2017年电大经济数学基础形成考核册答案

经济数学基础作业册及参考答案（有些习题仅给答案没附解答过程） 作业（一） （一）填空题 1.lim x0 x sin x _.答案：0 x x 21,x 0 2.设f (x) ，在x 0处连续，则k _.答案：1 k,x 0 3.曲线y x1 在(1,2)的切线方程是.答案：y 13 x 22 4.设函数f (x 1) x2 2x 5，则f (x) _.答案：2x 5.设f (x) xsin x，则f ( ) _.答案： 2 2 （二）单项选择题 1.当 x+时，下列变量为无穷小量的是（）答案：D A.ln(1 x)B. D. x2 C.e x x 1 x2 x 1 sin x x 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.lim x0 1 B.lim x0 x x 1 C.lim xsin x0 1sin x 1 D.lim 1 x xx 3. 设y lg2 x，则dy （） 答案：B A 11ln101 dx B dx C dx D dx 2xxln10 xx 4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则()是错误的答案：B A函数 f (x)在点 x0处有定义Blim f (x) A，但A f (x0) xx0 C函数 f (x)在点 x0处连续D函数 f (x)在点 x0处可微 1 )=x,则 f (x)=（）. 答案：B x 1111 A 2 B 2 CD xxxx 5.若 f ( (三)解答题 1计算极限 x23x21(x2)(x1)x2 （1）lim= lim = lim x1x1 (x1)(x1) x1(x1) 2x21 1 x25x61(x2)(x3)x3 （2）lim 2 =lim= lim = x2 x 6x8 x2(x2)(x4)x2(x4) 2 （3）lim x0 ( 1 x 1)( 1 x 1)1 x 1 =lim x0 xx( 1 x 1) =lim x0 x11 =lim 2x( 1 x 1) x0( 1 x 1) 2 5 x2 2 4 3 2x 3 2x 3x 5 x lim （4）lim 2 x3x 2x 4x 2 3 x 2 （5）lim 5xsin3x 33sin3x lim = x03xsin5x 5 5 x0sin5x x24(x 2)(x2) （6）lim lim 4 x2sin(x2)x2 sin(x2) 1xsin b,x 0 x 2设函数f (x) a,x 0， sin x x 0 x 问： （1）当a,b为何值时，f (x)在x 0处有极限存在？ （2）当a,b为何值时，f (x)在x 0处连续. 1 lim f (x) lim (xsin b) b x0 x0 x 答案： （1） sin x lim f (x) lim 1 x0 x0 x 当b 1，a任意时，f (x)在x 0处有极限存在； （2）f(0)= a =lim f (0) b 1 x0 当a b 1时，f (x)在x 0处连续。 3计算下列函数的导数或微分： （1）y x 2 log 2 x 2 ，求 y 2x2 2 答案：y 2x 2 ln2 （2）y x 1 xln2 ax b ，求 y cx d 答案： y = a(cxd)c(axb)ad cb 22(cxd)(cx d) 1 3x 5 1 3x 5 ，求 y 1 2 （3）y 答案：y =(3x5) y 3 2 (3x 5)3 （4）y 答案：y x xex，求 y 1 2 x (x 1)ex （5）y eaxsinbx，求dy 答案：y (e ax) sin bx eax(sin bx ) aeaxsinbx eaxcosbxb eax(asinbx bcosbx)dy eax(asinbx bcosbx)dx （6）y e x x，求dy 1 x 31 1 答案：dy (x 2 e ex)d dx 2x （7）y cosx e 2 x2，求dy 答案：dy (2xex n sinx 2 x )dx （8）y sin x sinnx，求 y 答案： y =nsinn1xcosx+cosnxn=n(sinn1xcosxcosnx) （9）y ln(x 1 x2)，求 y 3 答案： 1 11x 2 2 y (x 1 x )(1)(1(1 x )2x) 2222 2 x 1 xx 1 x1 xx 1 x 1 2 1 sin 1 x 1 1 x2 （10）y 2 sin 13x22x x 1 x ，求 y 答案：y 2ln2 x2 1 2 1 6cosx xx 26 1 35 4.下列各方程中y是x的隐函数，试求 y 或dy （1）x2 y2 xy 3x 1，求dy 答案：解：方程两边关于X 求导：2x 2yy y xy3 0 y 32x dx 2y x (2y x)y y 2x3 ， dy （2）sin(x y)exy 4x，求 y 答案：解：方程两边关于X 求导cos(x y)(1 y)exy(y xy) 4 (cos(x y)exyx)y 4 yexycos(x y) 4 yexycos(x y) y xyxecos(x y) 5求下列函数的二阶导数： （1）y ln(1 x )，求 y 2 2 2x2 答案：y 22(1 x ) （2）y 1 x x ，求 y 及y(1) 3 2 1 2答案：y xx，y(1) 1 44 53 4 作业（二）作业（二） （一）填空题 1.若 2. xf (x)dx 2x 2x c，则f (x) _ .答案：2 ln2 2 (sinx)dx _.答案：sin x c f (x)dx F(x) c，则 e x 3. 若 f (e)dx .答案： F(e ) c xx 4.设函数 d e 2ln(1 x )dx _ .答案：0 1 dx 5. 若P(x) 0 x 1 1t2 .答案： dt，则P(x) _ 1 1 x2 （二）单项选择题 2 1. 下列函数中， （）是 xsinx 的原函数 A 11 cosx2B2cosx2C-2cosx2D-cosx2 22 答案：D 2. 下列等式成立的是（） Asinxdx d(cosx)Bln xdx d( ) C2 dx x 1 x 1 d(2x) ln2 D 1 x dx d x 答案：C 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（） 2 A cos(2x 1)dx， B x 1 x dx C xsin 2xdx D x 1 x2 dx 答案：C 4. 下列定积分计算正确的是（） A C 1 1 2xdx 2 B 23 16 1 dx 15 (x x )dx 0 Dsin xdx 0 答案：D 5. 下列无穷积分中收敛的是（） A 1 1 1 xdx B dx CDe dxsinxdx 2 101 xx 答案：B (三)解答题 1.计算下列不定积分 3x （1） x dx e 5 3x x 3 3 x x 3x 答案： x dx=() ) d dx= e c 3 ee e ln e （2） (1 x)2 x dx 1 11 13 3 (1 x)2(12x x2) 答案： d dx=d dx=(x(x2 2 2x2x2 2 x x2 2)d)dx xx 42 =2 x x2x2 c 35 x2 4 dx （3） x 2 1x2 4 dx=(x(x- -2)d2)dx=x2 2x c 答案： 2x 2 （4） 35 1 1 2x dx 答案： 11 11 dxln1 2x cd(1d(1- -2 2x) = 1 2x22 12x 2 （5） x 2 x dx 3 2 1 1 2 22 2答案：x 2 x dx= 2 2 x d(2d(2 x )=(2 x ) c 32 2 （6） sinx x dx 答案： sinx x dx=2sinsin x xd d x= 2cosx c （7） xsin x dx 2 答案： xsin x x dx=2xdcos sd dx 22 2 xx xx 2cos sd dx= 2xcos 4sin c 2222 2 6 =2xcos （8） ln(x 1)dx 答案： ln(x 1)dx= =(x1)ln(x1) 2.计算下列定积分 （1） ln(ln(x 1)d(1)d(x 1) (x(x1)dln(1)dln(x 1)1)=(x 1)ln(x 1) x c 2 1 1 xdx 1 xdx= 1 x 答案： 2 1 2 1 2 1 21 1 2 5 2 += (xx )(x x)(1 x)d dx(x1)d dx 11 1 1 222 1 （2） e dx x2 2 答案： 1 1 2 1 e xxedx= = e d d 1xx2 1 x 11 2 1 =e e （3） e3 1 x 1 ln x dx e e3 11 d(1d(1lnlnx)=2（1ln x)2 1lnx 答案： e3 1 x 1 ln x1 dx= 1 e3 1 =2 （4）2 0 xcos2xdx 111 1 2 0 2sin2xdx=答案：2xcos2xdx=2xdsin2x= xsin2x 0 0 2222 0 （5） e 1 xlnxdx e 答案： 0 1 xlnxdx= e e 2 1 e e 1 2 1 22e(e 1)lnxd dxx lnxx d lnx = 1 11 422 （6） 4(1 xex )dx 提示：课堂已讲评 答案：55e4 作业三作业三 7 （一）填空题 1 04 5 1.设矩阵A 3 232 ，则A的元素a23 _.答案：3_ 2 16 1 T 2.设A,B均为 3 阶矩阵，且A B 3，则 2AB=_. 答案： 72 3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A B)2 A22AB B2成立的充分必要条件是.答案： AB BA _. 4. 设A,B均为n阶矩阵，(I B)可逆，则矩阵A BX X的解X _ 答案：(I B)1A 1 1 0 0 1 5. 设矩阵A 0 20 ，则A _.答案：A 0 0 0 3 0 （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（） A若A,B均为零矩阵，则有A B B若AB AC，且A O，则B C C对角矩阵是对称矩阵 D若A O,B O，则AB O答案 C 0 1 2 0 0 0 1 3 2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（）矩阵 A2 4B4 2 C35D53答案 A 3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A(A B)1 TT A1 B1， B(AB)1 A1B1 CAB BADAB BA答案 C 4. 下列矩阵可逆的是（） 1 2 3 1 0 1 A 023 B 101 0 0 3 12 3 8 C 1 1 D 1 1 0 0 2 2 答案 A 1 11 5. 矩阵A 2 01的秩是（ ） 1 34 A0B1C2D3答案 C 三、解答题 1计算 （1） 2 10 1 53 =1 2 10 3 5 （2） 02 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 （3）1254 0 1 =0 2 2312 4 2 2计算 1 1 22143 4 5 610 32 27 1 23 1 3 解 12 3 1 22 12 4 1 24 5 0 719 7 2 7120 6 32 43 6 1 1 23 1 3 2 7 0 47 3 2 = 515 1110 3 214 2 3设矩阵A 3 1 1 11 1 2 3 ，B 1 12 ，求AB。 0 1 1 0 1 1 解 因为AB A B 231232 A 111 112 (1)23(1) 22 011010 12 2 9 4 5 10 27 123123 B 112 0-1-1 0 011011 所以AB A B 20 0 4设矩阵A 12 4 2 1，确定 的值，使r(A)最小。 10 1 答案： 1 2 4 4 1 24 A (2)(1)(2) 1 2 2 1 0 47( 014 1 1 0 (3)(1)(1) 0 14 2) (3) 47 0 1 24 (3) (2)( 7 4 ) 0 1 4 0 9 4 0 当 9 4 时，r(A) 2达到最小值。 2532 1 5求矩阵A 5 8543 17420 的秩。 4 1123 答案 2532 1 0 A 5 8543 1742 3 (2)(1)(5) 174 17420 (1)(3) 5 854 1 (3)(1)(2)0 2715 4 112 2532 3 4 1123 (4)(1)(4) 095 0 2715 1 742 0 (3)(2)( 1 0 273 3) 156 0 0000 r(A) 2。 (4)(2)(1) 0 0000 6求下列矩阵的逆矩阵： 10 ： 2 0 63 21 63 1 3 2 1 （1）A 3 0 1 1 1 答案 1 3210 0 (AI) 3 01010 1100 1 1 210 0 1 3 (2)(3)2 011 1 12 0 4310 1 1 3058 18 (2)(3)(1) 010237 (1)(3)(2) 34 9 0 01 A1 1 1 3 2 37 3 4 9 210 0 1 3 (2)(1)3 097310 (3)(1)(1) 0 4310 1 1 3210 0 (3)(2)4 011 1 12 0 0134 9 1 301 1 3 (2)(1) 010237 (1)(2)(3) 0 0134 9 1 1 13 求 115 （2）A = 1(AI) 1 2 1 3 1 0 0 0 1 3 1 1 AI 115 + 0 10= 1 05 1 2 1 0 0 1 1 2 0 0 1310 0 (A I I) 1 05010 1 2000 1 1 0 0 1 1 2 501 0 3100 000 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 5010 3100 501 1 0106 5 0533 121 1 1 0501 0 013100 0 0121 1 1 0 0 10533 121 1 0 0 5010 11 10 6 5 -33 A1 = 5 1 1 2 7设矩阵A 1 2 1 2 , B 2 3 ，求解矩阵方程XA B 35 案：答 21 0 1 21 0 1 1 05 2 1 05 2 A I) (2)(1)(3)(1)(2)2(2)(1) 0 131 0 131 0 131 3 501 1A 5 2 X=BA 1 X = 31 1 0 1 1 四、证明题 1试证：若B 1,B2 都与A可交换，则B1 B2，B1B2也与A可交换。 证明：(B 1 B 2 )A B 1 A B 2 A AB 1 AB 2 A(B 1 B 2 )， B 1B2 A B 1 AB 2 AB 1B2 2试证：对于任意方阵A，A A，AAT, ATA是对称矩阵。 提示：证明 T (A AT T)T T AT(AT T)T AT T A A AT T ， (AAT T)T T (AT T)TAT T AAT T,(AT TA)T T AT T(AT)T AT TA 3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。 提示：充分性：证明：因为AB BA(AB)T T BTAT BA AB T T 必要性：证明：因为AB对称，AB (AB) 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 证明：(B1 1 BTAT BA，所以AB BA BT，证明B1AB是对称矩阵。 AB)T T BT TAT(B1)T B-1-1A (BT)T=B1AB 作业（四）作业（四） （一）填空题 1.函数f (x) 4 x 1 的定义域为_ _.答案： （1，2）（2，4 ln(x 1) 2 2. 函数y 3(x 1)的驻点是_，极值点是，它是极值点.答案：x 1,x 1，小 12 3.设某商品的需求函数为q(p) 10e p 2，则需求弹性E p .答案： 2p 4.若线性方程组.x1-x2=0 x1+ x2=0有非 0 解，则 =_答案： = -1 1 6 1 1 ， 32_ _ _ _ _ _ _ _ _ 5. 设线性方程组AX b， 且A 0 1 则t _ 0 0t 1 0 （二）单项选择题 1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（） 时， 方程组有唯一解.答案： 1 AsinxBe x Cx 2 D3 x 答案：B 1 ，则 f (f (x)=() x 11 A.B. 2 C. xD.x2 xx 2. 设f (x) 答案：C 3. 下列积分计算正确的是（） xx 1e e exex dx 0 B dx 0 A 11 22 1 C 1 -1 xsin xdx 0 D(x2 x3)dx 0 -1 1 答案：A 4. 设线性方程组AmnX b有无穷多解的充分必要条件是（） Ar(A) r(A) mBr(A) nCm nDr(A) r(A) n 答案：D x 1 x 2 a 1 5. 设线性方程组 x 2 x 3 a 2 ，则方程组有解的充分必要条件是（） x 2x x a 233 1 Aa1 a2 a3 0Ba1a2 a3 0 Ca1 a2a3 0D a1 a2 a3 0 答案：C 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1)y exy 答案： d dy exey d dx eydy exdxey ex c 13 dyxex （2） 2dx3y 答案： 2x3xx3y dy xe dx y xe e c 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y 答 2 y x3 x ：案 2 p(x) ,q(x) x3 x ，代入公式锝 22 dx 2ln x x dx 3 xy edx c=e x e x3e2ln xdx c =e2ln x 1 x3x2dx cy x2(x2 c) 2 （2）y y 2xsin 2x x 11 dx 1 x dx x2xsin2xedx c 答案：p(x) ,q(x) 2xsin2x ，代入公式锝y e x eln x 2xsin2xedx c ln x 1 x2xsin2xdxc xsin2xd2x c x y x(cos2x c) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y e2xy,y(0) 0 答案： d dy e2xey d dx 111 eydy e2xdx，e eye e2xc，把y(0) 0代入e e0e e0c，C= ， 222 ey 1 x 1 e 22 x (2)xy y e 0,y(1) 0 答案 1 ： 1e ex x yy Xx x 1 ， 1e ex x P(X) ,Q(X) Xx x ，代入公式锝 y e x x dx e x dx e x dx c eln x ex ln x 1 ex edx c xdx c x x x ，把y(1) 0代入 1 1 y (e exc) c)，C= -e ,y (exe) xx 14 4.求解下列线性方程组的一般解： 2x 3 x 4 0 x 1 （1） x1 x2 3x3 2x4 0 2x x 5x 3x 0 234 1 x 1 2x 3 x 4 答案：（其中x1,x2是自由未知量） x x x 34 2 02 1 2 1 1 1 0 1 02 1 0 111 0 111 A 1 132 0 215 3 0 11 1 0 00 所以，方程的一般解为 x 1 2x 3 x 4 （其中x1,x2是自由未知量） x 2 x 3 x 4 2x 1 x 2 x 3 x 4 1 （2）x1 2x2 x3 4x4 2 x 7x 4x 11x 5 234 1 答案： 1 1 4 2 11 1 214 2 1 21 (2)(1)(2) (1),(2)2 11 0 537(Ab) 1 21421 1 (3)(1)(1) 7 1 7411 5 1 7411 5 0 53 161 0 1 214 2 554 2 1 21 37337 0 53730101 (2)( 1) (3)(2)(1)(2)(2)55555 00000 5 0 0000 0 0 00 164x x x 34 1 555 （其中x ,x是自由未知量） 12373 x 2 x 3 x 4 555 5.当为何值时，线性方程组 x 1 x 2 5x 3 4x 4 2 2x x 3x x 1 1234 3x 2x 2x 3x 3 234 1 7x1 5x 2 9x 3 10 x 4 有解，并求一般解。 2 3 3 4 5 3 5 0 15 1 15421542 (Ab) 2 131 1(2) (1)(2) 1 11393 3 2 233 (3) (1)(3) 0 11393 7 5910 (4) (1)(7) 0 0 2261814 1 1542 1 085 1 答案： (3) (2)(1) 0 11393 0 11393 (4) (2)(2) 00000 (1)(2) 0 0000 0 0008 0 0008 .当=8 有解, x 1 8x 3 5x 4 1 （其中 x x 1 ,x 2 2 13x 3 9x 是自由未知量） 4 3 6a,b为何值时，方程组 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 2x 3 2 有唯一解、无穷多解或无解 x1 3x 2 ax 3 b 答案： 1 11 1 1 11 1 1 1 A 1 1 22(2) (1)(1) 0 2 1 3a b (3) (1)(1) 1102 0 4a 1b 1 (3) (2)(2) 0 0 当a 3且b 3时，方程组无解； 当a 3时，方程组有唯一解； 当a 3且b 3时，方程组无穷多解。 7求解下列经济应用问题： （1）设生产某种产品q个单位时的成本函数