第四章空间力系.ppt

,第四章空间力系,4-1空间汇交力系,或由仰角与方位角来确定。,1.力在空间的表示,的接触之点。,一、力在空间轴上的投影与分解：,力的三要素：,大小、方向、作用点,大小：,作用点：,方向：,由、g三个方向角确定,物体和力矢的起点或终点,静力学,一次投影法（直接投影法）,由图可知：,即：,二次投影法（间接投影法）,当力与各轴正向间夹角不易确定时，可先将F投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上。,静力学,若以表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：,而：,所以：,已知力的投影求该力,力沿坐标轴分解,静力学,几何法与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。,二、空间汇交力系的合成,即：合力等于各分力的矢量和,注意,力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢量。,(由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用此方法合成）,静力学,空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,由于代入上式,合力投影定理,解析法,合力,定理:,合力的解析求法,大小：,方向：,静力学,解析法平衡充要条件为：,几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：,三、空间汇交力系的平衡,亦称为空间汇交力系的平衡方程,三个独立的方程，只能求解三个未知量,平衡的充要条件,几何法平衡充要条件,解析法平衡充要条件,静力学,4-2力对点的矩与力对轴的矩,一、空间力对点之矩三要素,力矩的大小；,力的作用线与矩心所组成的平面的方位。,力矩的转向；,决定力对刚体的转动作用效应,除了力矩的大小、力矩的转向,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物,体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的转动作用效应取决于下列三要素：,静力学,二、力对点之矩的矢量表示,在平面问题中，力对点之矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点之矩的三要素知，力对点之矩是矢量。,力矩矢的表示方法,力矩矢大小：,力矩矢方位：,该力和矩心组成的平面的法线方位就是力矩矢的方位。,静力学,力矩矢的指向：力矩转向服从右手螺旋定则。也即从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。,力对点之矩的矢积表达式,如果r表示A点的矢径,导出：,静力学,则：,力对点之矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力矢的矢量积。,又,结论,力对点之矩的解析表达式,静力学,静力学,二、力对轴之矩,实例,定义力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩.,静力学,力对轴之矩的解析式,由合力矩定理：,即,同理可得其余两式，即有：,力对轴之矩的解析式,静力学,三、力对点之矩和力对通过该点的轴之矩的关系,通过O点作任一轴Z，则：,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影，等于该力对于该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系。,定理,证明,由几何关系：,即：,静力学,所以力对点O之矩为：,大小：,四、力对点之矩的解析求法,静力学,又由于,方向：,4-3空间力偶系,一、空间力偶三要素,力偶矩的大小；,力偶作用面的方位；,力偶的转向。,决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的,转向外,还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则,空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作用效应取决于下列三要素：,静力学,y,空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。,二、力偶矩用矢量表示,力偶矩矢,力偶矩矢表示方法,大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；,矢量的方位：与力偶作用平面的法线方位相同,矢量的指向：与转向的关系,服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看过去，力偶的转向为逆时针转向。,静力学,证明：设平面I内有一力偶。作平面II/平面，且cd/ab。作一对平衡力R,R(在E点,且使R=R),作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,F1与R合成得F2，作用在d点。F1与R合成得F2，作用在c点。且R-F1=F2，R-F1=F2,由反向平行力合成得：,三、空间力偶的等效定理,定理：,静力学,在平面I内的力偶（F1，F1）等效变成平面II内的（F2，F2）,推论：,在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。,空间力偶矩矢是一个自由矢量由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。,静力学,四、空间力偶系的合成与平衡,由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合成法则。即：合力偶矩=分力偶矩的矢量和。,合成,静力学,即：,投影式为：,显然空间力偶系的平衡条件是：,亦称为空间力偶系的平衡方程,三个独立的方程，只能求解三个未知量。,平衡,静力学,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。,4-4空间一般力系向一点简化,设作用在刚体上有空间一般力系,试将力系向O点简化,静力学,根据力线平移定理，将各力平行搬移到O点，得到一空间汇交力系：,一、简化方法,任选O点为简化中心,将各力平行搬移到O点,和一附加力偶系：,静力学,空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。,汇交力系合力,合成空间汇交力系,合成附加力偶系,附加力偶的合力偶矩,静力学,二、主矢与主矩,1.主矢：指原空间一般力系各力的矢量和。,注意：,因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。,主矢大小:,主矢方向:,静力学,主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和,大小：,因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。,注意：,根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:,方向：,静力学,三、结论,空间一般力系向任一点O简化，一般可以得到一力和,一力偶；该力作用于简化中心，其大小及方向等于该力系的,主矢，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩。,静力学,化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零),空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,4-5空间一般力系简化结果的讨论,若,则该力系平衡（下节专门讨论）。,若则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。,若则力系可合成为一个合力，力系合力,等于主矢，合力通过简化中心O点。（此时主矩与简,一、力系平衡,二、力系简化为一个合力偶,三、力系简化为一个合力,静力学,若,时，,由于做,可进一步简化，将MO变成(R,R)使R与R抵消只剩下R,静力学,例拧螺丝炮弹出膛,四、力系简化为力螺旋,力螺旋由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系,若，时，,静力学,M和主矢R合成为合力R而：,所以M/和R在O点处形成一个力螺旋。,M/不变，是在平面内的一力偶,若，R不平行也不垂直M0，成最一般的任意角时，,可将M/搬到O处,因为M/是自由矢量，,首先把MO分解为M/和M,静力学,力系简化中，不随简化中心改变的量有：R，M/简化中心为O时：有M和M/，当简化中心为另一点O1时，为M和M/，即M/总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关）,注意,R，M/是力系简化中的不变量,静力学,空间力系向O点简化后得主矢R和主矩MO,若MOR，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R。,五、空间力系的合力矩定理,定理,导出,静力学,一、空间一般力系平衡的充要条件,4-6空间一般力系的平衡方程及应用,平衡的充要条件,静力学,力系的主矢和主矩都等于零，即：,还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。,解析法平衡充要条件,六个独立的方程，只能求解六个未知量。,亦称为空间一般力系的平衡方程，,三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程,空间汇交力系的平衡方程,因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,三个独立的方程，只能求解三个未知量,静力学,空间平行力系的平衡方程,设各力线都/z轴,因此,均成为了恒等式，而自然满足。,即有：,三个独立的方程，只能求解三个未知量。,静力学,4-7平行力系的中心物体的重心,一、空间平行力系的中心,平行力系的中心坐标公式,由合力矩定理：,矢量形式,定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用,点C就是此平行力系的中心。,P0为沿方向的单位矢量,静力学,此式称矢量形式平行力系的中心坐标公式,直角坐标形式（投影式）,静力学,物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,二、物体的重心,定义：组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一,个确定的点，这个点称为物体的重心。,静力学,重心坐标公式,确定物体重心的意义,保证平衡的稳定性；,保证运动的稳定性；,消除振动。,如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。,即有：,由合力矩定理：,直角坐标形式,又,静力学,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x轴取矩得：,有：,得：,综合上述得直角坐标形式重心坐标公式为：,静力学,设表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则,若以Pi=mig,P=Mg代入上式可得质心坐标公式：,积分形式,代入上式并取极限，可得：,式中，上式称为积分形式重心坐标公式。,对于均质物体，=恒量，上式成为：,静力学,同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。,均质物体重心坐标公式形心（几何中心）坐标,均质立体,同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写出相应的公式。,静力学,对于均质物体，=恒量，上式成为：,均质薄曲（平）面,均质细曲（直）杆,三、重心的求法,对称法具有对称点对称轴对称面的均质物体，其重心就在其对称点对称轴对称面上。,静力学,组合法,分割法,例已知：Z形截面，尺寸如图。,求：该