上海市徐汇区2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一填空题：（本题满分56分，每小题4分）1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的标准方程是2方程的解是3设，则数列an的各项和为4函数的单调递增区间是5若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=6函数f（x）=|4xx2|a有四个零点，则a的取值范围是7设x、yR+且=1，则x+y的最小值为8若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2xy+1=0相交于一点，则行列式的值为9在ABC中，边BC=2，AB=，则角C的取值范围是10已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是11（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于12已知函数f（x）=x21的定义域为D，值域为0，1，则这样的集合D最多有个13正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为14设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+=二选择题：（本题满分20分，每小题5分）15已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A向量与垂直B向量与垂直C向量与垂直D向量与平行16若a，b为实数，则“0ab1”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件17（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x2y）+（52xy）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）ABCD18设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心研究函数f（x）=x+sinx3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A4031B4031C8062D8062三解答题：（本大题共5题，满分74分）19三棱锥SABC中，SAAB，SAAC，ACBC且AC=2，BC=，SB=（1）证明：SCBC；（2）求三棱锥的体积VSABC20已知函数f（x）=sin22xsin2xcos2x（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标21已知实数x满足32x4+90且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值22数列an满足a1=5，且（n2，nN*）（1）求a2，a3，a4；（2）求数列an的通项公式；（3）令bn=，求数列bn的最大值与最小值23某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0t25）；曲线BC是抛物线y=ax2+50（a0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径假定拟建体育馆的高OB=50（单位：米，下同）（1）若t=20、a=，求CD、AD的长度；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若a=，求AD的最大值2016年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一填空题：（本题满分56分，每小题4分）1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的标准方程是y2=8x【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案【解答】解：由题意可知： =2，p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=2px将p代入可得y2=8x故答案为：y2=8x【点评】本题主要考查抛物线的标准方程属基础题2方程的解是x=2【考点】对数的运算性质【专题】计算题【分析】由方程可得 3x5=4，即3x=32，由此求得方程的解【解答】解：由方程可得 3x5=4，即3x=32，解得x=2，故答案为 x=2【点评】本题主要考查对数方程的解法，对数的运算性质应用，属于基础题3设，则数列an的各项和为【考点】等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】由已知可知=，从而可得数列an为公比的等比数列，要求等比数列的各项和，即求前n项和的极限，由求和公式先求前n项和，然后代入求解极限即可【解答】解： =，=，则数列an是以为首项以为公比的等比数列=所以数列的各项和S=故答案为【点评】本题所涉及的知识：等比数列定义在判断等比数列中的应用，等比 数列的求和公式，等比数列的各项和与前n项和是不同的概念，要注意区别4函数的单调递增区间是k，k+，kZ【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：对于函数，令2k2x2k+，求得kxk+，故函数的增区间为，故答案为：k，k+，kZ【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题5若函数f（x）的图象与对数函数y=log4x的图象关于直线x+y=0对称，则f（x）的解析式为f（x）=y=4x【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象【专题】计算题；数形结合【分析】先设f（x）上一点（x，y），求这个点关于x+y=0的对称点，则根据题意该对称点在函数y=log4x的图象上，满足函数y=log4x的解析式，从而可求出点（x，y）的轨迹方程【解答】解：设函数f（x）的图象上一点（x，y），则点（x，y）关于x+y=0的对称点（x，y）在对数函数y=log4x的图象由题意知，解得x=y，y=x又点（x，y）在对数函数y=log4x的图象x=log4（y）y=4xy=4x故答案为：y=4x【点评】本题考查函数的图象与性质，求函数的解析式解题的关键是会求点个关于直线的对称点属简单题6函数f（x）=|4xx2|a有四个零点，则a的取值范围是（0，4）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得，直线y=a和函数y=|4xx2|的图象有4个交点，数形结合求得a的取值范围【解答】解：函数f（x）=|4xx2|a有四个零点，故直线y=a和函数y=|4xx2|的图象有4个交点，如图所示：结合图象可得0a4，故答案为 （0，4）【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题7设x、yR+且=1，则x+y的最小值为16【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】将x、yR+且=1，代入x+y=（x+y）（），展开后应用基本不等式即可【解答】解： =1，x、yR+，x+y=（x+y）（）=10+10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）故答案为：16【点评】本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题8若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2xy+1=0相交于一点，则行列式的值为1【考点】二阶矩阵；两条直线的交点坐标【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换【分析】先由三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2xy+1=0相交于一点，求出a，再由二阶行列式展开法则能求出的值【解答】解：联立，得x=1，y=1，三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2xy+1=0相交于一点，直线ax+y+3=0过点（1，1），a1+3=0，解得a=2，=a1=21=1故答案为：1【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用9在ABC中，边BC=2，AB=，则角C的取值范围是（0，【考点】余弦定理的应用【专题】综合题【分析】利用余弦定理构建方程，利用判别式可得不等式，从而可求角C的取值范围【解答】解：由题意，设AC=b，3=b2+44bcosCb24bcosC+1=0=16cos2C40ABBCC不可能是钝角角C的取值范围是（0，故答案为：（0，【点评】本题考查余弦定理的运用，考查解不等式，解题的关键是利用余弦定理构建方程，利用判别式得不等式10已知四面体ABCD的外接球球心O在棱CD上，CD=2，则A、B两点在四面体ABCD的外接球上的球面距离是【考点】球面距离及相关计算【专题】计算题；方程思想；综合法；球【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点，且OA=OB=OC=OD，进而在A0B中，利用余弦定理求得cosAOB的值，则AOB可求，进而根据弧长的计算方法求得答案【解答】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O在CD中点，则OA=OB=OC=OD=1，再由AB=，在A0B中，利用余弦定理cosAOB=，则AOB=，则弧AB=1=故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力11（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于28【考点】二项式系数的性质【专题】对应思想；转化法；二项式定理【分析】根据题意，令x=1，代入多项式即可求出展开式中各项系数的和【解答】解：（x3+2x+1）（3x2+4）展开后含有字母x，令x=1，则展开式中各项系数的和为：（13+21+1）（312+4）=28故答案为：28【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题，解题时应利用x=1进行计算，是基础题12已知函数f（x）=x21的定义域为D，值域为0，1，则这样的集合D最多有9个【考点】函数的定义域及其求法；二次函数的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据值域中的几个函数值，结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个x值，再加以组合即可得到定义域D的各种情况【解答】解：f（x）=x21，f（1）=0，f（）=1，因此，定义域D有：1， ，1， ，1， ，1， ，1，1， ，1，1， ，1， ，1， ，1，1， 共9种情况故答案为：9【点评】本题给出二次函数的一个值域，要我们求函数的定义域最多有几个，着重考查了函数的定义与进行简单合情推理等知识，属于基础题13正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】称求出基本事件总数n=44=16，再由列举法求出露在外面的6个数字之和恰好是9包含的基本事件个数，由此能求出露在外面的6个数字之和恰好是9的概率【解答】解：正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字之和包含的基本事件总数n=44=16，设两个正四面体中压在桌面的数字分别为m，n，则露在外面的6个数字之和恰好是9的基本情况有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），共包含4个基本事件，露在外面的6个数字之和恰好是9的概率p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用14设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S=1+=2【考点】复数代数形式的混合运算【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数【分析】设x1=s+ti（s，tR，t0）则x2=sti则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2利用=s33st2+（3s2tt3）i是实数，可得3s2=t2于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2 +1=0，取=，则2+1=0，3=1代入化简即可得出【解答】解：设x1=s+ti（s，tR，t0）则x2=sti则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2=s33st2+（3s2tt3）i是实数，3s2tt3=0，3s2=t2x1+x2=2s，x1x2=s2+t24s2=+2x1x2=x1x2，+1=0，取=，则2+1=0，3=1则S=1+=1+2+4+8+16+32=0+2+2=2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二选择题：（本题满分20分，每小题5分）15已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是（）A向量与垂直B向量与垂直C向量与垂直D向量与平行【考点】平面向量数量积的运算【专题】对应思想；分析法；平面向量及应用【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为0得出向量是否垂直【解答】解：设的夹角为，则0，（）（）=0，（）（），故A正确；D错误（）=cos0，与不垂直；故B错误；=+cos0，与不垂直，故C错误；故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题16若a，b为实数，则“0ab1”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质【专题】简易逻辑【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0ab1”“”与“”“0ab1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案【解答】解：若“0ab1”当a，b均小于0时，即“0ab1”“”为假命题若“”当a0时，ab1即“”“0ab1”为假命题综上“0ab1”是“”的既不充分也不必要条件故选D【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0ab1”“”与“”“0ab1”的真假，是解答本题的关键17（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x2y）+（52xy）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）ABCD【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】由复数（x2y）+（52xy）i的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可【解答】解：复数（x2y）+（52xy）i的实部大于0，虚部不小于0，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y的右下方和直线的左下方，因此为A故选：A【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题18设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心研究函数f（x）=x+sinx3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（）A4031B4031C8062D8062【考点】函数的值；抽象函数及其应用【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用函数对称中心的性质得到当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=4，能此能求出结果【解答】解：f（x）=x+sinx3，当x=1时，f（1）=1+sin3=2，根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=4，=2015f（）+f（）+f（）=2015（4）2=8062故选：C【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用三解答题：（本大题共5题，满分74分）19三棱锥SABC中，SAAB，SAAC，ACBC且AC=2，BC=，SB=（1）证明：SCBC；（2）求三棱锥的体积VSABC【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（1）因为SA面ABC，AC为SC在面ABC内的射影，由三垂线定理可直接得证（2）由题意可直接找出侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角是SCA，在直角三角形中求解即可【解答】解：（1）SAAB SAAC ABAC=ASA平面ABC，AC为SC在平面ABC内的射影，又BCAC，由三重线定理得：SCBC（2）在ABC中，ACBC，AC=2，BC=，AB=，SAAB，SAB为Rt，SB=，SA=2，SA平面ABC，SA为棱锥的高，VSABC=ACBCSA=2=【点评】本题考查了三垂线定理的应用，考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力，计算能力；三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理，是证明异面直线垂直的常用方法20已知函数f（x）=sin22xsin2xcos2x（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，且，求点A的坐标【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用降次公式，二倍角公式，和角公式化简f（x）=，代入周期公式计算周期；（2）由对称中心的性质可知sin（4x0+）=0，结合x00，求出x0，得到A点坐标【解答】解：（1）=，所以f（x）的最小正周期（2）点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，sin（4x0+）=0，4x0+=k，x0=kZx00，解得k=1或k=2，x0=或x0=点A的坐标为或【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题21已知实数x满足32x4+90且f（x）=log2（1）求实数x的取值范围；（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值【考点】对数的运算性质；函数的最值及其几何意义【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）将3x2看作一个整体，因式分解结合指数的运算性质从而求出x的范围即可；（2）先将f（x）配方，结合二次函数的性质求出其最值即可【解答】解：（1）由，得32x4103x2+90，即（3x21）（3x29）0，13x29，2x4（2）因为=，当，即时，当log2x=1或log2x=2，即x=2或x=4时，ymax=0【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质，考察二次函数的性质，是一道中档题22数列an满足a1=5，且（n2，nN*）（1）求a2，a3，a4；（2）求数列an的通项公式；（3）令bn=，求数列bn的最大值与最小值【考点】数列递推式；数列的求和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）由a1=5，且（n2，nN*）分别令n=2，3，4，即可得出（2）设数列的前n项和为Sn，利用递推关系可得：，得即，再利用等比数列的通项公式即可得出（3），变形利用单调性即可得出【解答】解：（1）a1