连续型随机变量及其分布-、

连续型随机变量及其分布,第二章,一、连续型随机变量的定义,二、常用的连续型随机变量,第四节,一、连续型随机变量的定义,定义1.设F(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负,，使对任意实数,则称X为连续型随机变量，称,为X的概率密度函,数，简称概率密度或密度函数。,常记为,函数,规律就得到了全面描述.,若已知密度函数，该连续型随机变量的概率分布,1.概率密度,2.概率密度的性质,非负性,归一性,由于,可由下图表示,面积为1,这两条性质是判定一个函,是否为某随机变量X,的概率密度函数的充要条件。,数,对于任意实数,，有,这是因为,这里事件,并非不可能事件，但,可见,由,，不一定能推出,由,，不一定能推出,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,对于任意的数,有,连续型随机变量X落在某区间,上的概率,在该区间上的改变量,在该区间上的积分(与端点是否在内无关),图中阴影部分,分布函数,上连续，且密度函,数,不唯一（在个别点的值可不同）。,概率密度,在点,处连续，则有,即,如果把概率理解为质量，,故X的密度,上的概率与区间长度,之比的极限。,这里，,相当于线密度。,区间,在,这一点的值，恰好是X落在,这表示X落在小区间,上的概率近似地等于,若不计高阶无穷小，有：,在连续型随机变量理论中所起的作用与,在离散型随机变量理论中所起的作用,相类似。,解,例1,求下列函数是否为概率密度函数,是显然的；,故f(x)可以作为密度函数。,解,例2,解,解由,得,则,当,时，,当,时，,得,当,时，,所以,由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.,分布函数,离散型r.v的分布函数,连续型r.v的分布函数,分布函数的性质,概率分布律与分布函数的关系,概率密度与分布函数的关系,二、几种常用的连续型随机变量,1.均匀分布,定义若随机变量X的概率密度为：,则称X服从区间a,b上的均匀分布，记作,均匀分布的密度函数的验证,设,，其中,是其密度函数，则有,由此可知,确是密度函数。,因为,均匀分布的概率背景,均匀分布的分布函数,由于,由上可知均匀分布的分布函数为,图形如下,书103页，例2.27,解,依题意，XU0,30,以7:00为起点0，以分为单位,随机变量，,例1某公共汽车站从上午7时起，,每15分钟来一班车，,即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，,如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀,试求他候车时间少于5分钟的概率.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3。,解,因为当,时，方程有实根，故所求,概率为,而X的概率密度为,从而,作业8,122页11、1213、14,指数分布,若随机变量X的概率密度为：,指数分布。,为常数，则称随机变量X服从参数为,其中,的,概率密度的图形,指数分布的分布函数为,密度函数的验证,解,(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两,.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布,例3,(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。,年的概率为多少？,由已知得X的概率密度为,解,由题意知,，其中,现在X的概率密度为,例4假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟),X服从指数为,的指数分布。若等待时间超过10,分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次。以Y,表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y,的分布律及至少有一次没有等到服务的概率,因此,所以Y的分布律为,于是,求常数A;该晶体管寿命不超过150小时的概率；一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150小时后至少有一只失效的概率。,例5(105页例2.39)某种晶体管的寿命X，其密度函数为,随机变量的函数的分布,第二章,一、离散型随机变量的函数的分布,二、连续型随机变量的函数的分布,第五节,随机变量的函数,设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X),则Y,也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值为y=g(x),本节的任务：,已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),要求随机变量Y的分布(分布律或分布密度),一、离散型随机变量的函数的分布,当X为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随,机变量，并且在X分布律已知的情况下，求Y的分布,律是很容易的。,例1.已知X的分布律为,求Y=2X1，Z=X21的分布律。,解,故Y的分布律为,故Z的分布律为,注意,设,互不相等时，则,由,可得,当,，则把那些相等的值合并，,并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。,例2.设某工程队完成某项工程所需时间为X(天)近似,服从参数为,的正态分布，奖金方法规,定，若在100天内完成，则得超产奖10000万元；若在,若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完,成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成,这项工程时，奖金额Y的分布律。,解依题意,可见Y是X的函数，且是离散型随机变量。,则Y的分布律为,.分布函数法（一般的函数都适用）,先求,的分布函数,再利用,的分布函数与概率密度之间,的关系求,的概率密度为,三、连续型随机变量的函数的分布,解先求Y=2X+8的分布函数,得Y=2X+8的概率密度为,设XU(1,1)，求Y=X2的分布函数与概率密度。,例4,解由已知得,则Y的分布函数,当y0时，,;当y1时，,当0y1时，,Y的分布函数为,上式对Y求导，即得,的概率密度为,设XU(1,2)，求Y=X2的分布函数与概率密度。,例5,思考,.公式法（直接应用于单调函数）,定理设随机变量X具有概率密度,处处可导,且是严格单调函数,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中h(y)是g(x)的反函数，与具体题中再定。,注：只有当g(x)是x的严格单调可导函数时，才可用以上公式；,注意定义域的选择。,例如在例3中，用公式法,故g(x)严格单调增，其反函数为,注：当f(x)在(a,b)外取值为0时，只要求y=g(x)在,(a,b)上单调就可用公式。,单调增，,单调减，,解,反函数,当,时,故,分布函数法：注意到,而,求导得:,例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,书119页例2.48,书112页练习2.7第2题,知识小结,一、研究对象：随机变量（随机试验结果数量化）,二、分布函数的性质,离散型,连续型,单调不减性,连续性,右连续性,三、分布律和