初中数学利用矩形的性质巧解折叠问题

利用矩形的性质巧解折叠问题利用矩形的性质巧解折叠问题 名师点金：折叠问题往往通过图形的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得 到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通 过设未知数列方程求解 利用矩形的性质巧求折叠中的角 1 1当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉 之急”如图，已知矩形纸片 ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一 个特定的角： (1)以点 A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在边 AD 上，折痕与 BC 交于点 E； (2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点 E 所在直线为折痕，使点 A 落在 BC 上，折 痕交 AD 于 F，求AFE 的度数 (第 1 题) 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长 2 2如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B的位置，AB与 CD 交 于点 E. (1)试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明； (2)若AB8，DE3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于点G，PHEC于点H， 试求 PGPH 的值 (第 2 题) 利用矩形的性质巧求折叠中重叠的面积 3 3【 2017鄂州】如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，FC 交 AD 于 E. (1)求证：AFECDE； (2)若 AB4，BC8，求图中阴影部分的面积 (第 3 题) 利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 4 4如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线 MN折叠，使点C落在点 A处，点D 落在点E 处，直线 MN 交 BC 于点 M，交 AD 于点 N. (1)求证：CMCN； (2)若CMN 的面积与CDN 的面积比为 MN ，求的值 DN (第 4 题) 答案答案 1 1解：设折叠后，点A的对应点为点A，点B的对应点为点B，如图，由折叠的性质 得AEFAEF，BEAAEB， (第 1 题) BABE. 四边形 ABCD 为矩形， ADBC，BABABE90， ABE90. BEB90. BEAAEB45. 又BEAAEFFEA180， FEA67.5. ADBC，AFEFEA67.5. 2 2解：(1)AEDCEB. 证明：四边形 ABCD 是矩形， BCDA，BD. 由折叠的性质， 知 BCBC，BB， BCDA，BD. 在AED 和CEB中， DEABEC， DB， DABC， AEDCEB. (第 2 题) (2)如图，延长 HP 交 AB 于点 M，则 PMAB. 由折叠可知12， 又PGAB，PMPG. 四边形 ABCD 为矩形， CDAB8，CDAB. 23，13， AECE835. 在 RtADE 中，DE3，AE5， AD 52324. PHPMAD，PGPHAD4. 3 3(1)证明：由翻折的性质可得 AFAB，FB90. 四边形 ABCD 为矩形， ABCD，BD90. AFCD，FD. AEFCED， AFECDE(AAS) (2)解：AFECDE， AECE，EFED. 根据翻折的性质可知 FCBC8. 在 RtAFE 中，AE2AF2EF2，即(8EF)242EF2. 解得 EF3.AE5. 11 阴影部分的面积为 ECAF 5410. 22 4 4(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，ANMCNM.四边 形 ABCD 是矩形，ADBC.ANMCMN. CMNCNM.CMCN. (2)解：过点 N 作 NHBC 于点 H，则四边形 NHCD 是矩形，HCDN，NH DC.CMN 的面积与CDN 的面积比为， 1MCNH SCMN2MC 3. DNS CDN 1DNDC 2 MC3DN3HC. MH2HC.设 DNx， 则 HCx，MH2