2018年电大本科《工程数学》期末试题资料三套附答案

20182018 年电大本科工程数学期末试题资料三套附答案年电大本科工程数学期末试题资料三套附答案 工程数学（本）模拟试题工程数学（本）模拟试题 一、一、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分） 是未知参数的一个估计， 且满足E( ) 5 设 为的无偏无偏估计 三、三、 （每小题（每小题 1010 分，共分，共 6060 分）分） 称， 则 0 1 0 则C是(B B)矩阵1已知矩阵方程X AX B，其中A 1 11 ， AnsBsnCmtDtm 1 0 3 2若 X1、X2是线性方程组 AX=B 的解，而1、 2 是方程组 AX 1 1 = O 的解，则（A A）是 AX=B 的解 ，求 X 1212B 2 0 X 1 X 2 B 1 2 A 3333 5 3 CX 1 X 2 DX 1 X 2解：因为解：因为(I A)X B，且，且 1设 A 是mn矩阵，B是st矩阵，且ACB有意义， 3 1 1 ， 1 101 01 3 设矩阵 A 2 则 A 的对应于特征值 2 的 101 0(I AI) 112 一个特征向量=(C C) 1 02 0 1 1 10 A 0 B 0 C 1 D 0 1 1 010 1 1 0 1 0 1111 4. 下列事件运算关系正确的是（A A） 0 0101 A B BA BA B B BA BA CB 0 0 1 101 0 0 0 11 1 1 01 0 0 1 0 12 1 0 1 0 1 0002 1 0 101210 1 0 0101 1 BA BA DB 1 B 5若随机变量 X N(0,1) ，则随机变量 Y 3X 2 （D D） A DN(2,32 即即 (I A)1 N(2,3) B N(4,3) C N(4,32) 0 2 1 1 21 01 1 所所以以) 2 0 211 1 1 3 6 设x1,x2,x3是来自正态总体N(, )的样本， 则 （ C C） 2 0 2 4 X (I A)1B 1 21 是的无偏估计 222 01 1 5 3 3 3 A x 1 x 2 x 3 Bx1 x 2 x 3 555 2 设向量组 1 (1， 2， 4, 1) ， 2 (4， 8， 16, 4) ， 113111 3， 1, 1) ，求这个向量组的秩 ， 1， 5, 2) ， 4 (2， C x 1 x 2 x 3 D x 1 x 2 x 3 3 (3 555555 以及它的一个极大线性无关组 2 7 对给定的正态总体N(, )的一个样本(x 1,x2 ,x n )，解：因为 解：因为 2 未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（B B 2 ） （ A分布Bt 分布C指数分布 D正态分布 2 4 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分分） 1 1 1 1 1 设三阶矩阵 A的行列式A ， 则 A =2 2 2 1 0 2 0 0 0 ， 2若向量组： 1 1 ， 2 3 ，3 0 2 1 k 2 0 能构成 R3一个基，则数 k 2 4 1 3设 A, B 互不相容，且 P(A) 0 ，则 P(B A) 0 0 0 0 00 4 若 随 机 变 量X U0 , 2 ， 则 D(X) 0 01 所以，所以，r r( (1 , 2 3 4 8 16 4 1 3 1 5 2 2 3 4 ）= = 2 3 1 1 43 2 057 07 7 011 3 2 11 0 2 00 , 3 , 4 ) = 3) = 3 它它 的的 一一 个个 极极 大大 线线 性性 无无 关关 组组 是是 2 , 3 , 4 ） 3用 2 1 1 , 3 , 4 二次 （ 或或 解：已知解：已知 因为因为 3， ，n n = 64 = 64，且，且u = 21= 21，u 1 2 x n N(0 ,1) 配 2 2 方 2 3 法将型 x1.96 ，且，且 f (x 1 , x 2 , x 3 ) x 5x 3x 4x 1x2 2x 1x3 2x 2 x 3 化为标准型，并求出所作的满秩变换 解解 2 1 2 2 2 3 ： u 2 1 f (x 1 , x 2 , x 3 ) x 5x 3x 4x 1x2 2x 1x3 2x 2 x 3 22 (x 1 2x 2 x 3 )2 x 2 2x 3 2x 2 x 3 n 1.96 3 64 0.735 所以，置信度为所以，置信度为 95%95%的的的置信区间为：的置信区间为： x u 2 2 (x 1 2x 2 x 3 )2(x 2 x 3 )2 x 3 1 n , x u 2 1 n 20.265, 21.735 令令 四、证明题（本题四、证明题（本题 4 4 分）分） 3 设 A 是 n 阶矩阵， 若A= 0， 则(I A)1 I A A2 y 1 x 1 2x 2 x 3 , 即得即得 2y 3 x 3 证明：因为证明：因为 (I A)(I A A ) 22 = =I A A2 A A2 A3 f (x 1 , x 2 , x 3 ) y 1 2 y 2 y 3 y 2 x 2 x 3 , x 1 y 1 2y 2 3y 3 由（由（* *）式解出）式解出x1, x2, x3，即得，即得x2 y 2 y 3 x y 3 3 或写成或写成 = =I 所以所以 A3= =I (I A)1 I A A2 x 1 1 23y 1 x 01 y 1 2 2 1 x3 0 0 y3 工程数学（本）模拟试题工程数学（本）模拟试题 一、一、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分） 1 设A,B都是n阶矩阵(n A.若 4罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子若从中任 取 3 颗，求： （1）取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （2）取 到 3 颗棋子颜色相同的概率 ，A2= =“取到的都“取到的都 A 1 = =“取到“取到 3 3 颗棋子中至少有一颗黑子”颗棋子中至少有一颗黑子” 是白子”是白子” ，A3= = “取到的都是黑子”“取到的都是黑子” ， B B = = “取到“取到 3 3 颗棋子颜色相同”颗棋子颜色相同” ， 解：设解：设 则则 （1 1）P(A 1 ) AB AC ， 且 (A B)2 A2 2AB B2 C. (A B) B A D. AB 0 ， 且 1) ， 则下列命题正确的是 （D D） A 0 ， 则 B C B. A 0，则B 0 1 P(A 1 ) 1 P(A 2 ) 3C 81 3 10.255 0.745 C 12 （2 2）P(B) P(A2 A 3 ) P(A 2 ) P(A 3 ) 2在下列所指明的各向量组中， （B B ）中的向量组是线性无关 的 A. 向量组中含有零向量 B. 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出 C. 存在一个向量可以被其余的向量线性表出 D. 向量组的向量个数大于向量的维数 3C 40.255 3 0.2550.018 0.273 C 12 3 1 1 ， 01 3 设矩阵 A 2 则 A 的对应于特征值 2 的 1 1 2 一个特征向量=(C C) 5设随机变量 X N（3，4） 求： （1）P（1 X 7） ； （2）使 P（X a）=0.9 成立的常数 a ( (1.0) 0.8413 ， (1.28) 0.9 ，(2.0) 0.9973) 13X 37 3 ) 解：解： （1 1）P P（11 X X 7 7）= =P( 222 4. 甲、乙二人射击，分别表示甲、乙射中目标，则AB X 3 2) = =(2) (1) 表示（ = =P(1 A A）的事件 2 A. 至少有一人没射中B. 二人都没射中 = 0.9973 + 0.8413= 0.9973 + 0.8413 1 = 0.83861 = 0.8386 （2 2）因为因为 P P（X X a a）= =P( 所以所以 1 1 10 A 0 B 0 C 1 D 0 1 1 0 1 X 3a 3a 3 )= =()= 0.9 = 0.9 222 C. 至少有一人射中D. 两人都射中 5设X A. N(0,1) ，(x)是X的分布函数，则下列式子不 成立的是（C C） a 3 1.28， ，a a = 3 + = 3 + 21.28 = 5.56= 5.56 2 6从正态总体N（，9）中抽取容量为64 的样本，计算样本 均值得x= 21，求的置信度为 95%的置信区间(已知 u 0.975 1.96) (0) 0.5 (x) (x) 1 C. (a) (a) B. D. P(x a) 2(a)1 6 设x1,x2,x3是来自正态总体的样本， 则（D D ） 是 无偏估计 222 x 2 x 3 B. x 1 x 2 x 3 555 111113 C. x 1 x 2 x 3 D. x 1 x 2 x 3 555555 2 7对正态总体N(, ) 的假设检验问题中，U检验解决的 A. x 1 问题是（A A） A. 已知方差，检验均值B. 未知方差，检验均值 C. 已知均值，检验方差D. 未知均值，检验方差 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分分） 1设 4 31 200 815 5 0 50 10 155 A1B 5 31 4 1 6 0 0 5 1220 5 2线性方程组的增广矩阵为 1 15 1 1 1 23 1 312 1 求此线性方程组的全部解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 A是 2 阶矩阵，且A 9，3(A1) 1 1 2已知齐次线性方程组AX 组有非零解，则r(A) 3 0.70.7 0 中 A为35 矩阵，且该方程 ， 则 3 3 P(A) 0.5, P(BA) 0.2 X P(A B) 4 若 连 续 型 随 机 变 量的 密 度 函 数 的 是 2x, 0 x 1 2 ，则E(X) f (x) 3 其它0, 和 满足D( ) D( ) ，5 若参数的两个无偏估计量1 212 比 更有效有效则称2 1 1 15 11 2 1 312 1 0 0 1 1 15 1 0 2723 1 0 27 2 15 1 272 00 0 1 15 1 7 0 11 2 0 000 三、计算题（每小题三、计算题（每小题 1010 分，共分，共 6060 分）分） 1 1 0 2 0 0 , B 0 50 ，问：A 21 1设矩阵 A 1 2 3 2 0 0 5 1 是否可逆？若 A 可逆，求A B 解：因为解：因为 31 0 2 7 01 2 0 00 2 1 0 此时齐次方程组化为此时齐次方程组化为 110 2 23 1 2 00 43 A 1 2 1 111 3 4 1 所以所以 A A 可逆。利用初等行变换求可逆。利用初等行变换求 A1，即 ，即 1 1010 0 1 1010 0 1 21010 0 11110 2300 1 2 0 43 20 1 1 101 0 0 1 1 010 0 010 5 31 011110 0 01 6 4 1 0 0164 1 1 00 43 1 1 01053 4 1 0 016 4 3 1 11 即即 A 53 4 1 6 由矩阵乘法得由矩阵乘法得 3x x 3 1 2 ， （其中（其中 x x3 3为自由未知量）为自由未知量）. . 7 x x 23 2 分别令分别令x3 1，得齐次方程组的一个基础解系 ，得齐次方程组的一个基础解系 37 1X X 1 22 令令x3 0 ，得非齐次方程组的一个特解，得非齐次方程组的一个特解 X X 0 210 由此得原方程组的全部解为由此得原方程组的全部解为 3 X X X X 0 k X X 1 用配 （其中（其中k为任意常数）为任意常数） 法将二次型方 22f (x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 1 2 x 2 4x 3 2x 1x2 4x 2 x 3 化为标准 型，并求出所作的满秩变换 解：解： 22f (x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 1 2 x 2 4x 3 2x 1x2 4x 2 x 3 2(x 1 2(x 1 11 22x 2 )2x 2 4x 3 4x 2 x 3 22 11 2x 2 )2(x 2 4x 3 )2 4x 3 22 令令 即得即得 1 y 1 x 1 x 2 , 2 y 2 x 2 4x 3 ,y 3 x 3 取对数得取对数得 lnL nln 1 x i1 n n i 1 22 dlnLn1 y 2 y 3求导得求导得 2 x i 2 d i1 1x y y 2 2y 31令令得得的最大似然估值的最大似然估值 1 2 n 由（由（* *）式解出）式解出x1, x2, x3，即得，即得x2 y 2 4y 3 1 x i x y 33 n i1 四、证明题（本题四、证明题（本题 4 4 分）分） 1 设 A, B 是随机事件，试证： 2 y 1 x 1 1 2 y P(A B) P(AB) P(AB) P(AB) 或写成或写成 x 2 01 4 2 证明：由事件的运算得证明：由事件的运算得 A B A AB ， 1 x3 0 0 y3 A 与与 AB 互互斥斥，由由加加法法公公式式得得且且 4两台车床加工同样的零件， 第一台废品率是 1，第二台废P(A B) P(A) P(AB)， ， 品率是 2，加工出来的零件放在一起。 已知第一台加工的零件是第 又有又有 A AB AB ，且，且 AB 与与AB互斥，由加法公式得互斥，由加法公式得 二台加工的零件的 3 倍,求任意取出的零件是合格品的概率 解：设解：设 A i ： “是第“是第i台车床加工的零件”台车床加工的零件” (i 1, 2)， ，： “零件“零件 P(A) P(AB) P(AB) 是合格品”是合格品”. .由全概公式有由全概公式有 综合而得综合而得P(A B) P(AB) P(AB) P(AB)，证毕，证毕 f (x 1 , x 2 , x 3 ) 2y 1 2 显显 然然， 工程数学（本）模拟试题工程数学（本）模拟试题 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分） 1设 (A) 3 P(A 1 ) 4 ， 1 P(A 2 ) 4 ， P(B A 1) 0.99 A A, B B 为n阶矩阵，则下列等式成立的是（A A） ，故，故 ABAB BABA (B) A A B B A A B B (C)(D)31 P(B) 0.99 0.98 0.9875 44 5 设 X N(3, 4) ， 试 求 P(5 X 9) P(X 7) （已知(1) 0.8413, (2) 0.9772, (3) 0.9987 ） 解解： ； (A A B B)1 A A1 B B1 (ABAB)1 A A1B B1 1 2 3 1 2向量组 0 , 2 , 3 , 2 的秩是（C C） 0 0 3 3 (A) (C) 53X 393X 3 P(5 X 9) P() P(1 3) 2222 (3) (1) 0.9987 0.8413 0.1574 X 37 3 ) P(X 7) P( 22 X 3X 3 2) 1 P( 2) P( 22 1(2) 10.9772 0.0228 6设来自指数分布 x1 e, f (x,) 0, 1 (B) 2 3 (D) 4 3设A A是阶方阵，当条件（B B）成立时，元线性方程组 AXAX b b 有惟一解 (A) r(A A) n (B) r(A A) n (C) A A 0 (D) b b 0 0 为随机事件，下列等式成立的是（B B） (B)(A) 4设 P(AB) P(A)P(AB) P(A) P(AB) P(A B) (C) x 0 x 0 ， P(AB) P(A)P(B) P(AB) P(A)P(B) (D) 5随机事件 (A) (C) 互斥的充分必要条件是（C C） 其中是未知参数，求的最大似然估计值 解：答案解：答案: : 解：解： 似然函数为似然函数为 1 1 x i i1 e,x 0 n 0, x 0 n A B (B) A B A B A (D) P(AB) 0 6 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是 （A A） (A)(B) sin x, 0 x f (x) 其它0, cosx, x f (x) 2 其它0, (C) 满 足 (D) 7 设 总 体 ，其中 ， 又 是来自总体的个 样品，则等式（B B）成立 (A)E(X) (C)D(X) n (B)E(X) 2 即即 (A AA A)1 2 n2 * (D)D(X) 2 0 1 0 11 1 1 2 2在线性方程组 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1 3 1 0 1 2 0 2 3 2 若是 A A 的特征值， 则是方程 I IA A 0 的 x 1 2x 2 3x 3 3 x1 x 2 2x 3x 5x 1 23 1 中取何值时， 此方程组有解 有解的情况下写出方程组的一般解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 根 3已知 P(A) 0.9, P(AB) 0.5 X ，则 P(A B) f (x) ， 则 0.4 4 设 连 续 型 随 机 变 量的 密 度 函 数 是 1 23 1 23 1 103 0 3 33 1 235 0 11 1 2 P(a X b) b a f (x)dx 5统计量就是不含未知参数不含未知参数的样本函数 三、计算题（每小题 10 分，共 60 分） 1 01 2 1 23 0 11 0 1111 0 002 2 0 002 2 由此可知当由此可知当 1时方程组无解，当 时方程组无解，当 程组的一般解为程组的一般解为 3 1 0 0 ，求 ) 111 1设矩阵 A A 1(A AA A 1 0 1 解：由矩阵乘法和转置运算得解：由矩阵乘法和转置运算得 1时方程组有解此时方 时方程组有解此时方 x 1 x 3 1 x x 1 3 2 用配方法将二次型 1 1 1 00 11 1 1 0 1 1 A AA A 11103 2 1 0 1 0 1 1 1 2 2 利用初等行变换得利用初等行变换得 22f (x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 2x 1x2 4x 1x3 2x 2 2x 2 x 3 6x 3 化为标准型，并求出所作的满秩变换 解：解： 22f (x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 22x 1x2 4x 1x3 2x 2 2x 2 x 3 6x 3 22(x 1 2x 2 4x 3 22x 1x2 4x 1x3 4x 2x3)(x2 6x 2x3 9x 3 2)7x 3 2 令令 2 (x 1 x 2 2x 3 )2(x 2 3x 3 )27x 3 y 1 x 1 x 2 2x 3 ,y 2 x 2 3x 3 ,y 3 x 3 1 1110 111 01 222 0 1 110 0 1 1 1100 111 00 1 0 222 1 111 0 01 222 即得即得 22f (x 1 , x 2 , x 3 ) y 1 2 y 2 7y 3 由式解出由式解出x1, x2, x3，即得，即得 x 1 y 1 y 2 5y 3 x2 y 2 3y 3 x y 3 3 或写成或写成 x 1 1 15 y 1 x 013y 2 2 1 x3 0 0 y3 即即 整理得整理得 由定义可由定义可 A A1AxAx IxIx x x A A1x x A A1x x A A