上海市黄浦区2016届高三上学期期末调研测试 数学(理)试题带答案

黄浦区 2015 学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（理科） 2016 年 1 月 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的 位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效； 2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 5656 分）本大题共有分）本大题共有 1414 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内题，考生应在答题卷的相应编号的空格内 直直 接填写结果，每题填对得接填写结果，每题填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1不等式| x 1|1的解集用区间表示为(0,2) 2函数y cos2xsin2x的最小正周期是 3直线 xy 3的一个方向向量可以是(2,1) 2 1 4若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为32 5若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 6若函数y a sin x在区间,2上有且只有一个零点，则a 1 7 若 函 数f (x) x21a x2为 偶 函 数 且 非 奇 函 数 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 为(1,) 8若对任意不等于1的正数a，函数f (x) ax2的反函数的图像都过点P，则点P的坐标 是(1,2) 9在(a b)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值 为 （结果用数字作答） 70 10 在ABC中， 若cos(A 2C B)sin(B C A) 2， 且AB 2， 则BC 2 2 11为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么 1 2 2 5 222 12已知k Z Z，若曲线x y k与曲线xy k无交点，则k 1 13已知点M(m,0)（m 0）和抛物线C：y2 4x，过C的焦点F的直线与C交于A、 11 B两点，若AF 2FB，且|MF |MA|，则m 2 选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示） bc c ab，c满足a 2b3c 0，14 若非零向量a，且ab ， 则b与c的夹角为 4 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 15已知复数z， “z z 0”是“z为纯虚数”的 答 (B ) A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 16已知xR R，下列不等式中正确的是 答 (C ) 11 2x3x 11 C 2 2x 1x 2 A b满足的条件分别为 答 ( A ) 11 x2 x1x2 x1 11 2 D 2| x|x 1 B 17已知P为直线y kx b上一动点，若点P与原点均在直线x y 2 0的同侧，则k 、 Ak 1，b 2 Ck 1，b 2 Bk 1，b 2 Dk 1，b 2 18已知a 1，a2 ，a 3 ，a 4 是各项均为正数的等差数列， 其公差d大于零若线段l 1 ，l 2 ，l 3 ， l 4 的长分别为a 1， a 2 ，a 3 ，a 4 ，则 答 (C ) A对任意的d，均存在以l 1 ，l 2 ，l 3 为三边的三角形 B对任意的d，均不存在以l 1 ，l 2 ，l 3 为三边的三角形 C对任意的d，均存在以l 2 ，l 3 ，l 4 为三边的三角形 D对任意的d，均不存在以l 2 ，l 3 ，l 4 为三边的三角形 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分7474 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 1919 （本题满分（本题满分 1212 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分 已知三棱柱ABC ABC的底面为直角三角形， 两条直角边AC和BC的长分别为 4 和 3，侧棱 AA 的长为 10 （1）若侧棱 AA 垂直于底面，求该三棱柱的表面积 （2）若侧棱 AA 与底面所成的角为60，求该三棱柱的体积 解（1）因为侧棱AA 底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱 AA 的长， 而底面三角形ABC的面积S A C B 1 （2 分）ACBC 6， 2 C H A 周长c 4 3 5 12， （4 分） 于是三棱柱的表面积S 全 ch 2S ABC 132 （6 分） B （2）如图，过 A 作平面ABC的垂线，垂足为H，AH为三棱柱的高 （8 分） 因 为 侧 棱 AA 与 底 面 所 成 的 角 为60， 所 以AAH 60， 可 计 算 得 AH AAsin605 3 （9 分） 又底面三角形ABC的面积S 6，故三棱柱的体积V S AH 65 3 30 3 （12 分） 2020 （本题满分（本题满分 1212 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 5 5 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的 正半轴为始边、OA为终边的角设为，将OA绕坐标原点逆时针旋 y B A O 转至OB 2 （1）用表示A、B两点的坐标； （2）M为x轴上异于O的点，若MAMB，求点M横坐标 的取值范围 解（1）由题设，A点坐标为(cos,sin)， （2 分） 1 x （k Z Z） （3 分） 2 因为AOB，所以B点坐标为cos ,sin ，即(sin,cos) （5 分） 222 （2）设M(m,0)（m 0） ，于是MA (cosm,sin)，MB (sinm,cos)， 因为MAMB，所以MAMB 0，即(cos m)(sin m)sincos 0， （8 分） 其中2k 2k 整理得m2m(cossin) 0，由m 0，得m cossin2cos ， （10 分） 4 ， 且 2k， 于 是2k 2k， 且 24444 2 2 cos ，且cos 0 2k（k Z Z）得 424242 因此，点M横坐标的取值范围为(1,0) (0,1) （12 分） 此 时2k 2k 2121 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 如图， 某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E、 C F F分别在AB、BC边上OA 5米，OC 4米，EOF 设CF x，AE y （1）试用解析式将y表示成x的函数； ， 4 B E OA （2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值 xy ，直角三角形COF中，tanCOF 45 正方形OABC中，由EOF ，得AOECOF ，于是tan(AOE COF) 1， 44 5(4 x) 代入并整理得y （4 分） 4 x 5(4 x)4 因为0 x5，0 y4，所以0（6 分）4，从而x4 4 x9 5(4 x)4 因此，y （x4） 4 x9 解（1）直角三角形AOE中，tanAOE （2）S S OABC (S OAE S OCF S EBF )545y 4x(4 y)(5 x)(20 xy)， （8 分） 1 2 1 2 5(x216) 5 325(4 x) 将y 代入上式，得S （10 分） (x 4) 8， 2(x 4)2x 4 4 x 324 当x4时，x4（12 分）8 2，当且仅当x 4( 2 1)时，上式等号成立 x49 因此，三角形池塘OEF面积的最小值为20( 2 1)平方米，此时x 4( 2 1)米 （14 分） 2222 （本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 x2y2 已知椭圆： 2 2 1（a b 0） ， 过原点的两条直线l 1 和l 2 分别与交于点A、B ab 和C、D，得到平行四边形ACBD （1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S （2）若直线l 1 和l 2 关于y轴对称，上任意一点P到l 1 和l 2 的距离分别为d 1 和d 2 ，当 2为定值时，求此时直线l 1 和l 2 的斜率及该定值d 1 2 d 2 （3）当ACBD为菱形，且圆x2 y21内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式 解（1）因为ACBD为正方形，所以直线l 1 和l 2 的方程为y x和y x （1 分） y x, 点A、B的坐标(x 1, y1) 、(x 2 , y 2 )为方程组 x 2y2 的实数解， 2 2 1 ba a2b2 22 将y x代入椭圆方程，解得x 1 x 2 2 a b2 4a2b2 2 根据对称性，可得正方形ACBD的面积S 4x 1 2 （4 分） a b2 （2）由题设，不妨设直线l 1 的方程为y kx（k 0） ，于是直线l 2 的方程为y kx 22x 0 y 0 |kx 0 y 0 |kx 0 y 0 | 设P(x 0 , y 0 )，于是有 2 2 1，又d 1 ，d 2 ， （6 分） 22 ab k 1k 1 222(kx 0 y 0 )2(kx 0 y 0 )22k2x 0 2y 0 x 022 d d ，将代入上式，y b1 0 2 k21k21k21a 2 1 2 2 2x 02k x 2b 1 2 a 22 得d 1 d 2 k21 22 0 2 2 b2 22k 2 x0 2b2 a ， （8 分） k21 b2b 2 对于任意x 0 a,a，上式为定值，必有k 2 0，即k ， （9 分） aa 222a bbb 2 2 因此，直线l 1 和l 2 的斜率分别为和，此时d 1 2 d 2 （10 分） 2a b aa 22 （3） 设AC与圆x y 1相切的切点坐标为(x 0 , y 0 )， 于是切线AC的方程为x 0 x y 0 y 1 x 0 x y 0 y 1 点A、C的坐标(x 1, y1) 、(x 2 , y 2 )为方程组 x 2y2 的实数解 1 2b2 a 当x 0 0或y 0 0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有 分） 11 （111 a2b2 x2y21 当x 0 0且y 0 0时，将y (1 x 0 x)代入 2 2 1， aby 0 2a2(1b2y 0 ) 整理得(b y a x )x 2x 0a x a (1b y ) 0 ，于是x 1x2 22 ， （13 分） 22b y 0 a x 0 22 0 22 0 22222 0 2b2(1a2x 0 ) 同理可得y 1 y 2 22 （15 分） 2b y 0 a2x 0 因为ACBD为菱形，所以AO CO，得AOCO 0，即x 1x2 y 1 y 2 0， （16 分） 22a2(1b2y 0 )b2(1a2x 0 ) 2222 0，整理得a2b2 a2b2(x 0 于是 22 y 0 )，由x 0 y 0 1， 222222b y 0 a x 0 b y 0 a x 0 得a2b2 a2b2，即 1111 b （18 分）综上，满足的关系式为a11 a2b2a2b2 2323 （本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知a 1， a 2 ，a n 是由n（nN N*）个整数1，2，n按任意次序排列而成的数 列，数列b n满足 b k n 1 a k （k 1,2,n） ，c 1 ，c 2 ，c n 是1，2，n按从大 到小的顺序排列而成的数列，记S n c 1 2c 2 nc n （1）证明：当n为正偶数时，不存在满足a k b k （k 1,2,n）的数列a n （2）写出c k （k 1,2,n） ，并用含n的式子表示S n （3）利用(1b 1) 2(2b 2 )2(nb n )20， 证明：b 1 2b 2 nb n n(n1)(2n1)及a 1 2a 2 na n S n （参考：1222n2n(n1)(2n1) ） 证明（1）若a k b k （k 1,2,n） ，则有a k n 1a k ，于是a k 当n为正偶数时，n 1为大于 1 的正奇数，故 1 6 1 6 n1 （2 分） 2 n1 不为正整数， 2 因为a 1， a 2 ，a n 均为正整数，所以不存在满足a k b k （k 1,2,n）的数列a n 4 分 解（2）c k n(k 1)（k 1,2,n） （6 分） 因为c k (n1)k，于是 S n c 1 2c 2 nc n (n 1)1 2(n 1) 2 n(n1) n 111 (1 2 n)(n1)(12 22 n2)n(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)(n2) 266 （10 分） 1 证明（3）先证b 1 2b 2 nb n n(n1)(2n1) 6 222222(1b 1) (2b