随机过程(3.3)ppt课件

复合泊松过程,本节主要讲述复合泊松过程的有关性质及应用,非齐次泊松过程的定义及性质,本章复习及作业,1,3泊松过程推广,一.复合泊松过程的有关性质及应用,定义设N(t),t0是参数为的Poisson过程,Yk.k=1,2,是一列独立同分布的随机变量,且与N(t),t0独立,称X(t),t0为复合Poisson过程.,2,若将N(t)表示0,t)内的随机点数,Yk表示第k个随机点所携带的某种(能)量,则总量为,即X(t),t0为复合Poisson过程,3,定理1设X(t),t0为复合Poisson过程.则,X(t),t0的一维特征函数为,其中f(u)是Yn(n=1,2,)的特征函数,若,4,5,定理2：设X(t)，t0是复合泊松过程，则X(t)，t0是平稳的独立增量过程.,证明分两步，一证其独立增量性，二证其平稳增量性,证明：独立增量性,6,7,平稳增量性,的特征函数是t-s的函数.,8,例1：求复合泊松过程的相关函数,9,应用复合泊松过程的简单应用,例：某人负责订阅杂志，设前来订阅的顾客是一天内平均到达率为8的泊松过程.他们分别以概率1/2,1/3,和1/6订阅1季度、2季度和3季度的杂志，其选择是相互独立的.每次订阅1季度时，该负责人可得1元手续费.令X(t)表示在0,t)内此人所得的手续费，试求EX(t),DX(t),以及相应的特征函数.,10,例：考虑保险公司的全部赔偿.假设参加人寿保险者不幸死亡的人数N(t)是具有强度为的泊松过程.用Yn描述第n个死亡者（即保险值Yn是独立同分布的）.令X(t)表示0,t)内，保险公司必须付出的全部赔偿.令YnE(a),试求0,t)内保险公司的平均赔偿额，方差和特征函数.,11,二.非齐次泊松过程,12,称计数过程N(t),t0为具有跳跃强度函数(t)的非齐次泊松过程，如果满足(1)N(0)=0;(2)N(t)是独立增量过程;(3),13,14,例某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量为(t)(t=0为早晨5时，t=16为晚上9时)假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两小时内来站乘车人数的数学期望。,15,解12时至14时为t7,9在0,t内到达的乘车人数N(t)服从参数为(t)的非齐次泊松过程12时至14时乘车人数的数学期望为12时至14时有2000人来站乘车的概率为,16,例：设某设备的使用年限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率。,解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数为,则,17,例：两个独立泊松过程的和是非为泊松过程？两个独立泊松过程的差是非为泊松过程？是否是复合泊松过程？,18,例：设0,t内进入某一计数器的质点数为N(t)，N(t),t0是一强度为的泊松过程，再设到达计数器的每一个质点被记录下来的概率为p,Y(t)是0,t内记录下来的质点数.试证Y(t),t0是一复合泊松过程，并求其均值函数和方差函数及P(Y(t)=0),19,20,例设在0,t内事件A已经发生n次，求第k次(kn)事件A发生的时间Tk的条件概率密度函数.解,t,Tk,0,s,Tn,s+h,21,22,令h0，则有,23,（Bata分布）,24,例设X1(t),t0和X2(t),t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记为过程X1(t)的第k次事件到达时间,记为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过程第1次事件发生早的概率。,25,解设的取值为x，的取值为y，,26,则f(x,y)为与的联合概率密度由于X1(t)与X2(t)独立，故,y,x,y=x,D,27,28,例假设乘客按照参数为的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻t启动，试求在0,t内到达火车站的乘客等待时间总和的数学期望,29,30,31,32,例：甲乙两路公共汽车都通过某一车站.两路公共汽车的到达分别独立地服从10分钟一辆（甲），15分钟一辆（乙）的泊松分布.假定车总不会满员，试问：(1)可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其均值.(2)只可乘坐乙路公共汽车的乘客在此车站等车的时候，恰好有两辆甲路公共汽车通过的概率.,33,例（设备的故障率）假定某一设备发生故障的次数服从非齐次泊松过程，下图给出了自购入这个设备t个月后的故障率(t)次/月，这个设备的购买费用为K=21万元，修理费用为C=2万元/回.不考虑利息和经济变动，问时隔几个月更新这设备是最合适的.,1/12,4/12,6,42,48,34,35,例：某一公共汽车站的乘客到达服从平均1分钟1人的泊松过程，公共汽车的运行间隔服从812分钟的均匀分布.试求自某一公共汽车开出此站到另一公共汽车驶入此站所到乘客数的数学期望和方差.,36,37,例：某镇有一小商店，每日8点开始营业，从811时顾客平均到达率线性增加，8时顾客平均到达率为5人/时；11时到达率达到最高峰20人/时；从1113时，顾客平均到达率不变，为20人/时，从1317时，顾客到达率线性下降，17