数列极限中的典型例题ppt课件

数列极限中的典型例题,2014.4.30,1,一.不定式求极限(,),斯铎兹定理1(型）设数列趋于零，数列单调减趋于零，则当lim+1+1存在或为+时,lim也存在或为+，且lim=lim+1+1,方法：罗比塔法则(LHospital)(连续情形)斯铎兹定理(Stolz)(离散情形),斯铎兹定理2(型）设数列单调增加且lim=+.如果lim+1+1存在或为+时，lim也存在或为+，且lim=lim+1+1,2,例1设(,),+=(),=,证明=1.,0+1=1,=,=,证明=1.,lim=lim=lim+1+1=lim(1)=1.,lim=+，且+1,=1,2,.利用斯铎兹定理2，有.,利用斯铎兹定理2，有,证明由0得1,和lim=lim1，所以=0.,lim2=lim12=lim+11+1212,4,=lim=2222=lim02222=3(罗比塔法则),因此，lim3=1.,例3设级数=收敛,为单调增加的正数列,且=+,证明+=0,证明令=+，=1,2,，及lim=.则,1=1，=1,=1,2,，,于是,5,其中，=112+223+11.由lim=及斯铎兹定理2有,lim=lim+1+1=lim(+1)+1=,=112+223+11+=+,11+22+=11+2(21)+(1),lim11+22+=lim+=0.,所以,6,例4设给定数列使得数列=+,=,是收敛的,如果,证明数列收敛,并求极限.,证明由于p|q|，所以,+0,0.记lim=.做数列和如下:,=+,=,=1,2,在记=,则得+1=+,=1,2,。因为lim=0,+1=+=+(1+1),=+1+22+11+1,=(1)+1(1)1+111+1(1),7,|+1|1|+|1|11+|1|1|+|1|1|,由斯铎兹定理lim|1|+|1|11+|1|1|+|1|1|=lim|+1|1|+1|1|+1|1|=0,于是,所以lim=+lim=+.,8,二.利用递推关系求极限,例5设()满足:(1)+,;(2),.设,定义序列:+=,证明=存在,且=.,9,如果存在0,0,且00,使得0=0,0=0则由条件(2)知,证明首先由条件(2)知，()在,上连续，并且至少存在一点,使得=.,下面证明满足上式的是唯一的。,00=000000矛盾。所以满足=的是唯一的。,因为,+1=(),=1,2,于是+121|1|,而00,不等式ln1恒成立，因此有+1=ln1,=2,3,.,由此得，S+11,=2,3,.,11,从而得，ln(S+1)ln+1=0,=2,3,.,由此可知对一切,ln(S)有意义，并且ln(S)0，=3,4,.所以数列单调不减且有上界，所以lim存在，设lim=。,由+1=+ln(S)两边取极限有，=+ln(),因此得，lim=1,12,例7证明：从每个收敛的序列中，都可以选出一个子列，使得其各项为一个绝对收敛级数的部分和序列。,三.利用数列的构造和性质求极限,证明：设数列收敛,且lim=。依次取满足12,+12,=2,3,及12,则1+=2(1)即为满足的级数。这是因为,13,|1|+|112+121=32121.,例8设=,=!,=,.证明：数列与收敛。,证明显然，,=1,2,.下面证明这两个数列均单调。因为+1=+1112+1(1),及+1=(1+1)+121=+12ln1+11(2),14,当1时，我们有1+1=2(+133+155+),于是有,ln1+1=ln1+12+1112+1=2(12+1+13(12+1)3+15(12+1)5+),上式两边同乘以(+12)得：,1(+12)ln1+1=1+13(12+1)2+15(12+1)4+,15,0,因此，数列单调递减。,由(1)和(3)可得：+1=+1112+1=+12ln1+11112+10;(2)+10+1=,=1,