2017年电大经济数学基础形成性考核次答案

经济数学基础形成性考核册参考答案经济数学基础形成性考核册参考答案 经济数学基础作业经济数学基础作业 1 1 一、填空题：一、填空题： 1.02.13.x 2y 1 04.2x5. 二、单项选择：二、单项选择： 1.D2.B3.B4.B5.C 三、计算题：三、计算题： 1、计算极限 (1) 2 原式 lim (x1)(x2) x1 (x1)(x1) x2 lim x1 x1 1 2 (2). 原式=lim (x-2)(x-3) x2(x-2)(x-4) lim x3 x2 x4 1 2 ( 1 x 1)( 1 x 1) x0 x( 1 x 1) (3). 原式=lim =lim x0 1 1 x 1 = 1 2 1 35 2xx = 1 (4).原式= 34 3 2 3 xx sin3x 3 3x (5).原式= lim 5 x0 sin5x 5x = 3 5 (6). 原式=lim x2 x2 sin(x2) x2 lim(x 2) = x2 lim = 4 2.(1)lim x0 sin(x2) x2 x2 f (x) b, x0 lim f (x) 1 当 (2). a b 1时，有 当 limf ( x ) f ( 0 ) 1 x0 a b 1时，有limf(x) f(0) 1 x0 函数 f(x)在 x=0 处连续. 3. 计算下列函数的导数或微分 (1). y 2x2xln2 1 xln2 (2). y a(cxd)c(axb)ad bc 22(cxd)(cxd) 3 3 (3). y (3x5) 2 2 (4). y 1 1 2 x (ex xex) = 2 x ex xex y (eax)(sinbxeax(sinbx) (5). aeaxsinbxbeaxcosbx eax(sinbxbcosbx) dy eax(asinbxbcosbx)dx 1 13 (6). y 2 exx x2 31 1 dy ( x 2 ex)dx 2x (7).y sin = x ( x)ex(x2 ) 2 2 sinx 2xex 2 x 2 sinx 2xex)dx dy ( 2 x (8) y nsin (9) y n1xcosxncosnx (x 1 x2 ) (1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x2 = 2 ) = 1 x2 x 1 x2 = 1 1 x cos1 x 2 11 1 2y 2ln2(cos )(x x6 2) x (10) 1 cos 1111 2 2 xln2sin xx 2 x36 x5 2. 下列各方程中 y 是 x 的隐函数，试求y或dy (1) 方程两边对 x 求导： 2x2y y y xy3 0 (2y x)y 所以 dy y 2x3 y 2x3 dx 2y x (2) 方程两边对 x 求导： cos(x y)(1 y)exy(y xy) 4 y) xexyy 4cos(x y) yexycos(x y 4cos(x y) yexy 所以 cos(x y) xexy 3.求下列函数的二阶导数： (1) y 2x 1 x2 2(1 x2)2x2x22x2 y (1 x2)2 (1 x2)2 1 (2) y (x 1 2 x2) 1 x 3 2 1 x 1 2 22 3 5 y 1 3 4 x 2 4 x 2 y(1) 3 4 1 4 1 经济数学基础作业经济数学基础作业 2 2 一、填空题：一、填空题： 1.2xln2 22. sin x c 3. 1 2 F(1 x2)c 二、单项选择：二、单项选择： 1.D2.C3.C4.D5.B 三、计算题：三、计算题： 1、计算极限 (1) 原式= ( 3 x e ) dx 4. 05. 1 1 x2 3 ( )x 3x e c x c = 3 e (ln31) ln e (2) 原式= (x 1 2 1 2 2 x x )dx 3 2 4 325 2 =2x x x2c 35 (3) 原式=(x2)dx 1 2x 2xc 2 (4) 原式= 1d(12x)1 ln 12x c 212x2 (5) 原式= 1 222 x d(2 x ) 2 31 2 2 = (2 x ) c 3 (6) 原式=2 sinxdx 2cosx c (7) (+) xsin x 2 x 2 x 2 (-) 1 2cos (+) 0 4sin 原式=2xcos xx 4sinc 22 (8) (+) ln(x1) 1 (-) 1 x x1 x x1 dx 原式=xln(x1) =xln(x1)(1 1 )dx x1 =xln(x1) xln(x1)c 2.计算下列定积分： (1) 原式=1 1 (1 x)dx 1 (x1)dx 1 2 59 2x x) 1 2 222 2 =2( 1 x (2) 原式= 2 1 e1 2(x )d 2xx 1 x 2 1 =e ee 1 2 (3) 原式= e3 1 x d(1lnx) x 1lnx 1lnx e3 1 2 =2 (4) (+)x cos2x (-)1 1 sin2x 2 1 cos2x 4 (+)0 11 2 原式=( xsin2xcos2x) 0 24 = 111 442 (5) (+) lnx x 1x2 (-) x2 1 2 1 e e 原式= x lnx 1 xdx 22 1 e21 2 = x 24 (6) 原式=4 e 1 1 (e21) 4 4 0 xexdx x 又 (+)x e (-)1 -e (+)0 e x x 4 0 4xexdx (xexex) 0 4 =5e 4 1 故：原式=55e 经济数学基础作业经济数学基础作业 3 3 一、填空题一、填空题 1.3.2. 72. 3. A,B可交换. 4.(I B)1A. 1 0 1 5. 0 2 0 0 0 0 . 1 3 二、单项选择题二、单项选择题 1. C2. A 3.C4.A5.B 三、解答题三、解答题 1 （1） 解：原式= 1 2 3 5 （2）解：原式= 0 0 0 0 （3）解：原式=0 2 7 19 7 2 4 5 5 15 6 10= 111 00 2解：原式= 712 0 47 3 2 7 3 214 5 3解：AB= 2 611566560 46 244 240 0 101100100 2 4 2 4 1 2 4 (2) 1 1 (1) （， ） 01 4 4解：A 2 1 0 47 1 1 0 0 1 4 0 47 4 1 2 (4) 01 4 0 09 4 所以当 9 时，秩r(A)最小为 2。 4 2 532 5 854 5解：A 1 742 4 112 1 1 742 5 8543 ，) ( 2 532 0 3 4 112 0 (5) (2) 3 (4) 1 3 2 0 2 0 1 74 1 74 0 271563 0 9 (3) 521 （，） (3) 0 95210271563 02715630271563 2 1 74 0 952 0 000 00 0 0 所以秩r(A)=2 6求下列矩阵的逆矩阵： （1） 0 1 0 0 10 0 1 3210 0 1 32 3 0 97 (1)1010310 解：AI 3 0 1100 1 1 0 4310 1 1 32 7 01 0 4 9 3 1 ( ) 9 10 11 39 10 11 0 0 3 3 7 (4)001 9 1 0 0 1 9 1 0 3 11 0 39 14 1 39 0 1 00 010 1 00 9 3 7 1 2 1 3 13 1 0011 3 937 010237 4 1 0 0134 9 9 1 1 3 1 所以A 237 。 3 4 9 （2） 1410 7 13 6310 0 1 4 21010 7 解：AI 4 21010 1100 1 1100 1 2 2 410 7 410 7 1 1 1 1 0 1 02154128 82115 0 17 2013 0 17 2013 4 (2) 0 1 0 411 8 1 0013 4 0 10271 (8)0182115 01 2 1 2 0 01 0 010 (1) 0 1 3 1 所以A 271 。 1 2 0 7解：X BA1 1 0 (1) 1 21 0 1 21 0 (3) 1 2 AI 0 131 0 1313501 1 05 2 (2) 0 131 5 2 A1 31 X BA1 四、证明题四、证明题 1试证：若B 1,B2 都与A可交换，则B1 B2，B1B2也与A可交换。 证明：AB 1 B 1 A，AB 2 B 2 A A(B1 B2) AB 1 AB 2 B 1 A B 2 A (B 1 B 2 )A A(B 1B2 ) AB 1B2 B 1 AB 2 B 1B2 A (B 1B2 )A 即 B 1 B 2 ，B1B2也与A可交换。 2试证：对于任意方阵A，A A，AAT, ATA是对称矩阵。 证明：(A AT)T AT(AT)T AT A A AT (AAT)T (AT)T(A)T AAT T 1 25 2 1 0 2 331 1 1 (ATA)T (A)T(AT)T ATA TT A A ，AA , A A是对称矩阵。 T 3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。 证明：充分性 T A A，B B，(AB) AB TTT TT AB (AB) B A BA 必要性 TT A A，B B，AB BA (AB) (BA) A B AB 即AB为对称矩阵。 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 证明： A A，B T1 1 TTTT BT，证明B1AB是对称矩阵。 BT (B1AB)T BTAT(B1)T B1A(BT)1 B1A(B1)1 B1AB 即 BAB是对称矩阵。 经济数学基础作业经济数学基础作业 4 4 一、填空题一、填空题 1.1 x 4且x 2.2.x 1，x 1， 小3. 二、单项选择题二、单项选择题 1.B 2. C3. A 4. D 5. C 三、解答题三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1)解：原方程变形为： 1 p .4.4.5.t 1. 2 dy exy dx 分离变量得：eydy exdx yx 两边积分得： e d(y) e dx 原方程的通解为：e 2 y exC x （2）解：分离变量得：3y dy xe dx 2 两边积分得： 3y dy xxedx 原方程的通解为：y xe e C 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）解：原方程的通解为： 3xx y e e 2 dx x1(e x1dx 2 2 (x 1) dx C) e 3 x1d(x1) 2 (e x1d(x1) 2 (x 1)3dx C) l nx(1)2(el nx(1)(x 1)3dx C) (x 1)2(x 1)2(x 1)3dx C) 2 (x 1) ( (x 1)dx C) (x 1) (x x C) *（2）解：原方程的通解为： 1dx1dx y e ( e2xs i n 2x d x C) ex( ex2xs i n 2x d x C) 2 1 2 2 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) 解：原方程变形为： dy e2xy dx 分离变量得：eydy e2xdx 两边积分得：eydy e2xdx 原方程的通解为：ey 1 2 e2xC 将x 0，y 0代入上式得：C 1 2 则原方程的特解为：ey 1 2 e2x 1 2 y 1 x y ex (2)解：原方程变形为： x 原方程的通解为： 11 y e (e xx x dx x dx e x dx C) eln x1(eln x e1 x dx C) x (exdx C) 1 x (ex C) 将x 1，y 0代入上式得：C e 则原方程的特解为：y 1 x (exe) 4.求解下列线性方程组的一般解： （1）解：原方程的系数矩阵变形过程为： 1 02 1 21 A 1 132 1 0 1 02 (2) 0 111 0 11 215 3 0 11 1 0 00 由于秩(A)=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： x 1 2x 3 x 4 （其中 x x 3，x4 为自由未知量） 。 2 x 3 x 4 （2）解：原方程的增广矩阵变形过程为： 2 111 1 A 1 2142 1 214 2 ( , ) 2 1111 115 1 7 4 1 7 411 5 1 1 0 2 2 1 214 1 214 0 5373 05373 (2) (1) 0 537 3 0 000 0 6 4 425 (1 5 ) 121 0 1 373 1 0 1 (2 5 7 5 3 0 00 555 )01 3 00 555 0 0000 由于秩(A)=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： x 416 1 5 5 x 3 5 x 4 （其中x 3， x 3 5 3 x 4 为自由未知量） 。 5 x 7 23 5 x 4 5.当为何值时，线性方程组 x 1 x 2 5x 3 4x 4 2 2x 1 x 2 3x 3 x 4 1 3x 1 2x 2 2x 3 3x 4 3 7x1 5x 2 9x 3 10 x 4 有解，并求一般解。 解：原方程的增广矩阵变形过程为： 1154 2 (2) 1 1542 A 2 1311 (3) (7) 011393 3223 3 1393 7 5910 0 1 0 2261814 1085 1 (1) (2)0 11393 00000 0 0008 所以当 8时，秩(A)=2n=4，原方程有无穷多解，其一般解为： x 1 18x 3 5x 4 x2 313x 3 9x 4 6解：原方程的增广矩阵变形过程为： 1 11 1 A 1 1 22 (1) 1 11 1 1 (1)0211 (2)0 1 3ab 0 4a 1b 1 0 11 21 0a 3 1 1 b 3 讨论： （1）当a 3，b为实数时，秩(A)=3=n=3，方程组有唯一解； （2）当a 3，b 3时，秩(A)=2n=3，方程组有无穷多解； （3）当a 3，b 3时，秩(A)=3秩(A)=2，方程组无解； 7求解下列经济应用问题： （1） 解： 平均成本函数为：C(q) C(q)100 0.25q 6（万元/单位） qq 边际成本为：C(q) 0.5q 6 当q 10时的总成本、平均成本和边际成本分别为： C(10) 1000.25102610 185(元) C(10) 100 0.2510 6 18.5（万元/单位） 10 C(10) 0.510 6 11（万元/单位） 由平均成本函数求导得：C (q) 100 0.25 2q 令C(q) 0得唯一驻点q1 20（个） ，q1 20（舍去） 由实际问题可知，当产量q为 20 个时，平均成本最小。 （2）解：由 p 140