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自动控制原理,第四章控制系统的根轨迹分析法,4.1根轨迹的基本概念,4.1根轨迹的基本概念,一、问题的提出,在前一章控制系统的时域分析的讨论中已经知道，只要能求得系统微分方程的特征方程式的根即系统闭环传递函数的极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。但是在高阶系统中，求解特征根的根是一件很困难的事，在实际工作中难以应用。另外，在分析或设计系统时，经常要研究一个或几个参量在一定范围内变化时，对闭环极点的位置以及系统性能的影响。特别当系统某一参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。1948年伊文思（Evans）根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法。,4.1根轨迹的基本概念,二、根轨迹的概念,根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。,例已知系统的结构图如下图所示，请绘出K由0时的根轨迹。,4.1根轨迹的基本概念,解：闭环传递函数为：,系统特征方程为：,解得特征根为：,Kg取值不同时，特征根为：,4.1根轨迹的基本概念,j,-2,-4,0,-2,-4,4,2,Kg=0,Kg=4,Kg=8,Kg=,特征根在S平面的分布为：,当Kg连续变化，特征根也会连续变化，在S平面为两条连续变化的轨迹线。,4.1根轨迹的基本概念,由根轨迹图，便可对系统各种性能进行分析：,（1）稳定性开环增益Kg从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半S平面，因此系统对所有的Kg值都是稳定的。,（2）稳态特性开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于一型系统。因此根轨迹上的Kg值就是静态速度误差系数。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。,4.1根轨迹的基本概念,（3）动态特性由图中可见，当04时，闭环极点为复极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震荡过程，且超调量将会随Kg值的增大而加大。系统动态响应的基本特征是由闭环极点的位置决定的。,4.1根轨迹的基本概念,工程上定义：（1）当0Kg+=时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。（2）当Kg0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。（3）当Kg+时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。,4.1根轨迹的基本概念,根轨迹的特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根，简便、直观，只要对根轨迹进行观察，就可看出系统响应的主要特征。当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。,4.1根轨迹的基本概念,一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递函数增益Kg（也称为根轨迹增益）。,Kg常规根轨迹（狭义根轨迹）；Kg以外的参数参量根轨迹（广义根轨迹）。,以上二阶系统的根轨迹是直接对特征方程求解后得到的（解析法
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