二次函数的基础知识和经典练习题

二次函数一、基础知识1 .定义：二次函数，一般称为常数2 .二次函数的表现方法：数表法、图像法、式3 .二次函数从特殊到一般分为以下形式(； (顶点)； (这些图像是对称轴与轴平行(或重叠)的抛物线4 .各种形式的二次函数的图像性质如下表所示函数解析表达式开口方向对称轴顶点坐标当时张开嘴巴当时把嘴朝下(轴)(0，0 )(轴)(0，)(、0 )(，)（）1 .抛物线系数(1)确定开口方向：若几个不同的二次函数、二次项系数相同，抛物线开口方向、开口大小完全相同，只有顶点位置不同时，抛物线开口向下，顶点为其最高点与(2)共同决定抛物线对称轴的位置：当时，对称轴是轴的同一编号，对称轴位于轴的左侧；异号，对称轴位于轴的右侧(3)决定抛物线与轴的交点位置：此时抛物线通过原点时，与轴的正半轴相交时，与轴的负半轴相交2 .求抛物线顶点、对称轴的方法(1)式法：顶点的对称轴为直线。(2)配方方法：采用处方方法形式化抛物线的解析，将顶点设为(，)，将对称轴设为直线。(3)使用抛物线的对称性：抛物线为轴对称图形，因此连接对称点的直线的垂直二等分线为抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点为顶点3 .用未定系数法求二次函数的解析表达式(1)通式：通常知道图像上3点或3对的值，选择通式.(2)顶点：知道图像的顶点和对称轴，通常选择顶点。(3)2点式：知道图像与轴交点坐标，通常选择交点.4 .抛物线与轴的交点假定二次函数的图像与轴的两个交点的横轴是对应于一次二次方程的两个实数根。 抛物线与轴交点的状况可以用对应的一次二次方程式的根的判别式来判定(1)抛物线和轴有两个交点(2)抛物线和轴有交点(顶点在轴上)(3)抛物线与轴无交点；5 .应用二次函数一、的性质1 .如果发现二次函数与x轴交叉，则k可取值的范围为。解答：2 .二次函数的图像如图所示，直线的图像没有通过第四象限。原因：3 .二次函数的图像如图所示，试着判定a、b、c的符号。解答：4 .二次函数的图像如图所示，结论(1)c0 (3)4a 2b c0 (4)(a c)20，其中正确的是：()A.1个B.2个C.3个D.4个原因：5 .二次函数的图像如图所示，在abc、2a b、abc、a-b c这4个代数式中，值是正数()A.4个B.3个C.2个D.1个原因：6 .已知直线的图像通过第一、第二、第三象限时，该图像为()A. B. C.D7 .已知如果函数值y随着x增大而减小，则x能取的值的范围为()A.x1C.x-2D.-2x0，c0，b2-4ac0，c0C.a0，b2-4ac0 D.a0，c010 .已知的二次函数y=ax2 bx c的图像如下所示()A.b0，c0，D=0 B.b0，D=0C.b0，c0，c0，D0如下图所示，二次函数y=mx2 2mx-(3-m )的图像具有m个可取值的范围A.m0B.m3C.m0D.0m312 .在相同坐标系中，函数y=kx2和y=kx-2(k0 )的图像几乎如图所示()13 .函数(abnC.k=nD.h0，k015 .已知二次函数y=ax2 bx c(a0 )的图像如图所示，具有：abc0； a b c=2； b 1.其中正确的结论是()A.B.C.D.16 .以下命题中正确的是()a b c=0时，b2-4ac0，则二次函数y=ax2 bx c图像与坐标轴的共同点的数量是2或3ba c，一次二次方程式ax2 bx c=0，有两个不相等实数根.A.B.C.D.二、的最大值1 .心理学家发现学生接受概念的能力y与提出概念的时间x (单位：分钟)之间几乎满足函数关系式： (0x30 )。 y值越大，表示接受能力越高。 让我们根据关系式来回答(1)提出概念需要10分钟的话，学生的接受能力是多少？(2)概念提出多少小时时学生的接受能力最高？2 .在某处建造圆形喷水池，在池的中央垂直于水面设置花形的柱OA，o位于水面的中心，放置在柱前端a的喷淋头向外喷水，水流在所有方向上沿着相同形状的抛物线路径落下，在通过OA的平面上抛物线形状如图(1)。 图(2)确立了直角坐标系，水流喷出的高度y (米)和水平距离x (米)的关系为。 请回答下面的问题(1)柱OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)如果没有其他因素，池子的半径至少要多少米，喷出的水流不会落到池子外面？3 .体育测试时，高中三年级学生按下引球，知道引球通过的路线是抛物线的一部分，根据关系式回答(1)这个同学的最大高度是多少？(2)铅球运行中离地面的最大高度是多少？(3)这个同学的成绩是多少？4 .如图所示，正方形EFGH的顶点位于边长为a的正方形ABCD的边上，如果AE=x，则正方形EFGH的面积为y。(1)求出y和x之间的函数关系式(2)有正方形EFGH的最大面积吗？ 如果有的话，试着确定e点的位置。如果没有的话，就说明理由。三、函数解析式的求法(一)1 .一位蔬菜农家建造了横断面为抛物线的隧道。 尺寸如下(1)从图中的直角坐标系求出该抛物线的解析式(2)菜农身高1.60米，他不弯腰，在小屋内横向活动范围是多少米(准确地说是0.01米)2 .在下列条件下求解抛物线的解析表达式：(1)图像过点(-1，-6)、(1，-2)和(2，3 )(2)图像的顶点坐标为(-1，-1)，与y轴的交点的纵轴为-3(3)图像的通过点(1，5 )，对称轴是直线x=1，图像与x轴的两个交点之间的距离为4。3 .在足球比赛中，一名选手从球门前的10米处踢起球，向着球门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，当时，球的高度为3米，球的高度为2.44米，可见球门命中目标4 .已知二次函数的图像在x轴和a (-2，0 )、b (3，0 )两点相交，函数的最大值为2。(1)求二次函数的图像的解析式(2)设二次函数的顶点为p，求ABP的面积。5 .图：(1)求出该抛物线的解析式；(2)根据图像，x为什么在范围内，该函数值大于0。6 .已知抛物线通过a (-3，0 )、b (0，3 )、c (2，0 )这3点。(1)求出该抛物线的解析式；(2)点D(1，m )在该抛物线上时，求出m的值和点d相对于该抛物线对称轴的对称点e的坐标，求出tanADE的值。四、函数解析式的求法(二)1 .在某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从4月1日开始发售的三十天中，大蒜每10公斤的批发价格y (元)是发售时间x (日)的二次函数，近年来的行情中知道了以下信息x (天)51525y (元)151015(1)求出y和x的函数关系式(2)大蒜每10kg的批发价为10.8元的话，此时出货的天数是几天2 .如图所示，某建筑物从10m高的窗口a用水管向外喷水，喷出的水为抛物线状，抛物线的最高点m距离墙壁1m，距离地面m时，求出水流落点b距离墙壁的距离OB的长度。3 .一个男子按铅球，成绩为10米，该男子的手高为米，铅球在水平距离为4米时达到最大高度，求出铅球运动的抛物线的解析式。4 .某厂大门为抛物线型水泥建筑物，大门地板宽8米，两侧距地板3米高各有壁灯，两壁灯之间水平距离为6米，计算厂门高。5 .抛物线通过a、b、c三点，顶点与d、x轴的另一交点为e。(1)求出该抛物线的解析式；(2)求四边形ABDE的面积(3)寻求证据：AOBBDE。已知二次函数y=ax2 bx c(a0 )的图像通过x轴与y轴的交点，并且还通过(1，1 )点7 .已知抛物线y=-x2 bx c和x轴两个交点分别为A(m，0 )、B(n，0 )(1)求出该抛物线的解析式；(2)将该抛物线与y轴的交点设为c，通过c与x轴平行的直线与另一个点p交叉，求出ACP的面积已知抛物线y=ax2 bx c通过点a (-1，0 )，通过直线y=x-3与x轴交点b及与y轴的交点c .(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标(3)在点m位于第四象限内抛物线上的情况下，将OMBC、垂线脚设为d，求出点m的坐标.9 .某商业公司为指导某季商品的生产和销售，对3月至7月该商品的销售价格和生产进行了调查，结果显示，一个商品的销售价格m (元)与时间t (月)的关系可以用线段上的点来表示(图甲)，一个商品的成本q (元)与时间t (月)的关系可以