人教版数学必修2直线与方程的知识点专题讲义

必修二直线与方程专题讲义必修二直线与方程专题讲义 1 1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率 （1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点： .与 x 轴相交;.x 轴正向;.直线向上方向. 直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0. 倾斜角的范围0 180. 0 90,k tan 0；90180,k tan 0 （2 2）直线的斜率）直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90的直线斜率不存在. 经过两点P 1(x1, y1),P2 (x 2 , y 2 )的直线的斜率公式是k 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2 2、直线方程的几种形式、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 0 0 00 y 2 y 1(x 1 x 2 ). x 2 x 1 点斜式 y y 1 k(x x 1) (x 1, y1) 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于 x 轴的 直线 斜截式 y kxb k为斜率，b是直线在 y 轴上 不包括垂直于 x 轴的 的截距直线 两点式 y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 (x 1, y1),(x2 , y 2 )是直线上两 定点 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线 (其中x 1 x 2 , y 1 y 2 ) a是直线在 x 轴上的非零截 截距式 xy 1 ab 不包括垂直于 x 轴和 距，b是直线在 y 轴上的非零 y 轴或过原点的直线 截距 Ax ByC 0 一般式 (其中A,B不同时为0） 无限制，可表示任何 A，B，C为系数 位置的直线 注：过两点P 1(x1, y1),P2 (x 2 , y 2 )的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若x1 x2且y1 y2，直线垂直于 x 轴，方程为x x1； （2）若x1 x2且y1 y2，直线垂直于 y 轴，方程为y y1； （3）若x1 x2且y1 y2，直线方程可用两点式表示） 3 3、两条直线平行与垂直的判定、两条直线平行与垂直的判定 （1 1）两条直线平行两条直线平行 斜截式：斜截式：对于两条不重合的直线l1: y k1xb 1,l2 : y k 2 xb 2 ，则有 l 1 / /l 2 k 1 k 2 ,b 1 b 2 注：当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行. 一般式：一般式：已知 l 1 : A 1x B1 y C 1 0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0，则 l 1 / /l 2 A 1B2 A 2 B 1, AC12 A 2C1 注：l 1与l2重合 A1B2 =A 2B1, AC12 A 2C1 l 1 与l 2 相交 A 1B2 A 2 B 1 0 （2 2）两条直线垂直）两条直线垂直 斜截式：斜截式：如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则l1 l2 k1k2 1 注：两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果l1,l2中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，l1与l2互相垂直. 一般式：一般式：已知 l 1 : A 1x B1 y C 1 0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0，则 l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B2 0 4 4、线段的中点坐标公式、线段的中点坐标公式 x 1 x 2 x 2 P,P 若两点P， 且线段的中点的坐标为， 则(x , y ),P (x , y )(x, y) M 12111222 y y 1 y 2 2 5 5、 直线系方程直线系方程 （1 1）过定点的直线系）过定点的直线系 斜率为k且过定点(x0, y0)的直线系方程为y y0 k(x x0) 过两条直线l1: A 1x B1 y C 1 0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0的交点的直线系方程为 A 1x B1 y C 1 (A 2 x B 2 y C 2 ) 0（为参数） ，其中直线 l2不在直线系中 （2 2）平行垂直直线系）平行垂直直线系 平行于已知直线Ax By C 0的直线系Ax By C1 0 垂直于已知直线Ax By C 0的直线系Bx Ay C1 0 6 6、两条直线的交点、两条直线的交点 设两条直线的方程是l1: A 1x B1 y C 1 0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0两条直线的交点 坐标就是方程组 A 1x B1 yC 1 0 的解， A2x B2yC2 0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立. 7 7、几种距离、几种距离 （1 1）两点间的距离）两点间的距离 平面上的两点P 1(x1, y1),P2 (x 2 , y 2 )间的距离公式P 1P2 (x 2 x 1) (y2 y 1) 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x, y)的距离OP （2 2）点到直线的距离）点到直线的距离 22 x2 y2 点P (x0, y0)到直线l : Ax By C 0的距离d （3 3）两条平行线间的距离）两条平行线间的距离 Ax 0 By 0 C A B 22 两条平行线l1: Ax By C1 0,l2: Ax By C2 0间的距离d 注：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； C 2 C 1 A B 22 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能 套用公式计算. 8 8、有关对称问题、有关对称问题 （1 1）中心对称）中心对称 若点M(x1, y1)及N(x2, y2)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得 x 2a x 1 y 2b y1 直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出 它们关于已知点对称的两点坐标， 再由两点式求出直线方程， 或者求出一个对称点， 再利用 l 1 /l 2 ，由点斜式得到所求直线方程. （2 2）轴对称）轴对称 点关于直线的对称 若两点P则线段P 1P2 的中点在 1(x1, y1) 与P 2 (x 2 , y 2 )关于直线l : Ax By C 0对称， 对称轴l上，而且连接P 1P2 的直线垂直于对称轴l上，由方程组 y 1 y 2 x 1 x 2A() B()C 0 x 2 22 ？ y yA y 2 21() 1 B x2 x 1 可得到点P 1 关于l对称的点P 2 的坐标(x2, y2)（其中A 0,x1 x2） 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴 相交；二是已知直线与对称轴平行. 注：曲线、直线关于一直线 y xb对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线 f (x, y) 0关于直线y x2对称曲线方程是f (y 2,x2) 0 曲线C : f (x, y) 0关于点(a,b)的对称曲线方程是f (2a x,2b y) 0 9 9、直线、直线l上一动点上一动点 P P 到两个定点到两个定点 A A、B B 的距离“最值问题”的距离“最值问题” ： （1 1）在直线）在直线l上求一点上求一点 P P，使，使PA PB取得最小值，取得最小值， 若点A、B位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点A或B, / 连接A/B(或AB/)交l于P，则点P即为所求点. 若点A、B位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点. 可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位 于直线的异侧时，直接连接两点即可. （2 2）在直线）在直线l上求一点上求一点P使使PA PB取得最大值，取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连” 若点A、B位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点. 若点A、B位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点A或B, / 连接A/B(或AB/)交l于P，则点P即为所求点. (3)(3) PA PB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”. . 1010、直线过定点问题、直线过定点问题 （1 1）含有一个未知参数，）含有一个未知参数， y (a1)x2a1 y a(x2) x1 （1 1） 令令x2 0 x 2，将，将x 2代入(1)式，得y 3，从而该直线过定点(2,3) （2 2）含有两个未知参数）含有两个未知参数 22 (3mn)x(m2n)yn 0 m(3x y)n(x2y1) 0 1x 3x y 0 7 ，从而该直线必过定点( 1 , 3) .令 7 7 x2y1 y 3 7 赠送以下资料赠送以下资料 英语万能作文英语万能作文( (模板型）模板型） Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that. 随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是 _。 As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes. 然而， 对于此类问题， 人们持不同的看法。 (Hold different attitudes 持不同的看;Come up with different attitudes 有不同的看法) As society develops, people are attaching much importance to. 随着社会的发展，人们开始关注. People are attaching more and more importance to the interview during job hunting 求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。 As to whether it is worthwhile ., there is a long-running controversial debate. It is quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it. 关于是否值得_的问题，一直以来争论不休。当然， 不同的人对此可能持不同的观点。 In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma. 在都市的发展中，我们往往会陷入困境。 Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that. 最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心 _。 The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention. 人类进入了一个历史的崭新的阶段， 经济全球化、都市化的速度 不断加快，随之给我们带来了很多问题。 . plays such an important role that it undeniably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse? _显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这 是无可厚非的。不过，问题是：我们该如何抉择? Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges, 现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。 People from different backgrounds would put different interpretations on the same case. 不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。 The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue. 这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。 不同的人对此问题 的看法也不尽相同。 When asked ., some people think. while some prefer. 说到_， 有人认为_， 而另一些人则认为_。 Just as the saying goes: so many people, so many minds. It is quite understandable that views on this issue vary from person to person. 俗话说，。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。 To this issue, different people come up with various attitudes. 对于这个问题，不同的人持不同的观点。 There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that. 万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，_。 When it comes to .,most people believe that ., but other people regard .as . 提到_问题，很多人认为_，不过，一些人则认 为_是_. When faced with., quite a few people claim that ., but other people think as. 提到_问题，仅少数人认为_，但另一些人则认 为_。 There is a public controversy nowadays over the issue of . There who criticize .argue that ., they believe that .,but people who favor ., on the other hand, argue that. 目前，_问题争议较大。批判_的人认为_，他们认为 _，不过，另一方面，赞同_的人则认为_。 Some people are of the opinion that.有些人认为_。 Many people claim that.很多人认为_。 A majority of 绝大多数 A large number of 很多人 Some people contend that . has proved to bring many advantages (disadvantages) 有些人认为_有很多有利之处(不利之处)。 Those who argue for . say that .economic development of the cities. 觉得_的人认为，_ 城市的经济发展。 Some people advocate that . 有些人在坚持认为_。 They hold that . 他们认为_。 People, who advocate that ., have their sound reasons (grounds) 坚持认为_的人也有其说法(依据)。 Those who have already benefited from practicing it sing high praise of it.那些从中受益的人对此大家褒奖。 Those who strongly approve of . have cogent reasons for it. 强烈认同_的人有很多原因。 Many people would claim that.有人会认为_。 People who support . give some or all of the following reasons. 那些支持_观点的人列出了如下原因：_。 But others hold the view that .但是，另外一些人则认为_。 观点的用词：Attitude, opinion, 与其搭配的动词以及词组：Take, have, come up with，set forth, put forward 等。 But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,. 不过，另一方面，也有少部分人坚持认为_。 But people who are ., on the other hand , maintain that. 不过，另一方面，_的人认为_。 However, there are a large number of people who hold a different view concerning this case. 然而，很多人对此有不同的看法。 问题用词：Issue, phenomenon，后接介词, on, over 等。 However, some others argue that. 然而，另一些人则认为_。 However, there are also some others who contend that. 然而，也有人认为_。 But other people set forth completely totally different argument concerning this case. 不过，对于此，另一些人则持完全不同的观点。 Some people examine this issue from another angle. 有的人用另一角度来看这一问题。 On the other hand, there are also many opponents who strongly . 另一方面，也有很多反对的人，他们认为_。 According to my personality and fondness, I would prefer . rather than. 根据我的个性以及兴趣， 我选择_而不会选择_。 Personally, I side with the latter (former) opinion. 就我个人而言，我支持后者(前者)_。 Personally, I am in favor of the former point of view. 就我个人而言，我较同意前一种看法。 To my point of view 我认为 Tomymind,theadvantagesfaroverweighthe drawbacks(disadvantages, shortcomings) 我认为，优点胜过缺点。 For my part, I stand on side of the latter opinion that. 就我而言，我较赞同后一种观点_。 As far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view. 在我看来，我较同意后一种观点。 After a thorough consideration, for my part, I am in favor of the latter view that. 经过深思熟虑，我较支持后一种看法，亦即_。 If asked to make a decision, I would prefer. 如果真的需要作出选择，我宁愿_。 展现问题篇 问题的常用词：question, problem, issue Recently, the issue of . has been brought into public focus. 近来，_的问题引起了社会的广泛关注。 Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in peoples attitude towards some traditional practice. 现在我们进入了一个充满机遇和创新的崭新时代， 很多人对某些 传统的看法也发生了很大改变。 Recently the issue of whether or not . has been in the limelight and has aroused wide concern in the public. 近来，是否_的问题已经非常明确而且引起了社会的广泛关 注。 The issue whether it is good or not to . has aroused a heated discussion all over the country. _的利与弊已在全国范围内引起热烈的讨论。 At present, some people think .while others claim .Both sides have their merits. 目前，一些人认为_而另一些人则认为_。其实，