上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1（3分）函数的定义域是2（3分）函数y=x2的单调增区间是3（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=4（3分）若函数f（x）=（a1）x是指数函数，则实数a的取值范围是5（3分）若函数f（x）=（x0）是减函数，则实数m的取值范围是6（3分）已知函数f（x）=（x0），记y=f1（x）为其反函数，则f1（2）=7（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=8（3分）已知函数y=x22ax在区间上的最大值比最小值大，则a=11（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+），则logab=12（3分）若函数y=|ax1|（a0，且a1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是二选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）ABCf（x）=x0，g（x）=1D14（3分）函数f（x）=（）A是奇函数B是偶函数C是非奇非偶函数D既是奇函数，又是偶函数15（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，1）B（，0）（0，+）C（1，0）（0，1）D（，1）（1，+）16（3分）已知函数f（x）对于任意的xR都有f（x）f（x+1），则f（x）在R上（）A是单调增函数B没有单调减区间C可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D没有单调增区间三解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（8分）已知集合，集合B=x|x1|4，求AB18（10分）已知函数f（x）=（a2a+1）xa+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由19（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是 R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益总成本）20（10分）已知函数f（x）=k2x+2x（k是常数）（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x，不等式f（x）1都成立，求k的取值范围21（12分）已知函数f（x）=（x（0，+）（1）求证：函数f（x）是增函数；（2）若函数f（x）在上的值域是（0ab），求实数m的取值范围；（3）若存在x（1，+），使不等式f（x1）4x成立，求实数m的取值范围上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1（3分）函数的定义域是x|x1，且x0考点：函数的定义域及其求法 专题：计算题分析：要求函数的定义域，就是求使函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以分母不等于0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于0，最后两个范围求交集即可解答：解：要使函数有意义，需满足解不等式组，得x1，且x0函数的定义域为x|x1，且x0故答案为x|x1，且x0点评：本题主要考查已知函数解析式求定义域，关键是判断函数解析式何时成立2（3分）函数y=x2的单调增区间是（，0）考点：函数的单调性及单调区间 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可解答：解：函数y=x2为偶函数，在（0，+）内为减函数，则在（，0）内为增函数，故函数的增区间为（，0），故答案为：（，0）点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据幂函数的性质是解决本题的关键3（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=a+b考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg（23）=lg2+lg3，再把已知条件代入求得结果解答：解：原式=lg（23）=lg2+lg3=a+b故答案为：a+b点评：本题主要考查对数的运算性质，属于基础题4（3分）若函数f（x）=（a1）x是指数函数，则实数a的取值范围是（1，2）（2，+）考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的定义，底数大于0且不等于1，求出实数a的取值范围解答：解：函数f（x）=（a1）x是指数函数，解得a1且a2；实数a的取值范围是（1，2）（2，+）故答案为：（1，2）（2，+）点评：本题考查了指数函数的概念以及应用问题，是基础题目5（3分）若函数f（x）=（x0）是减函数，则实数m的取值范围是（1，+）考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据反比例函数的单调性即可求得m的取值范围解答：解：根据反比例函数的单调性，若f（x）是减函数；则m+10，m1；实数m的取值范围是（1，+）故答案为：（1，+）点评：考查反比例函数的一般形式，及反比例函数的单调性6（3分）已知函数f（x）=（x0），记y=f1（x）为其反函数，则f1（2）=4考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：求出原函数的反函数，然后直接取x=2求得f1（2）解答：解：由y=f（x）=（x0），得x=y2（y0），x，y互换得，y=x2（x0）f1（x）=x2（x0）则f1（2）=22=4故答案为：4点评：求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=（y）；（2）交换x=（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域），是基础题7（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=2考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：运用定义判断得出即x2=x2+恒成立，a2=0，即可求解，解答：解：f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，f（x）=f（x），即x2=x2+恒成立，a2=0，即a=2故答案为：2点评：本题考查了函数的性质，运用偶函数定义判断求解，属于容易题8（3分）已知函数y=x22ax在区间上的最大值比最小值大，则a=或考点：指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的单调性，分a1时和0a1两种情况，解得a的值解答：解：由题意可得，当a1时，函数f（x）在区间上单调递增，f（2）f（1）=a2a=，解得a=0（舍去），或a=当 0a1时，函数f（x）在区间上单调递减，f（1）f（2）=aa2=，解得a=0（舍去），或a=故答案为：或点评：本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题11（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+），则logab=3考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：画函数=的图象，结合图象，使得在区间（a，b）上的值域是（2，+），求出a与b的值，在计算logab解答：解：函数=，图象如下图：不难验证f（8）=2，函数图象上点A的坐标为（8，2）要使函数在区间（a，b）上的值域是（2，+），则a=2、b=8logab=log28=3故答案为：3点评：本题主要考查函数的值域，结合图象解决是解决的关键12（3分）若函数y=|ax1|（a0，且a1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）（1，2）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：先作出函数y=|ax1|图象，再由直线y=与函数y=|ax1|的图象有2个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解解答：解：由题意知a0且a1当a1时，作出函数y=|ax1|图象：若直线y=与函数y=|ax1|的图象有两个公共点由图象可知01，解得0a2，故a的取值范围是（0，1）（1，2）；当0a1时，同理也可得a的取值范围是（0，1）（1，2）故答案为：（0，1）（1，2）点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，解答的关键是数形结合的思想方法二选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.13（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）ABCf（x）=x0，g（x）=1D考点：判断两个函数是否为同一函数 专题：函数的性质及应用分析：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数解答：解：对于A，f（x）=|x|（xR），与g（x）=x（x0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数；对于B，f（x）=x（xR），与g（x）=x（x0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数；对于C，f（x）=x0=1（x0），与g（x）=1（xR）的定义域不同，不是同一个函数；对于D，f（x）=|x|=（xR），与g（x）=（xR）的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数故选：D点评：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目14（3分）函数f（x）=（）A是奇函数B是偶函数C是非奇非偶函数D既是奇函数，又是偶函数考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：求解定义域为x|x1，关于原点对称，运用解析式得出f（x）=f（x）判断即可解答：解：函数f（x）=，定义域为x|x1，关于原点对称，f（x）=f（x），f（x）为奇函数，故选：A点评：本题考查了奇函数的定义，运用定义判断，属于容易题，难度不大，容易忽视定义域的判断15（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）A（1，1）B（，0）（0，+）C（1，0）（0，1）D（，1）（1，+）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得a2=2x（0，1），解关于a的不等式可得解答：解：关于x的方程2x=a2有负实数根，存在负实数x使得a2=2x，当x0时，2x（0，1），a2（0，1），解得a（1，0）（0，1）故选：C点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及对数函数的值域，属基础题16（3分）已知函数f（x）对于任意的xR都有f（x）f（x+1），则f（x）在R上（）A是单调增函数B没有单调减区间C可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D没有单调增区间考点：抽象函数及其应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意取分段函数f（x）=，再取函数f（x）=x；从而得到答案解答：解：取函数f（x）=；故由这个函数可知，A，B不正确；若f（x）=x；则D不正确；故选C点评：本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，属于基础题三解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（8分）已知集合，集合B=x|x1|4，求AB考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可解答：解：由得：=0，即（x4）（x+2）0，解得：x2或x4，即A=（，2）（4，+），由|x1|4得：4x14，解得：3x5，即B=，则AB=点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键18（10分）已知函数f（x）=（a2a+1）xa+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由考点：幂函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据幂函数的定义，和奇函数的定义先求出a的值，再根据零点求法，零点转化为g（x）=0的实数根，解方程即可（2）根据函数为增函数，然后验证f（9）=738，f（10）=1010，即可得出解答：解：（1）令a2a+1=1，解得 a=0或a=1（1分）当a=0时，f（x）=x2，它不是奇函数，不符合题意；当a=1时，f（x）=x3，它是奇函数，符合题意所以a=1 （3分）此时g（x）=x3+x令g（x）=0，即 x3+x=0，解得 x=0所以函数g（x）的零点是x=0（5分）（2）设函数y=x3，y=x因为它们都是增函数，所以g（x）是增函数（7分）又因为 g（9）=738，g（10）=1010 （9分）由函数的单调性，可知不存在自然数n，使g（n）=900成立 （10分）点评：本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系，以及函数的单调性与函数值问题19（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是 R（x）=（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润=总收益总成本）考点：分段函数的应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）由于年产量是x台，则总成本为元，从而分段写出函数解析式即可；（2）当0x500时，利用配方法y=（x400）2+60000求最值，当x500时，利用单调性可得y=100x100500=55000从而解得解答：解：（1）由于年产量是x台，则总成本为元当0x500时，y=500xx2，即y=x2+400x20000；当x500时，y=，即y=100x所以；（2）当0x500时，y=（x400）2+60000，所以当x=400时，ymax=60000；当x500时，y=100x是减函数，即 y=100x100500=55000综上，当x=400时，ymax=60000即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，最大年利润为60000元点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题20（10分）已知函数f（x）=k2x+2x（k是常数）（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；（2）若对于任意x，不等式f（x）1都成立，求k的取值范围考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：（1）运用f（x）=f（x），f（0）=0，求解得出 k=1，（2）解法1：对于任意x，不等式都成立转化为对于任意，不等式kt2+t都成立，只需 k（t2+t）min即可解法2：对于任意，不等式kt2t+10都成立又令 g（t）=kt2t+1分类讨论求解转化为不等式组求解即可解答：解：（1）因为函数f（x）是R上的奇函数，则f（x）=f（x），令x=0，所以 f（0）=0，即 k20+20=0，即 k+1=0，解得 k=1，此时 f（x）=2x+2x，因为 f（x）=2x+2x，即 f（x）=（2x+2x），则 f（x）=f（x）所以当函数f（x）是R上的奇函数，k=1（2）解法1：由题意知对于任意x，不等式k2x+2x1都成立即对于任意x，不等式都成立因为2x0，则对于任意x，不等式都成立令 ，则 ，且对于任意，不等式kt2+t都成立，只需 k（t2+t）min即可因为，所以 ，即 （t2+t）min=56，因此 k56解法2：由题意知对于任意x，不等式k2x+2x1都成立因为2x0，所以对于任意x，不等式k（2x）22x+10都成立令 t=2x，则 ，且对于任意，不等式kt2t+10都成立又令 g（t）=kt2t+1当k=0时，g（t）=t+1，不符合题意；当k0时，函数g（t）=kt2t+1图象的开口向上，