2017年电大经济数学基础形成性考核册

经济数学基础形成性考核册（2004 年 8 月第 1 版 2011 年 1 月第 14 次印刷） 经济数学基础作业 1 参考答案 （一）填空题 1.lim x0 x sin x _.答案：1 x x 21,x 0 2.设f (x) ，在x 0处连续，则k _.答案： k,2x 0 3.曲线y x在(1,1)的切线方程是.答案：y 11 x 22 _.答案：2x 4.设函数f (x 1) x2 2x 5，则f (x) _ 5.设f (x) xsin x，则f ( ) _.答案： （二）单项选择题 1.答案：D 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.lim x0 2 2 x x 1 B.lim x0 x x 1 C.lim xsin x0 1sin x 1 D.lim 1 x xx 3. 设y lg2 x，则dy （） 答案：B A 11ln101 dx B dx C dx D dx 2xxln10 xx 4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则()是错误的答案：B A函数 f (x)在点 x0处有定义Blim f (x) A，但A f (x0) xx0 C函数 f (x)在点 x0处连续D函数 f (x)在点 x0处可微 5.若f ( ) x，则f (x) （） 。答案：B A 1 x 1111 BCD xxx2x2 (三)解答题 1计算极限 x23x 21x25x 61 （2）lim 2 （1）lim 2 x1x2 2x 1x 6x 82 x23x 511 x 11 （3）lim （4）lim 2 xx0 x23x 2x 43 sin3x3x2 4 （6）lim（5）lim 4 x0sin5xx2 5sin(x 2) 1xsin b,x 0 x 2设函数f (x) a,x 0， sin x x 0 x 问： （1）当a,b为何值时，f (x)在x 0处有极限存在？ （2）当a,b为何值时，f (x)在x 0处连续. 答案： （1）当b 1，a任意时，f (x)在x 0处有极限存在； （2）当a b 1时，f (x)在x 0处连续。 3计算下列函数的导数或微分： （1）y x2 2xlog 2 x 22，求 y 答案：y 2x 2 ln2 （2）y x 1 xln2 ax b ，求 y cx d 答案：y ad cb 2(cx d) 1 3x 5 ，求 y （3）y 答案：y 3 2 (3x 5)3 （4）y 答案：y x xex，求 y 1 2 x ax (x 1)ex （5）y e sinbx，求dy 答案：dy e (asinbx bcosbx)dx ax （6）y e x x，求dy 答案： （6）y e x x，求dy 解 1 x 1 x 1 2 1 x 3111 1 x 1 x ： 1 133 dy (e x x) (e )(x x ) e ( )(x2) ex(x1)x2 ex(x2)x2 x22 3131 x2 2 ex (x 2 ex)dx 22xx （7）y cosx e 2 111 x2，求dy 答案：dy (2xex sinx 2 x )dx （8）y sinnx sinnx，求 y 答案：y n(sinn1xcosx cosnx) （9）y ln(x 1 x2)，求 y 答案：y 1 1 x 1 x 2 （10）y=2 sin sin + 13x22x x ,求 y y=（2 1 x + 13x22x x 1 x ） 2 3 =（2 sin 1 sin x）+（）+（ x 1 x ）（ 1 2 x x） =2 1 x 1 1 ln2(cos )+(x 2)+(x6)-(2) x x 1 sinx2 = ln2cos x2 1 53 x 1 x 2+ 1 x 6 26 4.下列各方程中y是x的隐函数，试求 y 或dy （1）x2 y2 xy 3x 1，求dy 答案：dy y 32x dx 2y x （2）sin(x y)exy 4x，求 y 4 yexycos(x y) 答案：y xyxecos(x y) 5求下列函数的二阶导数： （1）y ln(1 x2)，求 y 2 2x2 答案：y 22(1 x ) （2）y 1 x x ，求 y 及y(1) 3 1 答案：y x2x2，y(1) 1 44 经济数学基础作业经济数学基础作业 2 2 答案答案 53 第四章第四章一元函数积分学一元函数积分学 一、填空题 1. 2xln2 2； 2. sin x c ；3. 1 F(1 x2) c；4. 0； 5. 2 2 二、单选题 3. B4. C5. D1. C2.CD 三、解答题 1.求下列不定积分 3x (1) x dx e 3 x e3 解：原式 dx c 3 e ln e x 3 e c ln31 x (2) x x5 dx 解：原式x 5 12 dx x 3 2dx 2x 1 2 c 1 2 x c (1x)2 (3)dx x 1 2 x x121 解：原式dx (1)dx dx 2x 2dx dx xxxx 1 2 1 ln| x|2*2x xc ln| x|4 x xc x2 4 (4)dx x 2 1 解：原式(x 2)dx x2 2x c 2 (5)ex(3x ex)dx 13xex x解：原式(3e) 1dx (3e) x c x c ln(3e)ln31 x (6)(x 5)4dx (16)xexdx 1 解：原式(x 5)4d(x 5) (x 5)5 c 5 (7) 1 dx (2x 3)2 1111 21(2x3)d(2x3) (1)(2x3)c c c 2 22(2x3)64x 解： 原式 (8) 1 dx 1 2x 111 d(1 2x) ln |1 2x | c解：原式 2 1 2x2 (9)x 2 x2dx 1121 解：原式(2 x2)2d(2 x2) (2 x2)2 c (2 x2)2 c 2233 (10)exdx 133 解：原式exd(x) ex c (11)xexdx 2 解：原式 e dx x2 1 x 1 x2 1 x22ed(x ) e c 2 2 (12) 1 解：原式e d exc x (13)cos(2x 1)dx 1 x 1 解：原式 (14) 11 cos(2x 1)d(2x 1) sin(2x 1) c 22 1 dx xln x 1 d ln x ln | ln x | c ln x 解：原式 (15)excos(ex)dx 解：原式cos(ex)dex sin(ex) c 解：原式xexd(x) xdex xexexdx xexex c 1 (17)xsinxdx 2 11111 解：原式2xsinxd(x) 2xd cosx 2xcosx 2cosxdx 22222 11x11 2xcosx4cosxd 2xcosx4sinxc 22222 (18)x2cos xdx 解：原式x2d sin x x2sin x sin xd(x2) x2sin x 2xsin xdx x2sin x2xd cosx x2sin x2xcosx2cosxdx x sin x2xcosx2sin xc (19)ln(x 1)dx 2 解：原式xln(x 1) xd ln(x 1) x1111 dx xln(x1)(1)dx x1x1 xln(x1) xln(x1)c (x1)ln(x1) xc xln(x1) ln x dx 2x (20) 解：原式ln xd 1111111 ln x d ln x ln x 2 dx ln x c xxxxxxx x 2.设F(x) sin2tdt求F() 0 4 21 解：F(x) sin2xF() sin2 ()2 4422 3.计算下列积分 2 1 (1) 2 du 1u 2 11 2 11 解： 2 du | 1 1 1 uu22 (2)|1 x | dx 1 2 解： 12 1 21 1 22|1 x|dx (1 x)dx(x1)dx (xx )|(x x)| 11 1 1 1 22 11115 112213 22222 2 (3)edx 2 2 7 x 2 解： 1 x 2 2 edx 7 x 2 272 ed(x) e 7 2 27 2 7 x 2 7 2 x 2 2 2 7 2 (e e7) (e7e7) 77 (4) 2 1 e dx 2x 解： 1 2 1 e1 dx e d e 1 xx2 2 1 x 1 x 1 2 x 1 e e ee 1 2 (5)x 1 x2dx 0 1 1 12 解：x 1 x dx (1 x2)2d(1 x2) (1 x2)2|1 0 0 2 0 23 3 111 (1 x2)2|1 (0 1) 0 333 1 2 13 (6)3 2 1 dx xln x 3 11 解：dx d lnx ln |lnx|3 2 lnln3lnln2 2xlnx2lnx 3 (7) 3 1 xe2xdx 3 2x 1 3 1 2x3 1 3 2x 311 2x3解：xe dx xdexe| 1 edx e6e2e2x| 1 1 2 1 22 1 224 3 6 1 2 1 6 1 2 5 6 1 2e e e e e e 224444 (8)ln xdx 1 5 解： 5 1 55 1 55ln xdx xln x | 1 xd ln x 5ln5ln1xdx 5ln5 x | 1 5ln551 5ln5 4 11 x (9)2xcos2xdx 0 解: 1 2 1 2 11 222xcos2xdx xcos2xd(2x) xdsin2x xsin2x|sin2xdx 0 0 000 2222 11111 002sin2xd(2x) cos2x| 0 2(coscos0) (11) 4 0 4442 e (10) 1 | ln x | dx e 解： e1|ln x|dx (ln x)dx ln xdx ln xdx ln xdx xln x| xd ln x xln x| 111 11 1 xd ln x ee 11 e 1 e e e 111 1 1112 e e 0 xdx 0 ln 1 xdx e x| 1 x|1 e e 11 2 1 1 xee e xeee e e1ee1e1 4求下列广义积分 (1)xe 0 x2dx 解： (2) 0 xex2 1 x2 1 x2 11 2dx ed(x ) e| 0 0e0 2 0 222 1 1 x4 dx 解： 1 x4 dx 4 xdx 2x| 4 2 2 此广义积分发 1 2 1 2 散 5求下列不定积分： 1 (1)(2x)dx x 2x 解： 原式ln x c ln2 (2)(3 x)(x23)dx 解：原式(3x2 x393x)dx x3 (3)(3x 1)3dx 1 4 3 x 9x x2 c 42 1111 32解： 原式(3x 1)d(3x 1) ()(3x 1) c c 3326(3x 1)2 (4) ( x 1)5 x dx 解： 原式 2( x 1)5dx 2( x 1)5d( x 1) 11 6 2( x 1)6 c ( x 1 ） c 63 (5) ex 1 2ex dx 11 xde (1 2e ) 2d(1 2ex) 2(1 2ex)2c 1 2exc 22 1 2ex x解： 原式 1 11 (6)esin xcosxdx 解： 原式e (ln x)2 (7)dx x sin xdsin x esin xc 1 解： 原式(ln x)2d ln x (ln x)3 c 3 (8)xcos(x 1)dx 解： 原式xcos(x 1)d(x 1) xdsin(x 1) xsin(x 1)sin(x 1)dx xsin(x 1)sin(x 1)d(x 1) xsin(x 1)cos(x 1)c 11 2 1 22解： 原式ln(x 1)dx x ln(x 1)x dln(x 1) 222 1 2 1x211111 x ln(x1)dx x2ln(x1)(x1)dx 22x122x1 (9)xln(x 1)dx 1 2 1 2 11x2111 x ln(x 1)x x ln(x 1) c ln(x 1) x2x c 2422242 (10) ln x x dx 1 解： 原式 2ln xdx 2 x ln x 2xd ln x 2 x ln x 2x dx x 2 x ln x 2xdx 2 x ln x 22xc 2 x ln x 4 x c 6计算下列定积分： (1)x3dx 1 2 1 2 1 2 11 1 解： 原式 x2 22 x2 1 22 1 1 1133 (1) () 2 4248 (2)|1 x | dx 2 1 解： 原式 (1 x)dx (x 1)dx (1 x)d(1 x)(1 x)d(1 x) 2121 1111 1 (1 x)2 2 (3)e 0 1 1 x 3 1 2 1 (1 x)2 2 1 1 1115 （ 01 ） （ 40 ） 2 2222 dx 1 1 x 3解： 原式 3e 0 1 d(x) 3e 3 1 1 x 3 0 2(e 1 31) 3(1e) 1 3 (4)e 3 1 x 1lnx e 1 1 dx 3 解： 原式 1 1lnx d lnx (1lnx)d(1lnx) 2(1lnx) 1 e3 1 2 3 1 e 2 2(21) 2 1 (5)(1 xex)dx 0 4 解： 原式dx xexdx xxdex 4 xexexdx 00 0 0 0 0 44 4 4 4 4 4 4 4 0ex e 4 4 0 415 1 5 444eee (6)xln xdx 1 e 1 e 11 e 111 e 解： 原式ln xdx2x2ln xx2d ln x e2lneln1xdx 2 1 22 1 222 1 1 e21 2 e2e21e211 20x(e 1) 24 1 244444 x 1 7.设函数f (x) 2 x 1 10 e e x1,0), x0,1, 求f (x)dx 1 0 1 1 11 xx2 解：f (x)dx (1)dx x 1dx ( x)(x 1)2d(x 1) 11 2 00 4 1 12 (1)(x 1) 43 3 1 2 0 1234 2214 2 1(2 2 1) 43433123 8求下列广义积分 1 (1)dx 1 1 x3 1 3 2 3 解： 原式xdx x3| 0 1 2 此广义积分发散。 (2)x2exdx 0 3 1 x3 1 3 11 解： 原式 ed(x3) ex| 0 0 3 0 333 9证明 证明： a a f (x)dx 0 a 0 f (x) f (x) dx 0 a a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx x u a f (x)dx 0aa 0 a 0 a f (u)d(u) f (u)du f (u)du f (x)dx a00 a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 00 aaa 0 f (x) f (x) dx 作业作业 2 2 参考答案参考答案 （一）填空题 1.若 f (x)dx 2x x 2x c，则f (x) _ .答案：2 ln2 2 2. (sinx)dx _.答案：sin x c f (x)dx F(x) c，则xf (1 x2)dx .答案：3. 若 1 F(1 x2) c 2 4.设函数 d e 2ln(1 x )dx _ .答案：0 dx 1 5. 若P(x) 0 x 1 1t2 .答案： dt，则P(x) _ 1 1 x2 （二）单项选择题 2 1. 下列函数中， （）是 xsinx 的原函数 A 11 cosx2B2cosx2C-2cosx2D-cosx2 22 答案：D 2. 下列等式成立的是（） Asinxdx d(cosx)Bln xdx d( ) C2 dx x 1 x 1 d(2x) ln2 D 1 x dx d x 答案：C 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（） 2 A cos(2x 1)dx， B x 1 x dx C xsin 2xdx D x 1 x2 dx 答案：C 4. 下列定积分计算正确的是（） A C 1 1 2xdx 2 B 16 1 dx 15 (x2 x3)dx 0 Dsin xdx 0 答案：D 5. 下列无穷积分中收敛的是（） A 1 1 1 xdx B dx CDe dxsinxdx 2 101 xx 答案：B (三)解答题 1.计算下列不定积分 3x （1） x dx e 3x x 3x e 答案：cc= x3e (ln31) ln e （2） (1 x)2 x dx 35 42 答案：2 x x2x2 c 35 x2 4 dx （3） x 2 1 2x 2x c 2 1 dx （4） 1 2x 1 答案： ln1 2x c 2 答案： （5） x 2 x dx 2 1 2 答案：(2 x )2c 3 （6） 3 sinx x dx 答案： 2cos x c x 2 dx xx 答案： 2xcos 4sin c 22 （7） xsin （8） ln(x 1)dx 答案：(x 1)ln(x 1) x c 2.计算下列定积分 （1） 2 1 1 xdx 答案： 5 2 2 （2） 1 e dx x2 1 x 答案：e e （3） e3 1 x 1 ln x1 dx 答案：2 （4）2 0 xcos2xdx 1 2 答案： （5） e 1 xlnxdx 答案： （6） 1 2(e 1) 4 4 x 0 (1 xe 4 )dx 答案：55e 作业作业 3 3 参考答案参考答案 （一）填空题 1 04 5 1.设矩阵A 3 232 ，则A的元素a23 _.答案：3 _ 2 16 1 T 2.设A,B均为 3 阶矩阵，且A B 3，则 2AB=_. 答案： 72 222 3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A B) A 2AB B成立的充分必要条件 是.答案：AB BA _. 4. 设A,B均为n阶矩阵，(I B)可逆，则矩阵A BX X的解X _ 答案：(I B)A 1 1 1 0 0 1 5. 设矩阵A 0 20 ，则A _.答案：A 0 0 0 3 0 （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（） A若A,B均为零矩阵，则有A B 0 1 2 0 0 0 1 3 B若AB AC，且A O，则B C C对角矩阵是对称矩阵 D若A O,B O，则AB O答案 C 2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（）矩阵 A2 4B4 2 C35D53答案 A 3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A(A B)1 A1 B1，B(AB)1 A1B1 CAB BADAB BA答案 C 4. 下列矩阵可逆的是（） TT 1 2 3 1 0 1 A 023 B 101 0 0 3 12 3 1 1 1 1 C D2 2 答案 A 00 2 2 2 5. 矩阵A 3 33 的秩是（） 4 4 4 A0B1C2D3答案 B 三、解答题 1计算 （1） 2 10 1 1 2 = 5310 3 5 0 2 1 1 0 0 （2） 0 0 0 003 3 0 （3）1254 =0 1 2 2312 4 2 4 5 1 0 2计算 122143 61 13 2 23 1 3 2 7 2312 4 2 4 5 7 19 7 2 4 5 1 7 120 6 100 解 122143 61 13 2 23 1 3 2 7 0 47 3 2 7 = 515 111 3 2 3设矩阵A 23 1 1 11 1 2 3 ，B 0 11 1 12 ，求AB。 0 1 1 解 因为AB A B 231232 A 111 112 (1)23(1) 22 011010 12 2 123123 B 112 0-1-1 0 011011 所以AB A B 20 0 1 2 4 4设矩阵A 2 1，确定 的值，使r(A)最小。 1 10 答案： 当 9 4 时，r(A) 2达到最小值。 2532 1 5求矩阵A 5 8543 17420 的秩。 4 1123 答案：r(A) 2。 6求下列矩阵的逆矩阵： 2 0 14 1 3 2 1 （1）A 3 0 1 1 1 答案 A1 1 1 3 2 37 3 4 9 13 6 3 （2）A = 4 21 1 1 2 0 1 3 - 答案 A1 = 271 1 2 0 7设矩阵A 1 2 1 2 ，求解矩阵方程XA B, B 3 5 2 3 1 0 答案：X = 11 四、证明题 1试证：若B 1,B2 都与A可交换，则B1 B2，B1B2也与A可交换。 提示：证明(B1 B2)A A(B1 B2)，B1B2A AB1B2 TT 2试证：对于任意方阵A，A A，AA , A A是对称矩阵。 TTTTTTTTT T 提示：证明(A A ) A A，(AA ) AA ,(A A) A A 3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。 提示：充分性：证明(AB) AB 必要性：证明AB BA 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 1T 提示：证明(BAB)=B AB 1 1 T BT，证明B1AB是对称矩阵。 作业作业 4 4 参考答案参考答案 （一）填空题 1.函数f (x) 4 x 1 的定义域为答案：(1,2)(2,4) ln(x 1) 2. 函数y 3(x 1)2的驻点是_，极值点是，它是极值点.答案： x 1,x 1，小 3.设某商品的需求函数为q(p) 10e 4.答案： 4 p 2，则需求弹性E p .答案： 2p 1 6 1 1 ，则t _ 32 5. 设线性方程组AX b，且A 0 1 0 0t 1 0 一解.答案： 1 （二）单项选择题 1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（） 时，方程组有唯 AsinxBe x Cx 2 D3 x 答案：B 2. （2）设f(x)= 1 ，则 f(f(x)=x x 答案： C 3. 下列积分计算正确的是（） xx 1e e exex dx 0 B dx 0 A 11 22 1 C 1 -1 xsin xdx 0 D(x2 x3)dx 0 -1 1 答案：A 4. 设线性方程组AmnX b有无穷多解的充分必要条件是（） Ar(A) r(A) mBr(A) nCm nDr(A) r(A) n 答案：D x 1 x 2 a 1 5. 设线性方程组 x 2 x 3 a 2 ，则方程组有解的充分必要条件是（） x 2x x a 233 1 Aa1 a2 a3 0Ba1a2 a3 0 Ca1 a2a3 0D a1 a2 a3 0 答案：C 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1)y exy 答案：ey ex c dyxex （2） dx 3y2 答案：y3 xexexc 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y 2 x 1 y (x 1)3 答案：y (x 1)2( 1 2 x2 x c) （2）y y x 2xsin2x 答案：y x(cos2x c) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y e2xy,y(0) 0 答案：ey 1 x 1 2 e 2 (2)xy y ex 0,y(1) 0 答案：y 1 x (exe) 4.求解下列线性方程组的一般解： x 1 2x 3 x 4 0 （1） x1 x 2 3x 3 2x 4 0 2x1 x 2 5x 3 3x 4 0 答案： x 1 2x 3 x 4 x （其中x1,x2是自由未知量） 2 x 3 x 4 1 02 1 A 1 132 102 1 1 0111 0 215 3 0 11 1 0 所以，方程的一般解为 02 1 111 000 x 1 2x 3 x 4