电磁场与电磁波（第一章）.ppt

第一章矢量分析,矢量分析基础,标量场的梯度,矢量场的通量散度,矢量场的环流旋度,亥姆霍兹定理,常用的正交曲线坐标系,第一章矢量分析,1.1矢量分析基础,一、矢量与矢量场,1、标量：2、矢量:,矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示,矢量的代数表示：,矢量的大小或模：,矢量的单位矢量：,常矢量：大小和方向均不变的矢量。,注意：单位矢量不一定是常矢量。,矢量用坐标分量表示,3.矢量的代数运算,（1）矢量的加减法,（3）矢量的标积（点积）,定义：,矢量的标积符合交换律,（2）标量乘矢量,（4）矢量的矢积（叉积）,用坐标分量表示为,写成行列式形式为,不满足交换律不满足结合律,若，则,若，则,1、直角坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点P（x0,y0,z0):,坐标变量:,变量取值范围：,微分元：,1.2三种常用的正交曲线坐标系,2、圆柱坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,其位置矢量：,空间任一点P(r0,0,z0),变量取值范围,微分元,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平面,单位矢量变换,理解：联系力的分解与合成,写成矩阵形式,转换矩阵都是正交矩阵，正交矩阵定义：,（*表示共轭转置，实数矩阵只需要转置）上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵，,转换矩阵,矢量的变换,若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下x、y、z轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式,写成矩阵形式,柱坐标系下的两个矢量当值不相等时不能直接相加，要转换到直角坐标系后再相加，为什么？,3、球面坐标系,单位方向矢量：,矢量函数：,位置矢量：,变量取值范围:,微分元：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,单位矢量变换,矢量的变换,1.3标量场的梯度,如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。,时变标量场和矢量场可分别表示为：,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。场是物理量数值的无穷集合,从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：,标量场和矢量场,静态标量场和矢量场可分别表示为：,方向导数的定义,讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题,定义,记为,对于三元函数,意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。,特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。,3.标量场的梯度（或）,概念：标量场u在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作gradu，其中取得最大值的方向,梯度的计算式：,引入哈密顿算子，,即可缩写为,梯度的表达式：,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,梯度与方向导数的关系,标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,1.4矢量场的通量散度,一、矢量线（力线）,矢量场的通量,二、矢量场的通量,矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；,若S为闭合曲面,3）物理含义：以流速场为例,讨论：1）面元矢量定义；,2）,三、矢量场的散度,1、散度的定义,2、散度的物理意义,1)矢量场的散度是一个标量；,通过闭合面S的通量的物理意义：,a)若，闭合面内有产生矢量线的正源；,b)若，闭合面内有吸收矢量线的负源；,c)若，闭合面内无源。,在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：,2),矢量场的散度是空间坐标的函数；,通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。,3、散度的计算,1)在直角坐标系下：,(无源）,(正源),负源),3)表征该点单位体积内源的强度。,讨论：在矢量场中，,1）若，则该矢量场称为有源场，为源密度；,2）若处处成立，则该矢量场称为无源场。,哈密顿算符,2)在圆柱坐标系下：,3)在球面坐标系下：,四、散度定理（矢量场的高斯定理）,该公式表明了区域V中场与边界S上的场之间的关系。,1.5矢量场的环流旋度,一、矢量的环流,环流的定义：,设有矢量场，沿场中任一闭合的有向路径l的积分，叫作沿曲线l的环流。即：,讨论：1）线元矢量的定义；,3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。,2),反映矢量场漩涡源分布情况。,二、矢量的旋度,1.环流面密度,在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处的环量面密度,环流面密度的计算公式：,其中为点M处的方向余弦,2.矢量场的旋度,在直角坐标中，若定义F为：,式中：表示面元单位法线方向；,则称：矢量F为矢量A的旋度，记作：,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示,物理意义：旋涡源密度矢量。,3.旋度的物理意义,4.旋度的计算,1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；,2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；,1)在直角坐标系下：,三、斯托克斯定理,四、矢量场旋度的重要性质,意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。,1.6亥姆霍兹定理,一.亥姆霍兹定理,在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。,二.矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1)调和场,若矢量场在某区域V内，处处有：或则在该区域V内，场为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,2)有源无旋场,若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为有源无旋场。,2)有源无旋场为保守场，其重要性质为：,1)为矢量场通量源密度；,保守场场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。,讨论：,3)无源有旋场,若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内