《拉格朗日插值法和孙子定理》课件.ppt

拉格朗日插值法和孙子定理,1问题的提出函数y=f(x)1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，,3）列表函数,问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。插值问题,已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0xn处测得函数值y0=f(x0),yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是?,多项式,p(x)f(x),1.1Taylor插值函数y=f(x)在点x0处展开有Taylor多项式:,可见:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,n因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).Taylor展开方法就是一种插值方法.泰勒插值要求提供f(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于f(x)相当简单的情况.,设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)，求作n次多项式pn(x)使得pn(xi)=yi(i=0,1,2,n)函数pn(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间a,b称为插值区间。pn(xi)=yi称为插值条件。构造的n次多项式可表示为:Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,1.2Lagrange插值,证明：(利用Vandermonde行列式论证),这是一个关于a0,a1,an的n+1元线性方程组,其系数行列式:,由于ij时,xixj,因此,即方程组有唯一解.,2拉格朗日插值公式,n=1,可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。,称为拉氏基函数,直线方程的两点式：,线性插值,抛物插值,l0(x),l1(x),l2(x),n1,N次拉格朗日插值多项式,与有关，而与无关,节点,f,n次多项式,插值余项/*Remainder*/,用简单的插值函数Ln(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.,拉格朗日余项定理,注：通常不能确定,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。,当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。,解：,n=1,分别利用x0,x1以及x1,x2计算,利用,这里,而,sin50=0.7660444,外推/*extrapolation*/的实际误差0.01001,利用,内插/*interpolation*/的实际误差0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。,n=2,sin50=0.7660444,2次插值的实际误差0.00061,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环,如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。,牛顿插值法将讨论该问题。,例：已知数据表,试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数),解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值先作插值基函数已知x0=11,y0=2.3979，x1=12,y0=2.4849，x2