小学奥数之牛吃草问题

“放牧问题是追求问题，放牧问题是工程问题。”伟大的英国数学家牛顿曾经解决了这样一个数学问题：牧场上有一片草长得和每天一样快。这块草可以被10头牛吃22天，或者16头牛吃10天，或者25头牛吃几天。解决问题的关键：牛顿的问题，通常被称为“牛放牧问题”，牛每天吃草，草每天均匀生长。解决问题的过程有四个主要步骤：1.计算每天生长的草的数量；(2)计算牧场的原始草量；3.计算每天消耗的实际草量4、终于找到吃饭的天数思考：草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。将10头牛在22天内的总进食量与16头牛在10天内的总进食量进行比较，结果是1022-1610=60，这是60头草在牛一天内的进食量。如果平均分是(22-10)天，那么我们知道在牛一每天吃5头草，也就是说，每天吃新长出的草。这种情况被发现，25头牛被分成两部分进行研究。5头牛吃新长出的草，20头牛吃原来的草，这样就可以算出25头牛吃的天数。解决方法：几头牛可以吃一天新长出的草：(1022-1610)(22-10)=(220-160)12=6012=5(表头)这片草可以喂养25头牛的天数：(10-5)22(25-5)=52220=5.5(天)回答：25头牛可以吃5.5天。-“一堆草可以被10头牛吃3天，而这堆草可以被6头牛吃几天？”这个问题太简单了，不可能一蹴而就：3106=5(天)。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草”，问题就不会那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量也在不断变化。这种工作总量不固定(平均变化)的问题是放牧问题。牧场上有一片草地。草每天都以恒定的速度生长。这个牧场可以被10头牛吃掉20天，或者被15头牛吃掉10天。问：25头牛能吃多少天？分析和解决方法：这种问题很难解决，因为牧场上的草量每天都在变化。我们必须想办法从变化中找到一个恒定的量。草的总量可以分为两部分：牧场上的原始草和新生长的草。牧场上原来的草是一样的。尽管新长出的草在变化，因为它以恒定的速度生长，但是这个牧场上新长出的草的数量每天都是一样的，也就是说，新长出的草每天都是一样的。接下来，我们将尝试计算原始草量和每天生长的新草量的两个不变量。在牛一，每天吃一块草。然后，10头牛将在20天内吃掉200份，草将被吃掉。15头牛在10天内吃了150份，草也被吃掉了。前者的草总量为200份，而后者的草总量为150份。前者是原来的草加上20天新长出的草，而后者是原来的草加上10天新长出的草。200-150=50(份)，20-10=10(天)，这表明该牧场有50份天长草和5份天长草。也就是说，五头牛只吃新长出的草，而不是五头牛所吃的草是牧场上原来的草。可以断定，牧场上原来的草(L0-5) 20=100(份)或(15-5) 10=100(份)。现在已经知道每天有100份的原草和5份的新草生长。当有25头奶牛时，其中5头吃新长出的草，其余20头吃原来的草。完成进食需要10020=5天。因此，这片草地可以供25头牛使用5天。例1的解决方案应注意三点：(1)每天新生长的草的量是通过在两种已知的不同条件下所吃的草的总量和所吃的天数之间的差异来计算的。(2)在两种已知情况中的任何一种情况下，假设几头牛吃新生长的草，其余的牛吃原来的草，可以根据吃的天数计算出原来的草量。(3)在问题中，让几头牛只吃新长出的草，让其余的牛吃原来的草。根据草的原始数量，我们可以计算出它们能吃多少天。例1一片草原旧草(距离差):根据：距离差=速度差和时间(10-4) 20=120或(12-4) 15=120跟踪时间=距离差速度差：120 (24-4)=6(天)实施例2牧场可容纳58头牛7天或50头牛9天。假设每天草的生长量相等，每头牛的放牧量相等，有多少头牛可以吃它6天？草速：(509-587) (9-7)=22旧草(距离差):(50-22) 9=252或(58-22) 7=252找几头牛就是找牛的速度，牛的速度=距离差和时间草的速度2526 22=64(头)随着天气变冷，草地上的草不再生长，而是以固定的速度减少。众所周知，一片草地上的草可以被20头牛吃5天，或者被15头牛吃6天。根据这个计算，10天可以喂多少头牛？分析和解决方案：与例1不同，不仅没有新的草生长，而且原来的草仍在减少。然而，我们也可以使用示例1的方法来找出每天减少的草量和原始草量。让一头牛每天吃1份草。20头牛在5天内吃100份，15头牛在6天内吃90份，100-90=10份，这表明感冒一天减少10份草，也就是说，感冒相当于10头牛吃草。由“草地上的草可以被20头牛吃5天”，加上以“冷”为代表的10头牛同时正在吃草，所以草地上原来的草(2010)5=150(零件)。从15010=15可知，原来的牧草可以供15头牛使用10天，而寒冷又占用了10头牛，所以可以供5头牛使用10天。例4一个水池配备有一个进水管和三个相同的出水管。先打开进水管，待池里有水后再打开出水管。如果两个出水管同时打开，8分钟后水池将是空的。如果三个出口管同时打开，水池将在5分钟内清空。出水管比进水管晚开多少分钟？分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但“水”相当于“草”，因为水的总量变化均匀。进水管中的水相当于新长出的草，出水管中的水相当于牛吃草，所以这也是牛吃草的问题，解决方法自然类似于实施例1。出水管排出的水可分为两部分：一部分是出水管开启前的原始水量，另一部分是从排水开始到排空期间进水管投入的水。因为初始水量是恒定的，这个问题可以通过比较两次排水的时间和水量来解决。如果出水管每分钟从水池中排出1份水，则两个出水管在8分钟内排出的水为28=16份，三个出水管在5分钟内排出的水为35=15份。两次排放的水量包括从排水开始到排空的初始水量和进水水量。减去2等于8-5=3(分钟)的水量，所以每分钟的水量是(16-15)/3=1/3(零件)假设三分之一的出水管专门用于从进水管排出新进的水，并且两相相互抵消，其余的用于从水管排出原始水，原始水的水量可以发现为： (2-1/3) 8=40/3(份)或(3-1/3)5=40/3(份)溶液：设定出水管每分钟排出1份水，每分钟进水(28-35)/(8-5)=1/3(份)进水管提前打开(2-1/3)81/3=40(分钟)答：出水管比进水管晚开40分钟。实施例5水箱底部装有常开排水管，上部装有几根相同厚度的进水管。当4个进水管打开时，水箱需要5个小时才能注满。当打开两个进水管时，需要15个小时来注满水池。现在水池需要在2小时内注满，那么至少应该打开多少根进水管？分析主题没有给出排水管的排水速度，因此必须找到排水管和进水管之间的定量关系，以确定至少必须打开多少根进水管。解决方案：本课题是一个具有实际意义的工程问题。由于注水量和排水ra简化后得到2ax-2a=15a。即2xa=17a。(a0)所以x=8.5因此，在2小时内注满水池之前，必须打开至少9个进水管。注：x=8.5，如果这里开8条水管，不能满足2小时内灌满水池的要求；打开8.5英寸的水管是不切实际的。因此，有必要打开至少9个水管。以上是书中给出的解决方案。考虑到这种解决方案不适合小学生，这个问题被视为放牧牛的问题。把进水管想成“牛”，出水管想成“草”，满池的水想成“老草”排水速度：(215-45) (15-5)=1满池水(距离差):(2-1) 15=15或(4-1) 5=15几根进水管：152 1=8.5(根)我和学生都有解决问题后反思的好习惯。既然这个问题是一个工程问题，我们能使用工程问题的解决方案吗？从那以后，我在课堂上试了试，答案是肯定的！当四个进水管打开时，需要5个小时来注满水池，所以四个进水管和一个出水管的效率是1/5。当两个进水管打开时，需要15个小时来注满水池，所以两个进水管和一个出水管的效率是1/15。两者的差别是(4-2=)两个进水管的效率，所以一个进水管的效率是：(1/5-1/15)(4-2)=1/15一根排水管的效率为：41/15-1/5=1/15或21/15-1/15=1/15现在水池需要在2小时内注满，那么至少应该打开多少根进水管？(1/2 1/15) 1/15=8.5(件)例6自动扶梯正以匀速从底部向顶部移动。两个不耐烦的孩子正从自动扶梯上楼。众所周知，男孩每分钟走20步，而女孩每分钟走15步。因此，男孩上楼需要5分钟，女孩上楼需要6分钟。问：自动扶梯有几级台阶？分析：与例3相比，“草的总量”变成了“自动扶梯的总梯级数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，这也可以看作是牛吃草的问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男人和女人自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩在5分钟内走了205=100(等级)，女孩在6分钟内走了156=90(等级)，女孩比男孩少走了100-90=10(等级)，并且多用了6-5=1(分钟)，表明电梯在1分钟内走了10(等级)。这个男孩花了5分钟才上楼。他上楼的速度是他自己的速度和自动扶梯的速度之和，所以自动扶梯有一个总数。(2010)5=150(水平)。解决方案：自动扶梯每分钟行走一次(205-156) (6-5)=10(水平)、自动扶梯总共有(2010)5=150(坡度)。有150部自动扶梯。一个车站在办理登机手续前几分钟就开始排队，每分钟都有相同数量的乘客到达。从检票开始到等待检票的队列消失，同时打开4个检票口需要30分钟，打开5个检票口需要20分钟。同时打开7个检票口需要多少分钟？分析与解决方案：等待办理登机手续的乘客数量正在发生变化。“乘客”相当于“草”，而“检票口”相当于“牛”，这可以通过解决牛吃草的问题来解决。旅客总数由两部分组成：一部分是在检票开始前已经排队的原旅客，另一部分是检票开始后新到达的旅客。一分钟内将有一个检票口。因为4个检票闸在30分钟内通过430张票，5个检票闸在20分钟内通过520张票，这意味着30-20分钟内有430-520名新乘客，所以每分钟都有新乘客到达。(430-520)(30-20)=2(零件)。假设两个检票口只通过新到达的乘客，两个检票口相互抵消，剩余的检票口通过原乘客，原乘客可计算为(4-2)30=60(份)或(5-2)20=60(份)。当同时打开7个闸口时，需要让2个闸口通过新到达的乘客，其他闸口通过原乘客60(7-2)=12(点)。例8有三片草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，长得一样快。第一片草地可以被11头牛吃掉10天，第二片草地可以被12头牛吃掉14天。19头牛能吃第三片草地多少天？分析和解决方案：示例1在同一个草原上，现在有三个不同面积的草原。为了解决这个问题，只需要统一三大草原的面积。5，6，8=120 .由于11头牛可以在10天内使用5公顷的草地，1205=24，1124=264头牛可以在10天内使用120公顷的草地。因为6公顷的草地可以被12头牛吃掉14天，1206=20，1220=240头牛可以吃掉120公顷的草地14天。1208=15，问题就变成了：120公顷的草地可以被1915=285头牛使用几天？因为草原面积相同，具体的公顷数可以忽略，所以原题目可以改为：“一棵以恒定速度生长的草可以喂264头牛10天，或者240头牛14天，那么285头牛能吃多少天？”这与示例1完全相同。让一头牛每天吃1份草。新草每天都在生长(24014-26410) (14-10)=180(零件)。原草(264-180) 10=840(份)。可以被285头牛吃掉。840 (285-180)=8(天)。因此，第三块草地可以供19头奶牛使用8天。例9牧场上有一块草地，6周内供24头牛食用，10周内供18头牛食用。假设草的生长速度是恒定的，那么19头牛需要几周的时间才能进食？分析：这个问题的难点在于牛吃草时草还在生长，也就是说草的总量随着时间的增加而增加。然而，不管草是如何生长的，牧场中的原始草量与每天(或每周)生长的新草量是相同的，所以我们必须先找出这两个量。我们可以先画一个线图(如图5-1所示)。从以上数字的比较可以看出，18头牛在10周内吃的草比24头牛在6周内吃的草多，额外的部分相当于新长出的草4周。因此，可以获得草的生长率。对于每周新生长的草，24头牛可以从6周的草中减去6周的新生长的草，或者18