初三数学二次函数的知识点及经典习题含答案

初三数学初三数学 二次函数二次函数 知识点总结知识点总结 一、二次函数概念：一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如y ax2bxc（a， b， c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b， c可以为零二次函数的 定义域是全体实数 2. 二次函数y ax2bxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 a， b， c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：y ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 向上 性质 a 0 0， 0 0， 0 y轴 x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 a 0向下y轴 2.y ax2c的性质： 上加下减。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 向上 性质 a 0 0， c 0， c y轴 x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c a 0向下y轴 x 0时，y随x的增大而减小；x0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c 3.y ax h的性质： 左加右减。 a的符号 2 开口方向顶点坐标对称轴 向上 性质 a 0 h， 0 X=h x h时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0 x h时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 a 0向下 h， 0 X=h 4.y ax h k的性质： 2 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 向上 性质 a 0 h， k X=h x h时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k x h时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k a 0向下 h， k X=h 三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： k； 将抛物线解析式转化成顶点式y ax h k，确定其顶点坐标h， k处，具体平移方法如下： 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h， 向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)】 平移|k|个单位 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” ky a2x b x 的比较 的比较 c 四、二次函数四、二次函数y a x h 与与2 从解析式上看，y ax h k与y ax2bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 b 4ac b2b4acb2 到前者，即y ax ，其中h ，k 2a4a2a4a 2 2 六、二次函数六、二次函数y ax2bx c的性质的性质 b4acb2b 1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为， 2a4a2a 当x 当x b 时，y随x的增大而减小； 2a b 时，y随x的增大而增大； 2a 4acb2b 当x 时，y有最小值 4a2a b4acb2bb 2. 当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ，顶点坐标为，时， 当x 2a4a2a2a 4acb2bb y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y有最大值 4a2a2a 七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数，a 0） ； 2. 顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0） ； 3. 两根式（交点式） ：y a(x x 1)(x x2 )（a 0，x 1 ，x 2 是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数 解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 （同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴） 3. 常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 十、二次函数与一元二次方程：十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程ax2bx c 0是二次函数y ax2bx c当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 0，Bx 2 ， 0(x 1 x 2 )， 当 b24ac 0时， 图象与x轴交于两点Ax 1 ，其中的x 1 ，x 2 是一元二 次方程ax2bx c 0a 0的两根. 当 0时，图象与x轴只有一个交点； 当 0时，图象与x轴没有交点. 1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0； 2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 2. 抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一、选择题一、选择题 1. 二次函数y x 4x7的顶点坐标是( ) 2 A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3） 2. 把抛物线y 2x向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（） 2 A. y 2(x1) B.y 2(x1) C.y 2x 1 D.y 2x 1 3.函数y kx k和y 2 2222 k (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x 4.已知二次函数y ax bxc(a 0)的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号; 当x 1和x 3时,函数值相等;4ab 0当y 2时,x的值只能取 0.其中正 确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.已知二次函数y ax bxc(a 0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图), 2 由图象可知关于x的一元二次方程ax bxc 0的两个根分别是x 1 1.3和x 2 2 2 （） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y ax2bxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在 （） A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程2x x 2 2 的正根的个数为（） x A.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y x x2 B.y x x 2 C. y x x2或y x x 2 D.y x x2或y x x 2 2222 22 二、填空题二、填空题 9二次函数y x bx3的对称轴是x 2，则b _。 10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当 x 0 时，函数值y随自变量x的增大而增 大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。 12抛物线y 2(x2) 6的顶点为 C，已知直线y kx3过点 C，则这条直线与两坐标轴所围 成的三角形面积为。 2 2 13. 二次函数y 2x 4x1的图象是由y 2x bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个 单位得到的,则 b= ,c=。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段AB 上离中心 M 处 5 米的 地方，桥的高度是 (取 3.14). 22 三、解答题：三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是x3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0, (1)求这个二次函数的解析式; (2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0? (3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随 x 的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间 t（秒）符合关系式h v0t 2 5 ). 2 第 15 题图 1 2 ，其 gt （0t2） 2 中重力加速度 g 以 10 米/秒 计算这种爆竹点燃后以v0=20 米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？ （2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线y x bxc经过直线y x3与坐标轴的两个交 点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D. （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD5 ：4 的点 P 的坐标。 2 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再 进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经 营利润，准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会 增加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材 料售价为 x（元） ，该经销店的月利润为y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； （2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围） ； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说： “当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由 二次函数应用题训练二次函数应用题训练 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间 x（分）之 间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30). （1） 当 x 在什么范围内时， 学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时， 学生的接受能力逐步减弱？ （2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？ 2、如图,已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在 ABC 上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少? A DG B EFC 3、如图, ABC 中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同时出发,问经过几秒钟 PBQ 的面积最大?最大面积是多少? C Q A PB 4、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的 距离为 3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时， 他跳离地面的高度是多少. y (0,3.5) m3. 05 O m4 x 5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中 间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？ (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x 6、某商场以每件20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件) 与每件的销售价 x(元)满足关系：m=1402x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大 销售利润为多少？ 二次函数专题复习二次函数专题复习图像特征与图像特征与 a a、b b、c c、符号的关系、符号的关系 1 1、 已知二次函数y ax2bxc， 如图所示， 若a 0，c 0， 那么它的图象大致是（） y yy yy yy y xxxx ABCD 2 2、已知二次函数 y ax bxc 的图象如图所示，则点 (ac,bc) 在 （） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 2y = ax + bx+ c 的图象如下，3、已知二次函数 y 则下列结论正确的是（） A ab0； b2-4ac0，其中正确的个数是（） A0 个B1 个C2 个D3 个 c 5、二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图 1，则点M（b，a）在 0 x （） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 2y ax bxc 的图象如图所示，则（）6、二次函数 22 A、a 0，b 4ac 0B、a 0，b 4ac 0 22 C、a 0，b 4ac 0D、a 0，b 4ac 0 7、已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（） A、ac0B、a-b+c0C、b=-4a D、关于 x 的方程 ax +bx+c=0 的根是x1=-1，x2=5 2 2 8、已知二次函数 y=ax +bx+c （a0）的图象如图所示， 有下列结论： b -4ac0； abc0； 8a+c0； 9a+3b+c0 其中，正确结论的个数是（） A、1B、2C、3D、4 2 2 二次函数对应练习试题参考答案二次函数对应练习试题参考答案 一，选择题、 1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 9b 4 10 x -3 11如y 2x 4, y 2x 4等（答案不唯一） 2 121 13-8 7 1415 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为y ax2bx c,由题意可得 b 2a 3 abc 6 5 c 2 解得a ,b 3,c 1 2 51 2 5 所以y x 3x 222 (2)x 1或-5 (2)x 3 16 （1）由已知得，15 20t 1 10t2，解得t 1 3,t 2 1当t 3时不合题意，舍去。所以当爆竹 2 2 点燃后 1 秒离地 15 米 （2）由题意得，h 5t 20t5(t 2) 20，可知顶点的横坐标t 2， 2 又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升 93bc 0 b 2 17 （1）直线y x3与坐标轴的交点 A（3，0） ，B（0，3） 则解得c 3 c 3 所以此抛物线解析式为y x 2x3 （2）抛物线的顶点 D（1，4） ，与x轴的另一个交点 C 2 （1，0）.设 P(a,a 2a3)，则( 4 a 2a3) :( 44) 5: 4.化简得a22a3 5 2 2 1 2 1 2 当a 2a30 时，a 2a3 5得a 4,a 2P（4，5）或 P（2，5） 当a 2a30 时，a 2a3 5即a 2a2 0，此方程无解综上所述，满足条件的 点的坐标为（4，5）或（2，5） 18 （1）45 222 22 260240260 x （2）y (x 100)(457.5=60（吨）7.5)，化简得： 1010 33 3 （3）y x2315x24000 (x 210)29075 y x2315x24000 44 4 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210 元 （4）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额 W x(45 260 x 7.5) 3 (x160)219200来说， 104 当 x 为 160 元时， 月销售额 W 最大 当 x 为 210 元时， 月销售额 W 不是最大 小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销 售额为 18000 元1732518000， 当月利润最大时，月销售额W 不是最大小静说的不对 二次函数应用题训练参考答案二次函数应用题训练参考答案 1 1、 （1）0x13，13x30； （2）59； （3）13. 2、过 A 作 AMBC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=202122=16cm. 设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由 ADGABC, ANDG16 xDG3 ,即,故 DG=(16-x). 2AMBC1624 333 y=DGDE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96, 222 故 从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2. 3、设第 t 秒时, PBQ 的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm; 又 BQ=2t.y=PBBQ=(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9, 当 t=3 时,y 有最大值 9. 故第 3 秒钟时 PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2. 4、解：(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05). 1 2 1 2 b 2a 0, a 0.2, 得b 0, c 3.5, 3.05 1.52a 1.5b c,c 3.5. 抛物线的表达式为 y=0.2x2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，则球出手时，球的高度为 h+1.8+0.25=(h+2.05) m, h+2.05=0.2(2.5)2+3.5, h=0.2(m). 5、解：(1)依题意得 150 鸡场面积 y=x2x. 33 1501 y=x2+x=(x250 x) 333 1625 =(x25)2+, 33 625 当 x=25 时，y 最大= , 3 625 2 即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为m . 3 50 x (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m. n 50 x150 y=x=x2+x nnn 11625 =(x250 x) =(x25)2+, nnn 625 当 x=25 时，y 最大= , n 625 2 即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为m . n 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m. 6、解：(1)y=2x2+180 x2800. (2)y=2x2+180 x2800 =2(x290 x)2800 =2(x45)2+1250. 当 x=45 时，y 最大 =1250. 每件商品售价定为 45 元最合适，此销售利润最大，为 1250 元. 资料资料 赠送以下资料赠送以下资料 英语万能作文英语万能作文( (模板型）模板型） Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that. 随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是 _。 As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes. 然而，对于此类问题，人们持不同的看法。(Hold different attitudes 持不 同的看;Come up with different attitudes 有不同的看法) As society develops, people are attaching much importance to. 随着社会的发展，人们开始关注. People are attaching more and more importance to the interview during job hunting 求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。 As to whether it is worthwhile ., there is a long-running controversial debate. It is quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it. 关于是否值得_的问题，一直以来争论不休。当然，不同的人 对此可能持不同的观点。 In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma. 在都市的发展中，我们往往会陷入困境。 Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that. 最近， 这种现象引起了人们的广泛关注， 有人开始担心_。 The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention. 人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加 快，随之给我们带来了很多问题。 . plays such an important role that it undeniably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse? _显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题， 这是无可厚 非的。不过，问题是：我们该如何抉择? Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges, 现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。 People from different backgrounds would put different interpretations on the same case. 不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。 The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue. 这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题的看法 也不尽相同。 When asked ., some people think. while some prefer. 说到_，有人认为_，而另一些人则认为_。 Just as the saying goes: so many people, so many minds. It is quite understandable that views on this issue vary from person to person. 俗话说，。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。 To this issue, different people come up with various attitudes. 对于这个问题，不同的人持不同的观点。 There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that. 万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，_。 When it comes to ., most people believe that ., but other people regard .as . 提到_问题， 很多人认为_， 不过， 一些人则认为_ 是_. When faced with., quite a few people claim that ., but other people think as. 提到 _问题，仅少数人认为_，但另一些人则认为 _。 There is a public controversy nowadays over the issue of . There who criticize .argue that ., they believe that .,but people who favor ., on the other hand, argue that. 目前，_问题争议较大。批判_的人认为_，他们认为_， 不过，另一方面，赞同_的人则认为_。 Some people are of the opinion that.有些人认为_。 Many people claim that.很多人认为_。 A majority of 绝大多数 A large number of 很多人 Some people contend that . has proved to bring many advantages (disadvantages) 有些人认为_有很多有利之处(不利之处)。 Those who argue for . say that .economic development of the cities. 觉得_的人认为，_ 城市的经济发展。 Some people advocate that . 有些人在坚持认为_。 They hold that . 他们认为_。 People, who advocate that ., have their sound reasons (grounds) 坚持认为_的人也有其说法(依据)。 Those who have already benefited from practicing it sing high praiseof it. 那些从中受益的人对此大家褒奖。 Those who strongly approve of . have cogent reasons for it. 强烈认同_的人有很多原因。 Many people would claim that.有人会认为_。 People who support . give some or all of the following reasons. 那些支持_观点的人列出了如下原因：_。 But others hold the view that .但是，另外一些人则认为_。 观点的用词：Attitude, opinion, 与其搭配的动词以及词组：Take, have, come up with，set forth, put forward 等。 But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,. 不过，另一方面，也有少部分人坚持认为_。 But people who are ., on the other hand , maintain that. 不过，另一方面，_的人认为_。 However, there are a large number of people who hold a different view concerning this case. 然而，很多人对此有不同的看法。 问题用词：Issue, phenomenon，后接介词, on, over 等。 However, some others argue that. 然而，另一些人则认为_。 However, there are also some others who contend that. 然而，也有人认为_。 But other people set forth completely totally different argument concerning this case. 不过，对于此，另一些人则持完全不同的观点。 Some people examine this issue from another angle. 有的人用另一角度来看这一问题。 On the other hand, there are also many opponents who strongly . 另一方面，也有很多反对的人，他们认为_。 According to my personality and fondness, I would prefer . rather than. 根据我的个性以及兴趣，我选择_而不会选择_。 Personally, I side with the latter (former) opinion. 就我个人而言，我支持后者(前者)_。 Personally, I am in favor of the former point of view. 就我个人而言，我较同意前一种看法。 To my point of view 我认为 To my mind, the advantages far overweigh the drawbacks(disadvantages, shortcomings) 我认为，优点胜过缺点。 For my part, I stand on side of the latter opinion that. 就我而言，我较赞同后一种观点_。 As far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view. 在我看来，我较同意后一种观点。 After a thorough consideration, for my part, I am in favor of the latter view that. 经过深思熟虑，我较支持后一种看法，亦即_。 If asked to make a decision, I would prefer. 如果真的需要作出选择，我宁愿_。 展现问题篇 问题的常用词：question, problem, issue Recently, the issue of . has been brought into public focus. 近来，_的问题引起了社会的广泛关注。 Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in peoples a