二次函数的几何最值问题

二次函数与几何结合-探索面积最有价值的问题方法摘要：当解决面积最大值中存在的问题时，具体方法如下根据问题意义，设定结合函数关系式求出的点的坐标，表示求出的图形的线段长度观察求出的图形的面积是否能够以直接面积式求出，如果可能，则根据几何图形的面积式求出与点的坐标或线段长度的面积相关的二次函数关系式，在求出的图形的面积无法以直接面积式求出的情况下，将求出的图形分割为能够以直接面积式计算的图形来求出结合已知条件和函数图像的性质，求出面积取最大值时的点坐标或文字范围。如图所示，在平面直角坐标系中，可知点o (0，0 )、a (5，0 )、b (4，4 ) .(1)求出o、b、a三点抛物线的解析式(2)在第一象限的抛物线上存在点m，使以o、a、b、m为顶点的四边形的面积最大，求出点m的坐标。(3)设直线x=m，在点p描绘抛物线，在交点线OB为点q，PQB为等腰三角形时，求出m的值。(2014自贡)如图所示，可知抛物线和x轴与a、b两点相交，与直线和b、c两点相交。 在此，点c是直线与y轴交点，连接AC .(1)求抛物线的解析式；(2)证明：ABC为直角三角形(3)ABC内部可以剪切面积最大的矩形DEFG吗？ (顶点d、e、f、g位于ABC的各边)如果无法求出最大面积，请说明理由如图所示(2014黔西南州) (16分钟)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 bx c通过a (-3，0 )、b (1，0 )、c (0，3 )这3个点，将其顶点连接为d，将AD的点p是线段AD上的一个可动点(与a，d重合)，将通过点p的y轴的垂线设为垂线，将点e设为垂线(1)求抛物线的函数解析式，写入顶点d的坐标(2)如果p点的坐标为(x，y )、PAE的面积为s，则求出s与x的关系式，直接写出自变量x的可取范围，求出s的最大值(3)在(2)的条件下，s取最大值时，通过点p为x轴的垂线，f为垂线，连接EF，将PEF沿直线EF折叠，将点p的对应点设为点p ，求出p 的坐标，判断p 是否位于该抛物线上.(2014兰州) (12分钟)如图所示，已知抛物线y=-和x轴与a、b这2点相交，y轴与点c相交，抛物线对称轴与x轴与点d相交，a (-1，0 )、c (0，2 ) .(1)求抛物线的公式(2)抛物线的对称轴上是否存在点p，PCD是以CD为腰的等腰三角形？ 如果存在，直接导出p点的坐标；如果不存在，请说明原因(3)在点e，线段BC上可动点，通过点e的垂线和抛物线与点f相交，点e移动到哪个位置时，四边形CDBF的面积最大？ 求出四边形CDBF最大面积和此时的e点的坐标。(2014衡阳)二次函数y=ax2 bx c(a0 )的图像与x轴的交点为a (-3，0 )、b (1，0 )这2点、y轴与点C(0，-3m ) (其中，m0)、顶点为d .(1)求出该二次函数的解析式(系数用包含m的代数式表示)(2)如图所示，当m=2时，点p是第三象限内抛物线上的可动点，将APC的面积设为s，试着求出s与点p的横轴x的函数关系式以及s的最大值(3)如图所示，m取哪个值时，以a、d、c为顶点的三角形与BOC相似？二次函数与几何结合-等腰三角形存在性问题初探方法摘要：当解决面积最大值中存在的问题时，具体方法如下假定结论成立在给定的条件下，如果没有说明哪边是等腰三角形的底部，哪边是腰，那么对其进行分类研究，假定有两边相等，等到三个时候作为未知量，求出边的长度，在各个情况下，直接或间接设定求出的点的坐标，在设定的点的坐标下，表示假定相等的两边的长度或第三边的长度计算解只要利用等腰三角形的性质、皮塔定理和相似三角形的性质求出等量关系式，根据等量关系式求出即可。(2014长沙)如图所示，以抛物线的对称轴为轴，通过(0，0 )、() 2点，点p在抛物线上运动，以点p为中心1122222222222222(1)求得的值(2)求得证据：点p在运动过程中，经常与轴相交(3)p和轴在m、n ()两点相交，AMN为等腰三角形时，求中心p的纵轴。如图所示，抛物线y=ax2 bx c(a0 )图像在点M(2 )、顶点坐标在N(1 )、x轴和a、b两点、y轴和c点相交.(1)求抛物线的解析式；(2)点p是抛物线对称轴上的动点，PBC为等腰三角形时，求出点p的坐标(3)直线AC上稍微存在q，使QBM的周长最小化吗？ 如果存在求q点坐标不存在，请说明理由如图所示，在平面直角坐标系中，o是坐标原点，抛物线y=ax2 bx c(a0 )是o、b、c这3点，b、c坐标分别是(10，0 )和(-)，以OB为直径的- a通过c点，直线l是垂直x轴位于b点.(1)求直线BC的解析式(2)求抛物线解析式及顶点坐标；(3)点m为- 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(4)点p从o出发时，以每秒1单位的速度向点b直线运动，点q同时从b出发，以相同的速度向点c直线运动，经过t(0t8 )秒时，使BPQ成为等腰三角形，要求满足条件的t值.如图所示，已知抛物线y=ax2 bx c与x轴的一个交点为a (3，0 )，与y轴的交点为b (0，3 )，其顶点为c，对称轴为x=1.