刚体的平面运动

第八章刚体的平面运动,本章以刚体平移和定轴转动为基础，应用运动分解和合成的方法，研究工程中一种常见而又比较复杂的运动刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。,第八章刚体的平面运动,8-5运动学综合应用,结论与讨论,8-1刚体平面运动的概述和运动分解,8-2求平面图形内各点速度的基点法,8-4用基点法求平面图形内各点的加速度,8-3求平面图形内各点速度的瞬心法,一、问题的提出,回顾：刚体的简单运动平移和定轴转动,请观察以下刚体的运动：,火车车轮,机械臂,8-1刚体平面运动的概述和运动分解,连杆,动齿轮,刚体平面运动的定义：在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。,刚体平面运动实例,二、刚体平面运动的运动方程,1.刚体平面运动模型的简化,过刚体作平面平行平面,平面与刚体相交截出一个平面图形S；,平面图形S始终保持在平面内运动；,在S面内任选一点M，过M做平面垂线。,刚体平面运动,A1MA2做平移，M点可代表直线A1MA2上各点的运动,结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。,2.运动方程,运动模型-平面图形,平面图形上的任意直线运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动。为了确定图形在任意瞬时的位置，只须确定图形内任一条直线的位置。,确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA,yA,)。,(xA,yA),三、刚体平面运动的分解,刚体的平面运动可以分解平移和定轴转动,当角不变时，则刚体作平移,当点不动时，则刚体作定轴转动,绝对运动：,牵连运动：,相对运动：,设在t时间间隔内，平面图形由位置运动到位置。,刚体平面运动,随基点的平移,平面图形相对于平移系的转动,刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法：,选择基点(任意选择)；,在基点上建立平移系(特殊的动系)；,按照合成运动理论分解.,车轮的平面运动,随同O的平移运动,绕O1的转动,+,平移和转动与基点之间的关系,结论：平面图形的平面运动可取任意的基点分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关；而平面图形的角速度和角加速度与基点的选择无关。,一点注意,所谓绕基点的转动，实际上是指相对于一个坐标原点铰接于基点的平移参考系的转动，故和是相对角速度和相对角加速度。当注意到动参考系作平移时，可见，和又是绝对角速度和绝对角加速度。这正是把和分别称为平面图形的角速度和平面图形的角加速度的原因。,速度、加速度对点而言，角速度、角加速度对图形或刚体而言。,例题1已知：曲柄滑块机构中OA=r,AB=l;曲柄OA以等角速度绕O轴转动。求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。,解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量与时间的关系,连杆的平面运动方程为,2、连杆上P点的运动方程,8-2求平面图形内各点速度的基点法,定系：Oxy,基点：A,平移系：Axy,平面图形：S,平面图形的角速度：,基点速度：vA,B点速度：vB,速度合成定理：va=ve+vr,vB=vA+vBA,一、基点法,结论：平面图形上任意点的速度，等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,方向与半径AB垂直，指向与角速度的转向一致,前述方法称为基点法或速度合成法通常对于平面图形内的任意两点A和B,注意：vBAvAB,例题2在图中，杆AB长l，滑倒时B端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。,解：,解法一：选A点为基点研究B点,其中vA=u,解法二：选B点为基点，研究A点,所以,(逆时针),大小方向,其中vA=u,大小方向,例题3曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l，曲柄以匀角速度0转动，当OA与水平线的夹角=45时，OA正好与AB垂直。求（1）滑块的速度vB。（2）连杆AB的角速度AB。（3）连杆AB中点C的速度。,解：选择A为基点，研究B点运动,滑块的速度：,连杆的瞬时角速度,其中：vA=r0,大小方向,再求连杆AB中点C的速度vC,仍选A为基点,大小方向,其中：vCA=rAB/2,例题4已知:OA=OO1=r,BC=2r，OAB=45,求:连杆此瞬时C点的速度vC。,解：(1)机构的运动分析,(2)取A为基点，研究B点,大小方向,(3)再取B为基点，研究C点,大小方向,与水平夹角可由正弦定理求出,二、速度投影法,将速度vB向线段AB投影(vB)AB=(vA+vBA)AB因为(vBA)AB=0所以(vB)AB=(vA)AB,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,上面的定理正好说明刚体上任意两点间的距离保持不变。所以定理适应于刚体作其它任意的运动。,例题2在图中，杆AB长l，滑倒时B端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。,解：由速度投影定理,速度投影定理无法求解角速度！,一、问题的提出,如何解释这种现象？,离车轮与地面的接触处近的辐条看得较清楚，而离得远的辐条则模糊不清，甚至看不见。,8-3求平面图形内各点速度的瞬心法,若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题的计算会大大简化，同时也能求出图形的角速度。,基点法,速度投影法,优点：既能求速度，也能求。缺点:计算比较繁琐。,优点：计算简便，快捷。缺点:无法求出图形的角速度。,A为基点,只要,任一瞬时平面图形上都唯一存在一个速度等于零的点。,二、速度瞬心的概念,证明:,（1）过点A作直线。,且当点M在AL上时，其速度大小可表示为,选A为基点，则上任一点M的速度,因此，在AL上必唯一存在一点P，其速度为零。,某一瞬时平面图形上速度等于零的点,称为图形在该瞬时的瞬时速度中心,简称速度瞬心。,唯一性：,瞬时性：,在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。,在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心。,（2）过点A的其它直线上的点,因和不共线,故速度均不为零。,三、平面图形上各点的速度,方向：,选取速度瞬心P为基点，则平面图形上任一点B的速度,由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。,大小：,BP,指向与转向相一致。,形绕速度瞬心转动的速度。,速度瞬心法,等于该点随图,?,?,过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何特点？,就速度分布而言，平面图形的运动可视为绕该瞬时的速度瞬心作瞬时转动。,与图形绕定轴转动时的速度分布类似。,思考,四、速度瞬心位置的确定,1.已知平面图形上一点A的速度和图形角速度。,速度瞬心P：,过点A作的垂线，,并取,速度瞬心P：,过A、B两点分别作速度、的垂线，两垂线之交点。,2.已知平面图形上任意两点A、B的速度方向。,3.已知平面图形沿固定面作无滑动的滚动（纯滚动）。,速度瞬心P：,平面图形与固定面的接触点。,例题曲柄滑块机构,解：,已知:曲柄OA以匀角速度转动。，。,求:当=60时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。,曲柄OA作定轴转动,滑块B作平移,连杆AB作平面运动。,研究连杆AB：,过A、B两点分别作速度、的垂线，两垂线之交点即为连杆AB的速度瞬心P。,（1）速度瞬心可以位于平面图形之上，也可以位于平面图形边界之外（延长部分上）。,讨论：,滑块B的速度,（2）当=90时，滑块B的速度及连杆AB的角速度为多少？,该瞬时，连杆AB的速度瞬心P在无穷远处，,研究连杆AB：,P？,选A为基点，则连杆AB上任一点M的速度,该瞬时AB上各点的速度相等。,可见，该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作平移时的一样。,各点加速度是否相等?,故图形在该瞬时的运动称为瞬时平移。,确定速度瞬心位置第2种方法之特例：,特例1两垂线平行。,速度瞬心P在无穷远处，。,特例2两垂线共线。,P?,此时图形作瞬时平移。,例题沿直线轨道作纯滚动的车轮,求:轮缘上点A、B、C、D的速度。,已知:车轮半径为R，轮心O点的速度为。,解：,车轮作平面运动。,车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。,车轮的角速度为,（1）更加体会到速度瞬心法的计算简便；,各点的速度方向如图所示。,通过此例,（2）直观了解了车轮上各点的速度分布。,现在，你能解释这种现象了吗？,离车轮与地面的接触处近的辐条看得较清楚，而离得远的辐条则模糊不清，甚至看不见。,五、小结与讨论,基点法,速度投影法,速度瞬心法,速度瞬心的概念,速度瞬心位置的确定,图形上各点的速度分布,另解：由其速度分布可知ABC的瞬心为O1点,例题5已知：OA=OO1=r，BC=2r，OAB=45，求：连此瞬时C点的速度vC。,例题6已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。求：圆轮的角速度。,解：对机构进行运动分析,AB杆作瞬时平移,由速度投影定理得,圆轮瞬心在E点,例题7如图所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R的固定齿轮I上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度O转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。,解:,所以轮II上M1，M2，M3和M4各点的速度分别为：,各点的速度方向如图所示。,因为A点的速度,行星齿轮II上与固定齿轮I的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮II上各点的速度。为此先求轮II的角速度。,例题8图所示平面机构中，曲柄OA=100mm，以角速度=2rads1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时E点的速度。,解：,由速度投影定理，杆AB上A，B点的速度在AB线上投影相等，即,摇杆CD绕C点作定轴转动,轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E两点的速度关系为,求得,例题9图示机构中，曲柄OA以角速度0顺钟向转动。设OA=AB=r，BD=r，在图示瞬时，O，B，C在同一铅直线上，试求此瞬时点B和C的速度。,1.分析作平面运动的连杆AB。,已知杆上A，B两点速度的方向。由A和B分别作出vA和vB的垂线，所得交点Cv1就是杆AB的速度瞬心。并且,所以，杆AB的角速度,（逆时针转向）,解：,连杆AB和BC均作平面运动。,用瞬心法求B点的速度。,所以，B点的速度大小等于,已知杆上B，C两点速度的方向。得交点Cv2就是杆BC的瞬心。,点C的速度大小,方向如图。,（顺时针转向）,杆BC的角速度,2.分析作平面运动的连杆BC。,例题10如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是1，杆O2B的角速度是2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角；又O2B=b，O1A=b。试求在这瞬时C点的速度。,解：,以A点为基点分析C点的速度,另外，又以B作为基点分析C点的速度,比较以上两式，有,（1）,（2）,大小方向,大小方向,上式投影到x轴得,由几何关系可得：,方向：,例题11图示一连杆机构，曲柄AB和圆盘CD分别绕固定轴A和D转动。BCE为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀速n0=40rmin1顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示位置时曲柄AB的角速度AB和构件BCE上点E的速度vE。,根据已知数据，得到：,故,曲柄AB的角速度,解：,C点速度已知，B点速度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理得,1.求曲柄AB的角速度AB。,vC,由于构件BCE上C点的速度vC垂直于CE，根据速度投影定理可知E点的速度vE也应垂直于CE。,式中,所以,2.求E点的速度。,应用速度投影定理,vB与vE在BE连线上的投影相等，即,例题12摆动式锯木机构如图所示。飞轮C以转速n=60r.min1匀速转动，已知连杆BD长1.3m，其它尺寸如图所示。求当时，圆弧锯最低点的速度。,选择连杆BD为研究对象，当时，构件AB在铅垂位置，所以B点和D点的速度vB和vD都沿水平方向。,可得圆弧锯最低点M的速度为,的方向沿水平向右。,解：,此时连杆BD瞬时平移，故它的角速度BD=0。并有,例题14矿石轧碎机的活动夹板AB长600mm，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100mm，角速度为10rads。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。求当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。,机构中杆GE和BG均作平面运动,作G，E两点速度矢量的垂线，得交点Cv1，这就是在图示瞬时杆GE的速度瞬心。,由几何关系,解：,于是杆GE的角速度为,G点的速度为,杆BG也作平面运动，作G，B两点速度矢量的垂线，得交点Cv2，这就是在图示瞬时杆BG的速度瞬心。,Cv1,按照上面的计算方法可求得：,机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的；每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其他刚体上。,例题15平面机构中,楔块M:=30,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动。求圆盘的及轴o的速度和B点速度。,解：轴O,杆OC,楔块M均作平移,圆盘作平面运动，P为速度瞬心,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心。,8-4用基点法求平面图形内各点的加速度,作平面运动的平面图形S，选A点为基点。,其运动可分解为：1、随基点的平移牵连运动2、绕基点的转动相对运动,得B点的加速度,由加速度合成定理,相对加速度可分解为切向和法向相对加速度。即,例题16已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动，轮心速度，加速度已知。求：圆轮瞬心的加速度。,解：圆轮瞬心在C点,取圆心O为基点,大小方向,例题17已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。AB=l，求：（1）B端的速度和加速度；（2）AB杆的角速度和角加速度。,解：由速度分布可知AB杆瞬心在C点，,(2)取A点为基点，进行加速度分析,在Bx、By轴投影得,大小方向,解：对机构进行运动分析，,AB杆的瞬心为O点,求：B点的速度和加速度。,(2)加速度分析，取A点为基点,在BA轴投影得,大小方向,例题19外啮合行星齿轮机构如图所示。曲柄OA绕轴O作定轴转动，带动齿轮沿固定齿轮的齿面滚动。已知定齿轮和动齿轮的节圆半径分别是r1和r2，曲柄OA在某瞬时的角速度是0，角加速度是0，试求该瞬时齿轮上的速度瞬心C和节圆上M点的加速度。,解：齿轮作平面运动，它与固定齿轮的啮合点C是其速度瞬心。轮心A速度vA的大小为,方向垂直于OA并与O的转向一致。点A加速度的切向分量atA和法向分量anA的大小分别为,齿轮的角速度,角加速度,其中是曲柄的角加速度。,求速度瞬心C的加速度。选轮心A为基点，则点C的加速度为,由上式知与的方向相反，故速度瞬心C的加速度aC大小为,方向沿CA，可见速度瞬心的加速度一般并不等于零。,A,M,C,2,vA,大小方向,其中各加速度的大小和方向为,选轮心A为基点，则M点的加速度为,2,A,M,C,2.求M点的加速度。,把上面矢量式分别投影到x和y轴上，得,大小方向,从而求得M点加速度的大小,且aM对MC的偏角由下式决定,2,A,M,C,8-5运动学综合运用,对于工程中复杂的机构运动，首先要分清各物体的运动形式，分析有关联接点的速度和加速度；,对于有关运动量的计算有两种分析方法，全过程分析法和瞬时分析法；,复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应注意分别分析、综合应用相关理论。,联接点的运动学分析：接触滑动（合成运动）；铰链连接（平面运动）；,对于综合问题常可用“逆向分析，顺向求解”的方法。,综合问题求解时，常遇到某一中间量是其他物理量的矢量运算结果，对这种结果不一定要求出，可将这种关系直接带入后面的运算过程中。,综合1如图所示为一弹簧柱塞式操纵机构。铅直油缸E中通入周期变化的油压，推动推杆BE并带动连杆AD运动。滚轮A只能沿水平固定槽运动。滚轮D可沿柱塞F的平台滚动，同时推动柱塞F沿铅垂方向运动。由于受弹簧的支承，柱塞F沿铅直方向振动。,已知当时，柱塞F向下的速度为vF=1.8ms1，图中各尺寸长度以mm计。试求此时连杆AD的角速度和滚轮A沿水平导槽运动的速度。,连杆AD作平面运动。瞬心为P。可得D点速度的方向，如图,解：,以AD杆的D点为动点，动系与DF杆固连,大小方向,其中：vDe=vF,综合2已知：AB=OB=2r；OE=r，求：此瞬时ED杆的速度和加速度,解：圆轮瞬心为P点,AB杆瞬时平移,取滑块E为动点，动系与OB杆固连,大小方向,取C为基点，研究A点,取A为基点，研究B点,在BA轴投影得,大小方向,大小方向,取滑块E为动点，动系与OB杆固连,在DE轴投影得,大小方向,综合3已知O1B的角速度0，ABC为等边三角形板，边长为a。求：（1）O2C的角速度、角加速度；（2）OD的角速度、角加速度。,解：（1）对机构进行运动分析,（2）三角板的瞬心为E点,（3）取三角板的A点为动点,动系与OD杆固连,大小方向,（4）取B点为基点，研究C点,在BC轴投影得,大小方向,在CO2轴投影得,（5）取B点为基点，研究A点,(6)取A为动点，动系与OD杆固连,大小方向,大小方向,在Ax轴投影得,解:(1)AB杆瞬心为P点,取ED杆上E为动点，动系与AB杆固连,综合4已知:A点匀速,速度为vA=0.2m/s，AB=0.4m,图示瞬时AE=EB，AB与水平夹角为30.求此时:(1)AB杆上的E点速度和滑块E的速度；(2)AB转动的角加速度；(3)ED杆加速度。,大小方向,(2)取A为基点，研究B点,大小方向,(3)取A为基点，研究杆上E点,取ED杆上E为动点，动系与AB杆固连,在Ex轴投影得,大小方向,大小方向,图示平面机构，杆O1B和杆OC的长度均为r，等边三角形板ABC的边长为2r，三个顶点分别与杆O1B、OC及套筒铰接，直角弯杆EDF穿过套筒A，其DF段置于水平槽内。在图示瞬时，杆O1B水平，B、C、O三点在同一铅垂线上；杆OC的角速度为，角加速度为零。试求此瞬时杆EDF的速度和加速度。,解：三角形板ABC作平面运动，杆O1B，OC均作定轴转动，弯杆EDF作平移。,（1）对平面运动的三角形板ABC，由B、C两点的速度方向可以确定其速度瞬心在B点，所以三角形板的角速度为：,以三角形板上的A点为动点，动系固连于弯杆EDF上，根据速度合成定理，有：,三角形板上A点的速度为：,速度合成图如图所示，其中,速度合成图如图所示，其中,故所求弯杆EDF的速度：,（2）加速度分析,以C为基点，分析B点的加速度，有：,三角形板ABC的角加速度,（1）,加速度矢量图如图所示。其中,将（1）式沿水平方向投影，得：,所以，三角形板ABC的角加速度为：,又以C为基点分析A点的加速度，有：,其中：,（1）,(2),方向与图中方向相反。,故弯杆EDF的加速度大小为：,沿水平方向投影上式，得：,以三角形板上的A点为动点，动系固连于弯杆EDF上，根据牵连运动为平动时的加速度合成定理，有：,(3),比较（2）和（3）式，得：,综合5如图所示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与套筒B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,此瞬时点O为BE杆的速度瞬心,以E为基点，B点的加速度为,1.求B点的速度。,2.求B点的加速度。,解：,大小方向,aE=0,沿BE方向投影上式，得,从而求得,应用速度合成定理,于是得杆OA的角速度,3.求OA杆的角速度。,动系固连于OA杆。,滑块B为动点，,（逆时针转向）,大小方向,O,E,B,D,l,l,OA,v,A,故杆OA的角加速度为,将上式投影到与ar垂直的BD线上，得,aC=0,4.求杆OA的角加速度。,应用加速度合成定理,则滑块B的牵连切向加速度为,（顺时针转向）,大小方向,综合6平面机构中，AC杆在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动AB杆沿导套O运动，导套O与杆AC的距离为l。图示瞬时AB杆与AC杆的夹角为，求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,由速度合成定理,由于杆AB在导套O中滑动，因此杆AB与导套O具有相同的角速度及角加速度。其角速度,解法一,解：,1.求AB杆的角速度。,动系固连于导套O。,A点为动点，,其中,从而求得,（逆时针转向）,大小方向,A,C,aa=0,将上式投影到ate方向得,从而求得AB杆的角加速度大小为,2.求AB杆的角加速度。,（逆时针转向）,大小方向,以O点为坐标原点建立如图直角坐标系，,将其两端对时间求导，并注意到,当时得AB杆角速度,角加速度,y,再将其两端对时间求导，得,得,解法二,则A点的x坐标为,综合7如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕O轴转动，滑块B以匀速v=l沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为30o。求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,对作平面运动的AB杆，以B点为基点，有,再用点的合成运动理论分析，,其中,1.求AB杆的角速度。,解：,（1）,（2）,大小方向,大小方向,由上面（1）、（2）两式有,沿vB方向投影（3）式得,故AB杆的角速度,沿vr方向投影（3）式得,（3）,从而求得,（顺时针）,从而求得,对作平面运动的AB杆，以B为基点，有,式中,2.求AB杆的角加速度。,aB=0,同理再用点的复合运动理论分析，,动点、动系的选取与上相同，则有,（4）,（5）,大小方向,大小方向,从而求得AB杆的角加速度为,沿垂直于OC杆的aC方向投影得,因此,由上面（4）、（5）两式有,（逆时针）,aA,vA,求该瞬时槽A