专题13直线与圆—三年高考(2015-2017的)数学(文)真题汇编.doc

一、选择题 1. 【2014 高考北京文第7 题】 已知圆C :x3 y41和两点Am,0， 22 Bm,0m 0， 若圆C上存在点P， 使得APB 90o， 则m 的最大值为 （） A.7B.6C.5D.4 【答案】B 考点：本小题主要考查两圆的位置关系， 考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能 力. 2. 【2015 高考北京，文 2】圆心为1,1且过原点的圆的方程是（） Ax1 y11 Bx1y11 Cx1 y1 2 Dx1y1 2 【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为r D. 【考点定位】圆的标准方程. 【名师点晴】 本题主要考查的是圆的标准方程， 属于容易题 解题时一定要抓住重要字眼 “过 原点” ，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心a,b， 半径为r的圆的标准方程是xa yb r 2 22 2222 2222 2，则圆的标准方程为x1y1 2，故选 22 3. 【 2014 湖南文 6】 若圆C 1 :x y 1与圆C 2 :x y 6x8ym 0相外切， 则m （） 2222 A.21B.19C.9D.11 【答案】C 【解析】因为x y 6x8ym 0x3 y4 25m,所以25m 0 22 22 m 25且圆C2的圆心为3,4,半径为25m,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于 半径和)可得 30 40 22 125m m 9,故选 C. 【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断 【名师点睛】 本题主要考查了圆与圆的位置关系， 解决问题的关键是根据条件得到圆的半径 及圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可. 4. 【2014 全国 2，文 12】设点M x 0,1 ，若在圆 O:x +y 1上存在点N ，使得 22 OMN 45，则x 0的取值范围是（ ） 22 1 1 ,（A）1,1（B）, （C） 2, 2 （D） 222 2 【答案】A 【考点定位】直线与圆的位置关系 【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系， 属于中档题，直线与直线设出角的求法， 数形 结合是快速解得本题的策略之一 5. 【2014 四川，9 文】设 交于点 A、 【答案】B 【解析】 B、 ，过定点 ，则 的动直线和过定点的动直线 的取值范围是（） C、D、 试题分析：易得.设，则消去得：，所以点 P ， 令在 以AB为 直 径 的 圆 上 ， 所 以 | PA| 10sin,| PB| 10cos，则 | PA| PB|10sin 10cos 2 5sin(). 因 为| PA| 0,| PB | 0， 所 以 4 0 2 .所以 2 sin() 1，10 | PA| PB| 2 5.选 B. 24 ，点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以 以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换. 【名师点睛】在几何意义上表示P点到与的距离之和， 解题的关键是找P ，这样就转化为函数点的轨迹和轨迹方程；也可以使用代数方法，首先表示出 求最值问题了. 6. 【2015 高考四川，文 10】设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x5)2 y2r2(r0)相切于点 M，且M 为线段 AB 中点，若这样的直线l 恰有 4 条，则r 的取值范 围是() (A)(1，3)(B)(1，4)(C)(2，3)(D)(2，4) 【答案】D 当 t0 时，若 r5，满足条件的直线只有1 条，不合题意， 若 0r5，则斜率不存在的直线有 2 条，此时只需对应非零的t 的直线恰有 2 条即可. 当 t0 时，将 m32t2代入16t216m，可得 3t20，即 0t23 又由圆心到直线的距离等于半径， 可得 dr |5m| 1t2 22t2 1t2 2 1t2 由 0t23，可得 r(2，4).选 D 【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、 直线与抛物线的位置 关系、参数取值范围等综合问题， 考查数形结合和分类与整合的思想， 考查学生分析问题和 处理问题的能力. 【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可 能不存在，故将直线方程设为 xtym，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对 r 的 讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在 (t 0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的 r 取 值范围即可.属于难题. 7.【2014 年.浙江卷.文 5】已知圆x y 2x2ya 0截直线x y 2 0所得弦的 长度为 4，则实数a的值为（） A.2 B. 4 C.6 D.8 【答案】B 22 考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题. 【名师点睛】 本题主要考查直线与圆相交的弦长问题， 解决问题的关键点在讨论有关直线与 圆的相交弦问题时， 如能充分利用好平面几何中的垂径定理， 并在相应的直角三角形中计算， 往往能事半功倍 8. 【2014，安徽文6】过点P( 角的取值范围是（） A.（0， B.（0， C.0， D.0， 3,1)的直线l与圆x2 y21有公共点，则直线l的倾斜 6363 【答案】D 【解析】 试题分析：如下图，要使过点P的直线l与圆有公共点，则直线l在PA与PB之间，因为 1 sin ， 所以 ， 则AOB 2 ， 所以直线l的倾斜角的取值范围为0， . 3263 故选 D. 考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题. 【名师点睛】研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半弦长 l 、弦心距d和 2 半径长r之间形成的数量关系为( )2d2 r2.但在具体做题过程中， 常利用数形结合的方 程进行求解，通过图形会很快了解具体的量的关系.另外，直线的倾斜角和斜率之间的关系 也是重要考点， 告知斜率的范围要能求出倾斜角的范围， 反之一样.当 90o，斜率不存在. 9. 【2015 高考安徽，文 8】直线 3x+4y=b 与圆x y 2x2y1 0相切，则 b=（） （A）-2 或 12（B）2 或-12（C）-2 或-12（D）2 或 12 【答案】D 22 l 2 【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径， 直线与圆的位置关系， 以 及点到直线的距离公式的应用. 【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时， 有两种方法；方法一是代数法： 将直线方 程与圆的方程联立， 消元， 得到关于x（或y） 的一元二次方程， 通过判断 0; 0; 0 来确定直线与圆的位置关系； 方法二是几何法： 主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心 到直线的距离d，然后再将d与圆的半径r进行判断，若d r则相离；若d r则相切； 若d r则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力. 12.【2014 上海,文 18】 已知P 1(a1,b1) 与P 2 (a 2 ,b 2 )是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同 的点，则关于 x 和 y 的方程组 a 1xb1 y 1 的解的情况是（） a2xb2y 1 （A）无论 k，P 1,P2 如何，总是无解（B)无论 k，P 1,P2 如何，总有唯一解 （C）存在 k，P 1,P2 ，使之恰有两解（D）存在 k，P 1,P2 ，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】由题意，直线y kx1一定不过原点O，P,Q是直线y kx1上不同的两点， ruuu ruuu a 1xb1 y 1 则OP与OQ不平行，因此a 1b2 a 2b1 0，所以二元一次方程组 一定有唯 a xb y 1 22 一解选 B. 【考点】向量的平行与二元一次方程组的解 【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元 一次方程组： axby c 当 a/db/e 时，该方程组有一组解。 dxey f , 当 a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。 当 a/d=b/ec/f 时，该方程组无解。 13. 【2014 福建,文 6】已知直线l过圆x y3 4的圆心，且与直线x y 1 0垂 2 2 直，则l的方程是（） A.x y 2 0 【答案】D B.x y 2 0C.x y 3 0D.x y 3 0 考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程. 【名师点睛】本题主要考查直线方程与圆的方程及运算能力.直线与圆的位置关系在高考中 常以客观题形式出现，本题中用到的垂直结论是：若直线 l 1,l2的斜率分别为 k 1,k2，则 l 1 l 2 k 1k2 1 . 14. 【2015 湖南文 9】已知点 A,B,C 在圆x y 1上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标 22 uuu ruuu ruuu r 为（2，0） ，则PA PB PC的最大值为() A、6B、7C、8D、9 【答案】B uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 【解析】由题意，AC 为直径，所以PA PB PC 2PO PB 4 PB 43 7, uuu ruuu ruuu r 当且仅当点 B 为（-1，0）时，PA PB PC取得最大值 7，故选 B. 【考点定位】直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想 . 由 平面几何知识知， 圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取 到圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键. 15. 【2015 新课标 2 文 7】已知三点A(1,0),B(0, 3),C(2,3),则ABC外接圆的圆心到 原点的距离为（） 212 554 C.D.A.B. 3333 【答案】B 【考点定位】本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式. 【名师点睛】解决本题的关键是求出圆心坐标,本题解法中巧妙利用了圆的一个几何性质： 圆的弦的垂直平分线一定过圆心,注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆 l r2 d2 2 在求圆的方程时常常用的半径 r、弦长 l、圆心到弦的距离 d 之间的关系： 到. 二、填空题 2 1. 【2015 高考湖南，文 13】若直线3x4y 5 0与圆x y r 点，且AOB 120o（O 为坐标原点） ，则r=_. 【答案】 222r 0相交于 A,B 两 【解析】 如图直线3x4y 5 0与圆x y r（r0）交于 A、 B 两点， O 为坐标原点， 且AOB 120o， 则 圆 心 （ 0 ， 0 ） 到 直 线3x4y 5 0的 距 离 为 222 1 r， 2 5 3242 1 r， r=2 .故答案为 2. 2 【考点定位】直线与圆的位置关系 【名师点睛】 涉及圆的弦长的常用方法为几何法： 设圆的半径为r， 弦心距为d， 弦长为l， 则( )2 r2d2.本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再 根据点到直线距离公式列等量关系. 2.【20142014 山东山东. .文文 1414】 圆心在直线x2y 0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴 所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为 . 【答案】(x2) (y1) 4 22 l 2 考点：圆的方程，直线与圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长问题.此类问题的基本解法有 “几何法”和 “代数法” ，涉及切线、弦长问题，往往利用圆心到直线的距离建方程求解. 本题是一道能力题， 在考查查直线与圆的位置关系等基础知识的同时， 考查考生的计算能力、 逻辑思维能力及数形结合思想.是一道常见题型，故考生易于正确解答. 3. 【2014 高考重庆文第 14 题】已知直线x y a 0与圆心为C的圆 x2 y22x4y4 0相交于A， B两点，且AC BC，则实数a的值为_. 【答案】0 或 6 【解析】 2，半径 试题分析：圆C的标准方程为： x1 y29,所以圆C的圆心在-1， r 3 又直线x y a 0与圆C交于A,B两点， 且AC BC,所以圆心C到直线x y a 0 的距离d 22 12a3 23 2 .所以，整理得：a3 3解得：a 0或a 6. 2 2 22 1 1 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式. 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式， 本题属于基础题，注 意仔细分析题目条件，将垂直条件等价转化为圆心到直线的距离是非常关键的. 4. 【2015 高考重庆，文 12】若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的 切线方程为_. 【答案】x2y 5 0 【考点定位】圆的切线. 【名师点睛】 本题考查复数的概念和运算， 采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解 求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. 5.【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】 已知圆O:x y 1和点A(2,0)， 若定点B(b,0)(b 2)和常数满足：对圆O上那个任意一点M，都有| MB | MA|， 则: （1）b ； 22 （2） . 【答案】 （1） 【解析】 试题分析：设M(x, y)，因为| MB | MA|， 所以(xb) y (x2) y ， 整理得( 1)x (1)y (42b)xb 4 0， 2222222 22222 11 ； （2） 22 422b42b2 x 2 0， 配方得x y 211 22 因为对圆O上那个任意一点M，都有| MB | MA|成立， 1 4 22b 0 b 22 2 或 b 8 （舍去）.所以4 b ，解得 1 1 2 2 1 2 1b 2 .故 1 2 考点：圆的性质，两点间的距离公式，二元二次方程组的解法，难度中等. 【名师点睛】以圆的方程为载体，重点考查含参数方程的恒成立问题， 其解题的关键是正确 地使用两点间的距离公式计算线段的长度，准确把握恒成立问题所需条件.充分体现了方程 思想在数学问题中的重要性，能较好的考查学生基础知识的识记能力、综合运用能力. 6. 【2015 高考湖北，文16】如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两 点 A，B（B 在 A 的上方） ，且AB 2. （）圆C的标准方程为_； （）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_. 【答案】（）(x1)2(y 2)2 2；（）12. d k 2 2 1 k 12 2，解之得k 1.即 圆C在点B处的切线方程为y x( 2 1)，于 是令y 0可得 即圆C在点B处的切线在x轴x 2 1， 上的截距为12，故应填 (x1)2(y 2)2 2和12. 【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题. 【名师点睛】 将圆的标准方程、 圆的切线方程与弦长问题联系起来， 注重实际问题的特殊性， 合理的挖掘问题的实质， 充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系， 渗透着方程的数学 思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标. 7.【2017 江苏，13】在平面直角坐标系 若 【答案】 则点 中,点在圆上, 的横坐标的取值范围是. 【考点】直线与圆，线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、 分界线是实 线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义， 是求横坐标或纵坐标、直线的截距、 两点间距 离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、 值域范围. 三、解答题 1. 【2015 高考广东，文20】 （本小题满分14 分）已知过原点的动直线l与圆C1: x2 y26x5 0相交于不同的两点， （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹C的方程； （3） 是否存在实数k， 使得直线L:y kx4与曲线C只有一个交点？若存在， 求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由 2 52 5 3 9 5 2 k 【答案】 （1）3,0 ； （2） x y x 3； （3）存在， 77243 或k 2 3 4 【解析】 试题分析： （1）将圆C1的方程化为标准方程可得圆C1的圆心坐标； （2）先设线段的中 点的坐标和直线l的方程， 再由圆的性质可得点满足的方程， 进而利用动直线l与圆C1 相交可得x0的取值范围，即可得线段的中点的轨迹C的方程； （3）先说明直线L的 方程和曲线C的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:y kx4与曲线C只有一 个交点时，k的取值范围，进而可得存在实数k，使得直线L:y kx4与曲线C只有 一个交点 试题解析： （1）圆C1:x y 6x5 0化为x3 y 4，所以圆C 1 的圆心坐标为 222 2 3,0 （2）设线段AB的中点(x0, y0)，由圆的性质可得C1垂直于直线l. 设直线l的方程为y mx（易知直线l的斜率存在） ，所以kC 1 m 1，y 0 mx 0 ， y 0 y 3 9 222 所以 0 1，所以x 0 3x 0 y 0 0，即 x 0 y 0 . 24x 0 3 x 0 因为动直线l与圆C 1相交，所以 2 3m m21 2，所以m2 4 . 5 所以y0 m2x0 22 4 2 4 2 5 2 x 0 ，所以3x0 x0x0，解得x0或x0 0，又因为 553 5 0 x 0 3，所以 x 0 3. 3 3 9 5 2 所以M(x0, y0)满足 x 0 y 0 x0 3 243 3 9 2 即的轨迹C的方程为 x y 24 2 2 5 x 3. 3 （3）由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线. 2 3 9 5 2 结合图形， x y x 3表示的是一段关于 x轴对称，起点为 24 3 5 2 5 5 2 5 , 按逆时针方向运动到 , 的圆弧.根据对称性， 只需讨论在x轴对称下方 3 3 33 5 2 5 ，则kPT的圆弧.设P , 33 3k 4k 2 k21 2 5 2 5 3 ，而当直线L与轨迹C相切时， 5 7 4 3 2 53333 ，所以k k.，解得k .在这里暂取k ，因为 27444 结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当0 k 2 53 或k 时，直线L与x轴 74 2 53 k 0或k 时，直 74 对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当 线L与x轴对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述，当 个交点. 2 52 53 k 或k 时，直线L:y kx4与曲线C只有一 774 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系. 【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系， 属于难题解题时一 定要注意关键条件“直线l与圆C1相交于不同的两点，” ，否则很容易出现错误解本 题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆 D x2 y2DxyF 0的圆心, ，直线与圆相交 d r（d是圆心到直线 22 的距离） ，直线与圆相切d r（d是圆心到直线的距离） 2. 【2015 高考新课标 1，文 20】 （本小题满分 12 分）已知过点A1,0且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：x2 y31交于 M，N 两点. （I）求 k 的取值范围； 22 uuuu r uuu r （II）OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求MN. 骣 4-7 4+ 7 【答案】 （I）琪（II）2 琪 3 , 3 桫 【解析】 试题分析： （I）设出直线 l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式， 即可求出 k 的取值范围； （II ）设M (x 1,y1), N (x2 ,y 2 )，将直线 l方程代入圆的方程化为关 于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将x 1x2 ,y 1 y 2 用 k 表示出来，利用平面向量数量积的坐 uuuu r uuu r 标公式及OM ON12列出关于 k方程，解出 k，即可求出|MN|. 试题解析： （I）由题设，可知直线 l的方程为y = kx+1. 因为 l与 C 交于两点，所以 |2k-3+1| 1+k2 1. 解得 4- 3 7 k 4+7 .