分块矩阵求逆公式及证明_第1页
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分块矩阵求逆公式及证明 A A 1111 A A 1212 定理: A A = = ,如果A Aii ii（i1,2)的逆存在，则 A A21 21 A A 2222 -1-1-1-1-1-1A A(I I A A F F A A A A )A A -1-1-1-11111112122 2212111111111A A1212F F2A A ，其中F F (A AA A A A A A ) 2 22222212111111212 -1-1F F A A A AF F 2 2 2 221211111 B B 1111 B B 1212 证明: 设A A的逆为B B ，其中B B与A A分块形式相同，则： B B21 21 B B 2222 A A 1111 A A 1212 B B 1111 B B 1212 I I 1111 0 0 ABAB I I A AA AB BB B0 0I I 21212222 21212222 2222 A A 1111B B1111 A A 1212B B2121 I I 1111 (1) A A11 11B B1212 A A 1212B B2222 0 0 (2) A A21 21B B1111 A A 2222B B2121 0 0 (3) A A21 21B B1212 A A 2222B B2222 I I 2222 (4) -1-1-1-1-1-1(4) A A 2121A A1111 (2) A A 2222B B2222 A A 2121A A1111B B2222 I I 2222 B B 2222 (A A 2222 A A 2121A A1111A A12 2 )1 F F2 2 -1-1-1-1-1-1-1-1(3)A A 2121A A1111 (1) A A 2222B B2 21 A A 2121A A1111A A1212B B2 21 A A 2121A A1111 B B 2 21 B B 2222A A21A A1111 -1-1将B B 2222代入方程(2)可以得到： B B1212 A A 1111A A1212F F2 -1-1-1-1将B B 2121代入方程(1) 可以得到： B B1111 A A 1111 (I I 1111 A A 1212F F2A A2121A A1111 ) 证毕证毕。 同理可得，A A-1 -1的另外一种表达形式为： F F 1 11A A -1-1A A 2222 A A 2121F F1 1 -1-11,其中F F (A AA A A AA A ) 1 11111121222222121 A A 2222 -1-1(I I 2
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