04 几何著名的定理2015年寒假 初二数学竞赛进阶进度一班学生

第四讲 几何著名定理（梅氏、赛瓦定理）【梅涅劳斯定理】梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么【梅涅劳斯定理的逆定理】若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足，则F、D、E三点共线利用这个逆定理，可以判断三点共线【数学意义】使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理【塞瓦定理】在内任取一点直线、分别交对边于、，则等价叙述：ABC的三边BC，CA，AB上有点D，E，F，则AD，BE，CF三线共点的充要条件是，这点称为三角形的塞瓦点【塞瓦定理的逆定理】如果有三点、分别在ABC的三边AB，BC，CA上，且满足，那么AD，BE，CF三线交于一点（图1）或平行（图2）图2注1、利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条高线必交于一点；三角形三条中线交于一点等图1【例题1】 如图，点D在的AC边上，E在CB的延长线上，且AD=BE，求证：【例题2】 如图，D、F分别是边AB、AC上的点，且，DF交BC边的延长线于E点，求EF：FD的值【例题3】 已知如图，中，BD：DC=CE：EA=2：1，AD和BE交于F，求AF：FD的值【例题4】 如图，已知AD是ABC的BC边上的中线，F为AB上一点，CF交AD于点E求证：【例题5】 如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的三等分点中靠近B、C、A的一个分点，且AD、BE、CF交成，求证：【例题6】 如图，D、E为BC的三等分点，F为AC的中点求：BP：PQ：QF【例题7】 如图，M、N分别为中AB、AC边上的点，且有，MN与中线BD交于O，求的值【例题8】 已知：AD为ABC的中线，E、F分别为AB、AC边上的点，且AE=AF，连EF交AD于M求证：【赛瓦定理】【例题9】 已知：ABC内角平分线AD、BE、CF与对边分别交于点D、E、F求证：三角形三条内角平分线交于一点（用塞瓦定理的逆定理证明）【例题10】 已知：ABC三边上的高线AD、BE、CF与对边分别交于点D、E、F求证：三角形三条高线线交于一点（用塞瓦定理的逆定理证明）【例题11】 已知，向外作长方形ABDE、ACFG、BCHK，又设直线DE与直线GF交于P，直线DE与直线KH交于Q，直线KH与直线GF交于R，则AP、BQ、CR共点【例题12】 已知中，AD、BE、CF是角平分线，则当且仅当【例题13】 如图，AM是锐角的角平分线，于点E，于点F，CE与BF交于点P，求证：【例题14】 中，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AD、BE、CF共点于PD也在BC上，且DD与BC的中点重合，同理定义E、F求证：AD、BE、CF也共点【例题15】 一个三角形的一边上的高、第二边上的中线与第三边上的角平分线交于一点，这个三角形一定是正三角形吗？1. 设等腰直角三角形ABC，E是AC中点，D在BC上，求证：（试用梅氏定理证明）2. 设D是锐角三角形ABC的边BC上的一点，E是边AC上的一点，AD与BE相交与点F， 求：3. 在ABC中，EFBC，BE，CF交于点OAO延长线交BC于D