05 四边形加深4教师菱形 初二自招进度二

1 / 5 第五讲 四边形加深（4）正方形 【例题1】 如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个 矩形，则k ； 解：设矩形的宽为x，长为y，由正方形边长相等得 222yxyyx，中间只能竖放两个，8k 。 【例题2】 如图，在正方形ABCD的BC延长线上取一点E，使CEAC，AE与CD交于点.，则 AFC ； 解：易求22.5112.5CAEEAFCBCDE 。 【例题3】 已知正方形ABCD的边长为12，点P在BC边上， 5BP ，EF AP 垂足为Q，与 ,AB CD分别交于,E F ，则EF ； 解：过点E作EHCD于H，易证EFH13APBEFAP。 【例题4】 如图，边长为m的正方形ABCD，以BC为边向内作等边BEC，BD为对角线，则 BED S ； 解：作EHCD于H，易知 2 1111 2224 DCE EHCEmSCD EHm 222 3131 424 BCEBCDBEDBCEDCEBCD SmSmSSSSm F E D C B A E D CB A 2 / 5 M N Q D C B A P 【例题5】 将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30至正方形 AB C D ，则 旋 转前后正方形重叠部分的面积是_； 解：设B C与CD相交于点E，易证Rt AB ERt ADE， 30B AEDAE 33 1 36 AB E ABB ES 3 2 3 AB E SS 重 。 【例题6】 如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将C点 折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连结PQ，则MP ，PQ ； 解：连结PC，易证 为等边三角形， 3 2 PN ， 3 1 2 MP ，又30CBQPBQ， 3 3 PQCQ 二、思维拓展： 【例题7】 已知正方形ABCD的边长为1， ,M N 分别为 ,AB AD边上的点。 若CMN 为正三角形， 则边长为 解：易证CDMCBM，设BMDNx，1AMANx ， 22 2 1,112 1MNxCMCNxxx， 解得23x 又0123xx ，边长为2 162x。 【例题8】 在正方形ABCD的对角线BD上截取BE BC ，连结CE，P为CE上一点，PQ BC 于Q，PRBE于R，若 6AC ，则PQ PR ； 解：设AC与BD点O，连结BP， 由 111 222 BCPBEPBCE SSSBC PQBE PRBE CO， 3BEBCPQPRCO。 3 / 5 【例题9】 已知正方形ABCD中，点,M N分别在 ,BC CD上，且 MCN的周长等于正方形ABCD 周长的一半，则 MAN ； 解：由已知 CMN CCNCMMNCDCBCNDNCMBM， MNDNBM，延长CB到G，BGDN，连结AG， 则MGMN， 先证ABGADNBAGDAN可得90NAG， 再证AMGAMN，45MANMAG 【例题10】 已知P是正方形ABCD内一点， 1PA ， 2PB ，.，则 APB 的度数为 ，正 方形ABCD的面积为 ； 解： （1）将ABP绕点B旋转到CBQ，连结PQ， 则1,2,2 2CQAPBQBPPQ，又3PC ， 222 PQCQPC，90PQC，135BQC，135APB （2）作AHBP于点H，则 2 2 AHPH， 2 2 2 BH ， 2 222 12 252 2 22 ABAHBH ， 正方形ABCD的面积为52 2。 【例题11】 如图，M是边长为1的正方形ABCD内一点，若 22 1 2 MAMB， 90CMD，则 MCD 的度数为 ； 解：由 22222222 1 2 MAMCMDMBMDMCMAMB， 又 22 1MDMC，所以 3 2 MD ， 1 2 MC ，所以60MCD。 M D CB A 4 / 5 B CD E F A 三、难题解析： 【例题12】 已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上 求证：AE、AF把BAC三等分； 解：连结BD交AC于点D，作EHAC于H， 易证 11 22 BOACAE， 1 30 2 EHAECAE， 易求15CAFEAFBAE， ,AE AF把BAC三等分。 【例题13】 在正方形ABCD的边AD的延长线上取点 ,E F ，使 ,DEAD DFBD ，连BF分别 交 ,CD CE于,H G ，求证： GDH 为等腰三角形。 证：易求22.5DFBDBFCBG， DEBC且DEBC，四边形BDEC为平行四边形， BDCE，22.5CBGBGC， CBGCGB，CBCG，CBCD，CGCD， 又易求45DCG，67.5CDGCGD， 45DGH，67.5DHG ， 45DGH，67.5DHG，CDGDHG， GDGH，GDH为等腰三角形。 四、自招专训： 【例题14】 边长为1的正方形ABCD，点E、F各在边AB与AD上，且AE AF ，求四边形 CDFE的最大面积。 解：令AEAFx，作EGDC，则 11 22 EGC x SEG GC ， 11 112 22 DFEG Sxxxx ， 5 / 5 G F E D C B A H 所以 2 1 1 2 CDFEEGCDFEG SSSxx，当 1 2 x 时，有最大值 5 8 。 备用： 1、 如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点， 要使中间阴影部分小正方形的面积为5， 则大正方形的边长应该是 ； 解：设CH与BG点P，设BFCFCGa， 则5BGa，由 11 22 BCG SBG CPBC CG， 2222 2 544 5 4 555 CPaBPBCCPaaa， 2 11 4 52 54 22555 BCP SBP CPaaa 由题意， 2 22 4255 245 542 aaaa ， 边长为25a 。 2、已知如图，以ABC的两边,AC BA分别向外作正方形,ACGH BAFE，AD是BC边上的高，其 反向延长线交HF于K点，求证： 1 2 AKBC； 证：过点F作FQAH交AK延长线于Q，连结QH， FQAH，180AFQFAH，