17 因式分解14轮换对称式教师

第十七讲 因式分解（14）轮换对称式1. 设，若，则=_；解：令，则，令，则，所以，即而，所以。2. 已知，则的值为_；解：令，得，令，得，两式相加，得，故原式=。3. 有三组数：、；、；、。每次从各组中分别取出一个数来，把取出的三个数相乘，要求每次取出的数中至少有一个不同，则所有这样的三个数的积的和是_；解：所有乘积的和为。4. 有意义，则的取值范围是 （ ）、 、 、 、解：，选。5. 设、为有理数，且，则的值 （ ）、一定不是负数 、一定是负数、一定是正数 、以上都有可能解：，所以选。6. 已知，则 的值为 （ ）、 、 、 、解：依题设，有，于是，选。7. 设，求除以所得的商式与余式；解：，即，所以，则，所求的商为，余式为。1. 轮换式与对称式（1）关于x、y的多项式在将字母x与y互换时，保持不变这样的多项式称为x、y的对称式（2）类似地，关于x、y、z的多项式在将字母x、y、z中任意两字母互换时，保持不变这样的多项式称为x、y、z的对称式（3）关于x、y、z的多项式在将字母x、y、z轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变这样的多项式称为x、y、z的轮换式显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z的轮换式但是，关于x、y、z的轮换式不一定是对称式例如，就不是对称式次数低于3的轮换式同时也是对称式两个轮换式（对称式）的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）轮换式与对称式反映了数学的美它们的因式分解也是井然有序，可以按照一定的规律去做的2. 基本轮换式例如，一次齐次的轮换式是 二次齐次的轮换式是 三次齐次的轮换式是 这里，都是待定的常数3. 轮换对称式的因式分解（1） 判断对称式是否为轮换对称式；（2） 试根；对于轮换对称式，常用的方法是选定一个字母（例如x）作主元，将其余的字母看作常数，利用确定因式定理它的因式，再利用轮换对称式的性质，写出与其相关的因式对于关于x、y、z的轮换对称式，最常见的因式有:因式试根或或或从上到下依次为:、或、（3）对比次数；（4）对比系数【例题1】 关于三个字母的一次对称式有（ ）个A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个解答：无数个. 【例题2】 关于多项式，以下描述正确的是（ ）A. 是对称式但不是轮换式B. 是对称式但不是轮换式C. 是轮换对称式D. 既不是轮换式也不是对称式【例题3】 分解因式:【例题4】 分解因式:解: 当时，原式为0，待定系数可得：所以原式【例题5】 分解因式:解:当时，原式，所以原式有这一因式由于是三次多项式，所以设，若，解得，所以原式【例题6】 分解因式:解:当时，原式所以比较系数，得，所以【例题7】 分解因式:解：原式=【例题8】 分解因式:解:当时，原式，所以原式有 这一因式，因是五次多项式，所以设原式，当时，当时，解得，所以原式【备用】分解因式:【备用】分解因式：解：原式不是a、b的轮换式，但是如果记，则是关于a、c的轮换式，试根得到原式有因式、