有限元第三章 最小势能原理和分片插值

在这一章中我们将介绍：最小势能原理及具体应用；同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系；Ritz方法在单元内的应用两种最常用的插值形式（Lagrange型和Hermite型）；协调的位移型单元的收敛条件。,第三章最小势能原理和分片插值(有限单元方法的核心内容之一),A,B,3-1最小势能原理,平衡问题，可以至少用以下叁种不同的方式加以描述：（i）平衡方程（ii）虚位移原理（iii）总势能取驻值（函数的极值问题）,1.有限自由度系统质点系图3-1(a)为两个重分别为PA,PB的小球，由不计重量，弹性系数为k的弹簧相连，放置在光滑的曲面F(x,y)=0上。该系统的平衡问题可由以下三种方法来描述：,（a）,(1)平衡方程,(2)虚位移原理,(3)总势能取驻值,在所有满足给定位移边界条件和协调条件的位移中，满足平衡条件的位移使总势能取驻值，若驻值是最小值，则平衡是稳定的。,最小势能原理和平衡方程是否等价？,.无限自由度系统弹性体,(1)轴向受拉的直杆。设杆长为，截面积为，弹性模量为E轴向分布载荷f(x)。x=0端固定，x=L端受端点集中力P。,设位移u(x)满足：(i)u(0)=0(位移边界条件)(ii)u(x)在O,L上连续（协调条件）(iii)使总势能取最小值。,(3-1-1),u(x)即为该问题的解,最小势能原理：,总势能=变形能外力之功,设：u(x)+u(x)为不同于u(x)的另外一种位移分布函数，也满足上述的位移边界条件和协调条件，则,(3-1-2),将u(x)+u(x)代入总势能函数,考察两总势能函数之差,因P(u)取最小值，即,的充分必要条件是：,对任意满足(3-1-2)的u(x)有：,(3-1-3),若假定u(x)存在、连续，则对（3-1-3）分部积分一次，并利用（3-1-2）,可得到,(3-1-4),(3-1-4)式对任意u(x)都成立的充分必要条件是：,由势能取驻值可以推出平衡方程。反之也对，说明两种描述方法在力学上等价。,用最小势能原理描述时，要求函数满足位移边界条件而力边界条件将作为势能取驻值的自然结果。,两种描述方法对函数的光滑程度（即可微性）要求不同。用微分方程描述时要求u(x)有连续的二阶导数（记作uC2(0,L)）。而用最小势能原理描述时，为了保证变形能存在，要求u(x)平方可积（记作uH(0,L)）,(NaturalBoundaryCondition),（EssentialBoundaryCondition）,两种描述方法对边界条件的要求不同。用微分方程描述时，u必须满足：,(2)平面应力问题正方形区域边长为a，厚度为t，受到体积力(fx,fy),边界AB固定。边界BC、CD自由。边界AD的法向力为q(x)，切向力为p(x)。,uAB=vAB=0,（其中LX，LY为区域之边界的外法线n的方向余弦）。,(能量泛函),格林公式,总势能P的驻值条件为：,(3-1-5),注意到沿边界，外法线n的方向余弦为,以及沿边AB：u=v=0,则(3-1-5)对任意u,v都成立的充分必要条件为：,沿BC：y=xy=0沿CD：x=xy=0沿AD：y=q,xy=p,略去了积分过程,(2)梁的平面弯曲,(3-1-6),总势能和强制边界条件为,势能驻值条件,对上式分部积分两次，并注意到由于必须满足强制边界条件v(0)=v/(0)=0则有,(3-1-7),使(3-1-7)对任意v(x)都成立的充分必要条件是：,（平衡方程）,（自然边界条件）,微分方程的阶数为。关于v、v的边界条件为自然边界条件，关于v、v的边界条件为强制边界条件。当用微分方程描述时要求v(x)有四阶的连续导数vC4(0,L)。用最小势能原理描述时，为保证变形能存在，只要求v(x)平方可积vH2(0,L)。本节讨论的三个例题，可作为维数不同，阶数不同的问题的代表。现把一些重要结论归纳如下表。其中，“方程阶数”是以位移为基本未知量来计算，“可微性要求”是对最小势能原理而言的。,(iii)将试探函数作为近似解代入描述问题的能量泛函中，由泛函取驻值，即,3-2Ritz法(有限元方法的基础之一),由于有限单元方法可以理解为在单元（子域）内应用的Ritz法。Ritz法是一种求近似解的常用方法，它的基本步骤是：,(i)选一组满足强制边界条件、协调条件和可微性要求的基函数,(ii)假定近似解（试探函数trialfunction）的形式为,定出系数1n。从而得到近似解。,以简支梁为例，求解在集中力P作用下的变形,解法基函数取多项式,解法：基函数取正弦函数,解法1:,解法2:,精确值:,两种方法求得的点位移绝对值小于精确值。正弦的基函数，使支座处弯矩为零的条件（不属于强制边界条件）也得到满足。尽管Ritz法本身并不要求这一点，但是第二个近似解的精度显然比第一个要好得多。,基函数的选取对解的精确度有显著的影响,(种类,项数),3-3分片插值形式的基函数和试探函数（解的收敛性与插值函数的选取关系很大）,图,1.一维Lagrange型插值图示一轴向受拉的直杆，截面积和轴向分布载荷f可以是x的函数。因而轴向位移u(x)可能是x的复杂函数。,(1)基函数,定义基函数14。满足：,(ii)设基函数在单元内是x的一次函数。,(2)试探函数的形式取为基函数的线性组合,根据i的定义显然有：,u(x)是x的分段线性函数；系数ui恰好代表结点i的位移值，相互之间是独立的。,这样分段（片）定义的试探函数的一个显著优点是：(i)强制边界条件很容易得到满足。例如u(0)=0的条件只要简单地令结点的位移u1=0即可以实现。(ii)允许我们在任何方便的时候（例如组装总体刚度矩阵时）引入这些边界条件。(iii)由于强制边界条件问题已经有了妥善的解决办法，我们的注意力将转向协调条件和可微性问题。,上面定义的i(x)和u(x)都存在着“尖点“，光滑程度不高。但是：（i）i(x)和u(x)在单元内连续，在结点处也连续；,（）协调性和可微性,（ii）i(x)和u(x)在单元内连续，在结点处可能不连续。但只有有限的跳跃量。在区间0,L上平方可积。i(x)和u(x)属于同一类型的函数。对于轴向受拉杆（二阶问题），u(x)满足最小势能原理对协调性和可微性的要求。,由,可求得u、u、u、u的值，得到一个近似解。,（）Lagrange插值i(x)、u(x)都涉及这样一个问题：由两个结点上的函数值在单元内确定一个线性变化的函数。图3-7为一个一般性的单元，两个结点i、j的坐标为xi、xj，假定单元内u(x)是x的线性函数,一阶导数平方可积,其中Ni、Nj称为形函数，它们在单元内是x的线性函数，且满足,每个形函数由分子和分母两部分组成，分子保证了一个结点的形函数在其他结点处为，而分母的选择则恰好使得这个形函数在自己的结点个取值为。,如果在每个单元内在增设一个结点l就可以假定在每个单元内u(x)是x的二次函数。形函数也是x的二次函数。若结点为i、j、l，则可以用“凑”的方法得出各形函数：,用插值点的函数值构造的插值函数通常称为Lagrange插值。,2.一维Hermite型插值,图3-9为一根梁，横向载荷q和截面惯性矩I可以是x的函数。因而挠度v是x的复杂函数。梁的弯曲是四阶问题，试探函数v及v应在0,L上连续。,(1)基函数,定义基函数1(x)4(x)、1（x）4(x)满足:(i)i(x)、j（x）在单元内是x的三次函数,(2)试探函数,根据i、i的定义可知，v(x)是x的分段三次函数，且满足:,系数vi、vi恰为结点处v、v之值。这些值相互之间是独立的。,()可微性,满足最小势能原理对试探函数可微性的要求。,()Hermite插值,用插值点的函数值及导数值构造的插值函数通常称为hermite插值。,二阶导数平方可积,3-4常应变三角元的理论依据,(ii)在每个单元内是x、y的线性函数。,.基函数,定义基函数1(x,y)9(x,y)满足:,.试探函数,结点处：,单元内部：,u,v为x,y的完全一次多项式,可由结点值唯一确定。,（2-3-2）,为常数。,沿单元边界（例如i、j边），u、v按线性变化，完全由这条边上两个结点上的函数值ui、vi、uj、vj所决定，故穿过单元边界时u、v连续（如图3-11所示）。但穿过单元边界时其导数,一般不连续，有有限的跳跃量，但在内它们平方可积。,.总势能,其中,求解域内的总变形能=各单元内的变形能之和,(3-4-1),4.势能取驻值,5.单元刚度矩阵,（3-4-1）的推导过程给出了由单元刚度矩阵kI组装总体刚度矩阵的另一种解释：总变形能等于单元变形能之和。去掉ki中全零的行和列，可得到一个66的方阵k,任意一个单元只有六个非零自由度,单元变形能,其中,（2-3-4）,单元刚度矩阵,与第二章中用直接法得到的单元刚度矩阵（2-3-5）完全相同。,6.等效结点力,单元,单元,有限元方法可以看成采用分片插值形式的Ritz法。由于试探函数采用分片插值形式。即使在区域形状比较复杂的情况下，强制边界条件也很容易得到满足。但所选择的试探函数必须满足协调性和可微性要求。这是最早出现的关于有限元方法的理论论证。,3-5收敛条件,一般说来，用分片插值形式定义的试探函数很难做到与问题本身的真实解（精确解）完全吻合，因而有限元解一般都是近似解。我们希望在网格逐步加密、单元尺度无限变小时有限元解能收敛到真实解。为了保证收敛性，各单元内假定的位移场（试探函数）应满足以下条件:,（）假定的位移场在单元内连续（）能够描述任何一种常应变状态（常曲率）（）包括足够的刚体位移模式,1)杆受轴向拉压，只要包含完全一次多项式:,2)平面应力问题，只需包含x、y的完全一次多项式,其中第一个括号内为三个刚体型位移：二个平移一个旋转。第二个括号内为常应变项；,3)梁的平面弯曲，只需包含x的完全二次多项式,其中1+2x为刚体型位移，一个平移、一个旋转。a3x2为常应变（常曲率）项,（）协调条件,对二阶问题要求穿过单元边界时位移（试探函数）连续。对四阶问题则要求穿过单元边界时位移及其一阶导数都连续。,条件（）（）则属于必要条件,条件（）并不是保证收敛性的必要条件。,3-6其他形式的二维分片插值（Lagrange型插值）,一个具体的单元由三个要素所决定(i)单元形状；三角形,四边形,四面体,六面体等.(ii)结点的配置和结点参数的选取；对于Lagrange型插值总是取结点处的函数值（即不取导数值）作为结点参数。(iii)插值函数的具体形式（一般为多项式）。这些多项式的系数要能够被结点参唯一确定。同时还要考虑收敛条件的要求。,.高阶三角元图3-12为六结点三角元。结点i、j、k位于三角形项点，结点l、m、n位于各边中点。单元内假定位移场的形式为x、y的完全二次多项式,aa可以由六个结点上的u、v值唯一确定。,显然u、v在单元内连续，且包含了x、y的完全一次多项式，收敛条件（）（）得到满足，沿单元边界（例如ilj边）x、y是s的一次函数，故u、v是s二次函数，完全被这条边上三个结点处的函数值所决定，故协调条件（）也得到满足。,图3-13为一个10结点的三角元，单元内假定的位移场是x、y的完全三次多项式。同样可以满足收敛条件（）（）。请各位自已证明其收敛性,.矩形单元,图3-14是一个四结点的矩形单元，单元的边与x、y轴平行，长度分别为2a和2b。取四个角点为结点假定单元内的位移场是x、y的双线性函数。,收敛条件（）（）得以满足。此外沿单元边界，例如i、j边，y为常数，u、v是x的线性函数，完全被这边上两个结点处的函数值所决定，条件（）也得到满足。,四结点矩形单元的形函数,同常应变三角元相比，矩形单元的假定位移场中增加了xy项这使得在某种情况下矩形单元的精度会较常应变三角元有所改善。特别是当真实解的位移场恰好是x、y的双线性函数时，矩形元可以给出精确解，而常应变三角元则做不到这一点。为了提高矩形元的精度，可以采取什么措施？,图3-15是一个八结点的矩形单元，四个边上的结点位于各边中点。单元内假定的位移场为,位移场完全到x、y的二