13 圆周角与四点共圆教师

第十三讲 圆周角与四点共圆1. 圆周角：顶点在圆周上，两边与圆相交的角叫做圆周角（angle in acircular segment）如图ACB定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半（会证明）同（等）圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距、圆周角都相等2. 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角称为圆内角，圆内角的度数等于它所夹的两条弧的度数之和的一半3. 圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角称为圆外角，圆外角的度数等于它所夹的两条弧的度数之差（大度数减去小度数）的一半4. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的每组对角互补，并且任一个外角等于它的内对角如右图，5. 四点共圆的判定（1）：如果一个四边形的一组对角互补，那么该四边形内接于同一个圆6. 四点共圆的判定（2）：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么四边形内接于同一个圆7. 四点共圆的判定（3）：如果两个同底同侧的三角形顶角相同，则两三角形的四个顶点共圆如右图，如果，则、四点共圆【圆周角】【例题1】 是ABC的外心，求的度数（不给图）【例题2】 如图，在中，弦、垂直相交于，求证：【例题3】 以的直径为边作等边ABC，、交于、求证：【例题4】 在中，半径垂直于，弦垂直于于，求证：ADBC【例题5】 如图所示，BC为直径，G为半圆上任一点，A为弧BG中点，APBC于P，求证：证明：联结AB，【例题6】 锐角ABC中，边上的高延长交ABC的外接圆于，边上的高延长交ABC的外接圆于求证：证明：，【例题7】 和都经过A、B两点，过点的直线交两圆于C、D，过点的直线交两圆于E、F，求证：CEDF证明：，CEDF【四点共圆】【例题8】 如果四边形的一组对边与的延长线交于点，且，求证：、四点共圆【例题9】 如果四边形的对角线交点为，且，求证：、四点共圆证明：AQBDQC，、四点共圆【例题10】 如图，在ABC中，于，于，于，求证：、四点共圆证明：联结EFF、D、E、C四点共圆A、B、E、F四点共圆【例题11】 如图，半圆上有、两点，、相交于，于，求证：证明：连结PA、QBA、P、M、N四点共圆同理，B、N、M、Q四点共圆A、B、Q、P四点共圆【例题12】 如图，、四点在同一圆周上，且，线段和的长都是整数，求的长度【例题13】 直角三角形和直角三角形的为公共角，自点作的垂线，自点作的垂线，垂足分别为、若交于点，求证：【例题14】 在ABC中，是直角，于，是的平分线，、分别是ABD和ACD的内心求证：【作业1】 两圆相交于P、Q两点，一直线依次交这两个圆于A、B、C、D四点，如图所示求证：证明：联结PQ，【作业2】 如图，为ABC内一点，、分别交、于、如果，且，则（ ）（A）（B）（C）（D）【作业3】 如图，如果凸五边形中，且，则下列与相等的角为（ ）（A）（B）（C）（D）【作业4】 如图，在梯形中，、分别是腰、上的点，则图中四点共圆的点有（ ）（A）组（B）组（C）组（D）组第2题第3题第4题【作业5】 如图，圆心为，直径为的半圆上有不同的两点和，点落在上，且，若，则等于（ ）（A）（B）（C）（D）1. 如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，求此圆的周长解：余弦定理即可所以25，64两边夹角为90所以周长=652. 如图，为圆心