12 四边形阶段综合1教师版初二培优进度

- 1 - 第第 12 讲讲四边形阶段综合四边形阶段综合（1） 【例题与应用】【例题与应用】 一、填空： 【例题【例题 1】如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ，AE BD ， BAE EAD 1 3 ， 则 EAC_ （45） 【例题【例题 2】如 图， 菱 形 ABCD 中 ，AC 16cm ， BC 10cm ， DE BC ， 则 DE _ （96cm） ? A ? B ? C ? D ? E ? O 【例题【例题 3】如图，正方形 ABCD 中，CEDE12，AB 的长度为 1，MNBE 于 F，则 MN 的长度为_ （ 10 3 ） 【例题【例题 4】如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在边 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一个 动点，则 DNMN 的最小值为_ （10） ? N ? M ? D ? C ? B ? A 二、解答： 【例题【例题 5】如图， 正方形 ABCD 的对角线 BD 上有一点 F， 边 AB 上有一点 E， 使得 CFFE， 求 DF AE 的值 解：过F作FHCD，交AB于H 易证四边形,BCGH ADGH是矩形 0 , 1245 CGBH DGAH DGFG，同理BHFH CGFH 易证34 CGFFHEFGHE - 2 - 设1DG 则1GFHEAH 22 21122 AE AEDF DF ， 【例题【例题 6】如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，DAE 的平分线 AF 交 DC 于 F求 证：AEFDEB 证：延长CB至G，使BGDF，联结AG 易证ADFABG 14,5 523 G BAF 又12 51343GAE GGAE AEGEGBEBFDEB 【例题【例题 7】如图， 已知正方形ABCD内一点P，:1: 2 : 3PA PBPC =， 且PBBE=，PBBE. 求APE的度数。 【例题【例题 8】已知：如图，在ABCD 中，E、F 分别是 AD、AB 边上的点，且 BE=DF，BE 与 DF 交于点 G 求证：GC 平分BGD 证：作CMDF于M，作CNBE于N 1 2 11 22 BECCDFABCD SSS DF CMBE CN BEDF CMCN GC平分BGD ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? G - 3 - 【例题【例题 9】如图，在ABCD 中，BC2AB，M 是 AD 边的中点，CEAB 于点 E，联结 EM 求证: DME3AEM 证：延长CDEM、交于F，联结MC 易证AMEDMF 1EMMFF ， / 2 22 CEABABCDCECF MCMFF BCABADCD ， 又M是AD中点 23 43 MDCD DME 23 3 F AEM 【例题【例题 10】正方形 ABCD 中，点 P 与 B、C 的连线和 BC 的夹角为 15 求证：PA=PD=AD 证明：以 CB 为边向正方形外作正三角形 CBF，连接 PF 因为PCB15，BCD90，BCF60 所以DCPFCP75 同理PBF75 因为 CDCB，CBCF 所以 DPPF 又因为 CPCP 所以CDPCFP（SAS） 所以 DPPF 因为 CFBF，PCFPBF，PFPF 所以CFPBFP 所以CFPBFP30 所以FPC75 所以FCPFPC75 所以 PFCF 所以 DPCD 同理 APBA 因为 CDADBA 所以 PDPAAD ? E ? D ? C ? B ? A ? M - 4 - 【例题【例题 11】如图，在四边形 ABCD 中，ADC=90，ACBC，ACB45，E、F 分别是 AC、AB 的中点，且DEA45，BGAC 于 G （1）求证：四边形 AFGD 是菱形 （2）若 ACBC10cm， 求菱形的面积 （1）证：联结CF 易证 0 1222.5 ，CFAB ADCAFC 35ADAF ， 易证：34AFFG ， 45 AD FG ，且ADAF 四边形AFGD是菱形 （2）在BCG中， 00 9045BGCACB， 10BC ，则5 2CG 105 2AG（） 联结DF，交AG于H，则DFAG 在Rt DHE中， 0 45 ,5DEADE 5 2,5 2 2 DHDF 1 5 2(105 2)25 225 2 ADGF S 菱形 【例题【例题 12】平行四边形 ABCD 的对边 AB、CD 的中点为 E、F，求证：DE、BF 三等分对 角线 AC 证明：易证四边形 BFDE 为平行四边形 DEBF E、F 为 AB、CD 的中点 AG=GHGH=CH DE、BF 三等分对角线 AC 【例题【例题 13】如图，在菱形 ABCD 中，4ABa=，E 在 BC 上，2ECa=，120BAD=，P 在 BD 上，求 PE+PC 的最小值。 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A - 5 - 【例题【例题 14】如图，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的动点，F 是边 BC 延长线上的一点，且 BF=EF，AB=12，设 AE=x， BF=y （1）当BEF 是等边三角形时，求 BF 的长； （2）求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出它的定义域； （3）把ABE 沿着直线 BE 翻折，点 A 落在点 A 处，试探索：BF A 能否为等腰三角形？如 果能，请求出 AE 的长；如果不能，请说明理由 解:（1）当BEF 是等边三角形时，ABE=30 AB=12，AE=34 BF=BE=38 （2）作 EGBF，垂足为点 G 根据题意，得 EG=AB=12，FG=y-x，EF=y 222 12)(xyy 所求的函数解析式为)120( 2 144 2 x x x y （3）AEB=FBE=FEB，点 A 落在 EF 上 AEEA，FA B =EA B =A=90 要使BF A 成为等腰三角形，必须使FABA 而12ABBA，EABFEAEFFA， 12 xy 12 2 144 2 x x x 整理，得014424 2 xx 解得21212x 经检验：21212x都原方程的根，但21212x不符合题意，舍去 当 AE=12212时，BF A 为等腰三角形 A B C D E F G A B C D E F A A B C D E F - 6 - 【例题【例题 15】如图，在直角梯形ABCD中，ABCD， 0 90BCD=，10ABADcm=， 8BCcm=点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每 秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动已知动点PQ、同时出发，当点Q运动到点C时，PQ、 运动停止，设运动时间为t （1）求CD的长； （2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长； （3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQD的面积为 2 20cm？若存在，请求 出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由 解： （1）过点 A 作 AMCD 于 M， 根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8， DM=6， CD=16； （2）当四边形 PBQD 为平行四边形时， 点 P 在 AB 上，点 Q 在 DC 上，如图， 由题知：BP=103t，DQ=2t 103t=2t，解得 t=2 此时，BP=DQ=4，CQ=12 四边形 PBQD 的周长=2（BP+BQ）=； （3）当点 P 在线段 AB 上时，即时，如图 - 7 - 当点 P 在线段 BC 上时，即时，如图 BP=3t10，CQ=162t 化简得：3t234t+100=0，=440，所以方程无实数解 当点 P 在线段 CD 上时， 若点 P 在 Q 的右侧，即 6t， 则有 PQ=345t ， 6，舍去 若点 P 在 Q 的左侧， 即， 则有 PQ=5t34， t=7.8 综合得，满足条件的 t 存在，其值分别为，t2=7.8 【课后作业】 1.如图，在菱形ABCD中，已知EF、分别是BCCD、上的点。若AEAFEFAB=，求 C的度数。 证：设BAEx，易证FADx，则AEBEAC+ACE=（x60） 由ABE 的内角和得：x20，则C100. - 8 - 【教师备用】 1.已知ABC为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点， （点 D 与 B、C 不重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF，使60DAF，联结 CF （1）如图所示，当点 D 在 BC 边上时，求证：BDCF，ACCFCD （2）如图所示， 当点D在BC的延长线上且其它条件不变时， 结论ACCFCD是否成立？ 如果不成立，请写出成立的关系 （3）当点 D 在 CB 延长线上且其他条件不变时，补全图形，且写出 AC、CF、CD 之间的 关系 （1）证明：四