初中一次函数-二次函数-反比例函数-圆知识整合

一次函数（y=kx+b）1当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。12当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。13对于正比例函数，y除以x的商是一定数（x0）。对于反比例函数，x与y的积是一定数。4在两个一次函数表达式中： 当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合； 当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行； 当两个一次函数表达式中的k不相同，b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交； 当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）； 当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。15.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k0,b0经过第一、二、三象限k0,b0,b=0经过第一、三象限【k0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大】k0经过第一、二、四象限k0,b0经过第二、三、四象限K0,b=0经过第二、四象限【k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。定义域为x0；值域为y0。3.因为在y= (k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.反比例函数图像会无限接近于坐标轴但不相交（坐标轴是反比例函数图像的渐近线）4.a越大，抛物线开口越大；a越小，抛物线开口越小。4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2 ,且等于|k|.5. 反比例函数的图象是双曲线，有两支，既是轴对称图形，对称轴是y=x或y=-x，又是中心对称图形，对称中心是坐标原点.6.反比例函数图像中，|k|的值越大，图像越远离坐标轴.反比例函数的应用举例【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式分析：要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程解： m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根 m+n=3，mn=k,又 PO=根号13， =13，-2mn=13， 9-2k=13 k=-2当 k=-2时，=9+80， k=-2符合条件，二次函数（y=aX）在平面直角坐标系中作出二次函数y=aX的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。注意：草图要有 :1. 本身图像，旁边注明函数。2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）3. 与X轴交点坐标 （x,y);(x, y)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b/4a).2.3轴对称二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧.a,b异号，对称轴在y轴右侧.2.4顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b/4a).当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)+k。h=-b/2a， k=(4ac-b)/4a。2.5开口方向和大小二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0,与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0,与b异号时（即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。2.7决定与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。2.8与x轴交点个数a0或a0;k0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a0;k0,k0时，二次函数图像与X轴无交点。当a0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是yk当a0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y0，则抛物线开口朝上；a0，图象与x轴交于两点：（-b-/2a，0）和（-b+/2a，0）；=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；0 且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X（X+X）/2时Y随X的增大而减小此时，x、x即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X)(X-X) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X X值。增减性当a0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反当a0时，开口方向向上；ar.P在圆O上，则 PO=r.P在圆O内，则 0POr。直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与O相交，dR+r；外切P=R+r；内含PR-r；内切P=R-r；相交R-rPR+r4圆的性质圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式:=(L/2r)360=180L/r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的4倍。有关外接圆和内切圆的性质和定理一个三角形有唯一确定的外接 圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。R=2SL（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。4.1与切线有关的定理垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC2=pApB割线定理与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点则pA1pB1=pA2pB2解答题1、已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4) ,求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）,mn分别为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？（3）,mn分别为何值时，函数的图象经过原点？（4）当m=-1,n=-2时，设此一次函数与x轴交于A，与y轴交于B，试求AOBV面积。2、（05年中山）某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。（1）写出y与x的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？3、如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式。4、已知：二次函数为y=x2x+m（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方（3）若抛物线与y轴交于A，过A作ABx轴交抛物线于另一点B，当SAOB=4时，求此二次