在一起,使直角顶点重合于D点,则AOB+DOC= _。例3.（山东威海）如图3，将一副三角尺如图放置，已知AEBC,则AFD的度数是_例4.（2008扬州）一副三角板如图4所示叠放在一起，则图中 的度数是_。 观察 与 1 易得所求问题相同。图4是2010河南中考题例5.（2007浙江衢州）一副三角板按图5所示叠放在一起，若固定AOB ，将ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转度（0180），当ACD 的一边与AOB 的某一边平行时，相应的旋转角 的值是_。 例6.（2006安徽）取一副三角板图6（1）拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为 的角（045）等到ABC，如图6（2）所示。试问（1）当 为多少度时，能使得图6（2）中的ABDC?（2）当旋转至图6（3）位置时，此时 又为多少度？图中你能找出哪几对相似三角形，并求出其中一对的相似比；（3）连接BD，当045时，探寻DBC+CAC+BDC值的大小变化情况，并给出你的证明。例7.（上海）将两块三角板如图7放置，其中C=EDB=90, A=45,E=30,AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积。 如图7,已知AB=14cm,求阴影部分面积（2010吉林）例8.（湖北荆门）将一副三角尺如图8摆放在一起，连接AD，试求ADB的正切值。例9.(2008徐州)如图9（1），一副三角板满足AB=BC,AC=DE， 。操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使DE与AB交于点P，EF与BC交于点Q。探究1：在旋转过程中，（1）如图9（2），当 =1 时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并给出证明。（2）如图9（3），当=2 时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由。（3）根据你对（1）（2）的探究结果，试写出当=m时，EP与EQ满足的数量关系式_，其中m的取值范围是_.(直接写出结论，不必证明）探究2：如图9（3），若AC=30cm,连接PQ，设EPQ的面积为 S(cm2)，在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由。（2）随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？求出相应S值的取值范围。例10.（2007辽宁十二市）如图10，小颖利用一个锐角是30的三角形测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这课树的高是_。 例11.（2008甘肃兰州）如图11，已知EF是O的直径，把A 为60的直角三角板ABC的一条直角边放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止，设POF=x，则x的取值范围是_。例12.（2008遵义）如图12，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与E点重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角形的两直角边与AB、BC分别相交于点M 、N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。例13.（2007河北）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图13（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边也恰好经过点B。（1）在图13(1)中请你通过观察，测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图13（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E。此时请你再通过观察测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在图13（2）的基础上沿AC方向平移到图13（3）所示位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，图13（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）例14.（吉林长春）用两块相同的含30角的三角尺如图14放置，若AD=6 ，求三角尺各边的长。 例15.（山东枣庄）如图15，两个全等的含30、60的三角板ADE和ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME,MC。试判断EMC 的形状，并说明理由。例16.（2008湖北荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图16（1）摆放在一起，它们的较短直角边为3。（1）将ECD沿直线l向左平移到图16（2）的位置，使E点落在AB上，则CC= _;（2）将ECD绕点C逆时针旋转到图16（3）的位置，使点E落在AB上，则ECD 绕点C旋转的度数为_;（3）将ECD沿直线AC翻折到图16（4）的位置，ED与AB相交于点F，求证：AF=FD例17.（2006湖南常德）把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4。把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交与点Q。（1）如图17（1），当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证APDCDQ。此时，APCQ=_。（2）将三角板DEF由图17（1）所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中090，问APCQ的值是否改变？说明你的理由。（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y ,求y与x的函数关系式。例18.（2008山东威海）（1）把两个含有45角的直角三角板如图18（1）放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F。求证:AFBE。（2）把两个含有30角的直角三角板如图18（2）放置，点D在BC上，连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F。问AF与BE是否垂直？并说明理