弹性力学-05空间问题的基本理论.ppt

第五章空间问题的基本理论,要点：,（1）空间问题的基本方程,平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件等。,（2）空间应力状态与应变状态分析,（3）轴对称与球对称问题的基本方程,（4）Descartes张量简介及基本方程和基本量的张量表示,5-1平衡微分方程,主要内容,5-2物体内任一点的应力状态,5-3主应力与应力主向,5-4最大与最小的应力,5-5几何方程刚体位移体积应变,5-6物体内一点的形变状态,5-7物理方程方程总结,5-5轴对称问题的基本方程,5-9球对称问题的基本方程,5-0Descartes张量简介,5-0Descartes张量简介,1.张量的定义及变换规律,(1)一群量的下标记法,三维Descartes坐标系三维直角坐标系,Descartes参考系下的张量Descartes张量,位移：,可用下标表示为,缩写为,(i=1，2，3),坐标：,可用下标表示为,缩写为,(i=1，2，3),应力分量：,可表示为,缩写为,(i=1，2，3)(j=1，2，3),改写为,缩写为,(i=1，2，3)(j=1，2，3),用下标表示为,注意：,工程剪应变；,剪应变分量。,应变分量：,(2)Kronecker记号,称为Kronecker（克鲁奈克）记号,对三维情形(i，j=1，2，3)排列成矩阵：,(3)张量的定义和变换规律,矢量S在坐标系Ox1x2x3的分量（投影）：,矢量S在坐标系的分量（投影）：,对二维情形(i，j=1，2)排列成矩阵：,新旧坐标轴间的方向余弦：,变换关系,（a）,（b）,两个矢量：,A=,S=,两个矢量标量积：,显然，,应与坐标系的选择无关，即有,（c）,矢量的定义：,如果已知,是矢量，,而,是与坐标,有关的三个标量，,它们使得一次形式：,在坐标变换时不变，,则,为矢量。,判别任意三个标量是否构成矢量的准则。,矢量的变换规律：,分别为,两种坐标系中的分量，,根据题设，它们之间应有,（d）,将式（b）：,（b）,代入式（d）等号的左边，有,比较式（d）等号的右边，有,（e）,（a）,同理，将式（a）：,代入式（d）右端，有,比较式（d）左端：,（d）,得到：,（f）,式（e）与式（f）为矢量的变换规律。,（e）,可见：,于坐标系的选择，且遵循矢量的变换规律，所以组成一矢量。,不仅依赖,二阶张量的定义：,设,与,为二矢量，,（i、j=1,2,3）是与坐,标选择有关的9个量，若当坐标变换时，双一次形式：,保持不变，则称取决于两个下标i、j的9个量aij的集合为二阶张量。aij中的每一个量被称为此张量（对指定坐标系）的分量。如：,二阶张量的变换规律：,由题设条件，当坐标系变换时，有：,（g）,将变换关系式：,代入上式左边，得：,应力张量，,应变张量,将上式中和号交换，有：,比较式（g）的右边，有：,（h）,（g）,同理将变换关系式：,代入上式右边，得：,将上式中和号交换，有：,比较式（g）的左边，有：,（i）,二阶张量的变换规律为：,（h）,（i）,构成二阶张量的变换对。为判别具有下标的9个量是否张量的依据。,三阶张量或定义为：,是与坐标选择有关的27个量，若当坐标变换时，三一次形式：,（i、j、k=1,2,3）,保持不变，则称取决于两个下标i、j、k的27个量aijk的集合为三阶张量。aijk中的每一个量被称为此张量（对指定坐标系）的分量。,三阶张量的变换规律为：,类似地，可定义三阶以上的任意阶张量。,张量概念小结：,（1）张量概念的两个要点：,（a）存在一个与坐标变换无关的不变量F，如：二阶张量,（b）不同坐标系间变换时，服从同样的变换规律，如：二阶张量,（2）张量的阶数与分量数：,张量的阶数,=表示张量所用的下标数,张量是一群具有下标量的集合。,二阶张量：,在三维空间中，其分量数：9,在二维空间中，其分量数：4,三阶张量：,在三维空间中，其分量数：27,在二维空间中，其分量数：5,一阶张量：,（即：矢量）,在三维空间中，其分量数：3,在二维空间中，其分量数：2,0阶张量：,（即：标量）,如：温度T、能量U等,n阶张量:,在三维空间中，其分量数：,在二维空间中，其分量数：,分量数：1,（3）单位张量：,三维空间中的单位张量,二维空间中的单位张量,（4）对称张量与反对称张量：,若一二阶张量：,具有,则称该二阶张量为对称张量。,若一二阶张量：,具有,则称该二阶张量为反对称张量。,若将其排列成矩阵，必有：,如：应力张量、等。,（5）任意张量的分解定理：,对任一张量（既非对称，又非反对称）aij，总可以唯一地分解为一个对称张量eij与一个反对称张量pij之和。,证明：,设,注意到：,于是有：,（j）,（k）,联立求解式（j）与式（k），有,不难看出，张量eij与pij分别符合对称与反对称条件。,2.张量的运算,（1）张量的和,若两个二阶张量aij与bij,其和张量为cij，则有,同理，可定义n阶张量的和运算。,说明：,（1）张量的和运算必须在两个同阶张量间进行。,（2）张量的和运算为两张量对应分量的和运算。,这一点与矩阵运算相似。,（2）张量的求导运算表示,在弹性力学中，常遇到一些量（如：位移分量ui、应力分量ij、应变分量ij等）对于坐标的偏导数：,偏导数的下标记法如下：,等等。,上述中的每一组量的集合都是张量。如：,9个量的集合，为二阶张量。,27个量的集合，为三阶张量。,51个量的集合，为四阶张量。,为二阶张量的证明：,因为：,代入前式，有,交换和号,显然，符合二阶张量的变换规律。,因此，,为一二阶张量。,3.求和约定与弹性力学基本方程的张量表示,（1）求和约定,例子：,两个现象：,（a）求和运算；,（b）求和号内存在重复指标，求和运算仅对重复指标进行。,求和约定：,凡在同一项内，有一个指标出现两次时，则该指标从13求和（对二维空间，则从12求和）。,Einstein求和约定,作求和的下标,称为哑指标；,不作求和的下标,称为自由指标。,（哑指标在求和后不再出现）,如：,式中：,指点标j为哑指标；,指点标i为自由指标。,坐标变换式：,两矢量标量积：,二阶张量的变换式：,注意：哑指标的符号可随意变化，而不影响结果，如：,（2）弹性力学平面问题基本方程的张量表示,对于平面问题，取i,j=1,2。,（a）平衡微分方程,式中：X1=X，X2=Y表示体力分量。,（b）几何方程,（c）物理方程（平面应力问题）,或：,式中：,（d）边界条件,应力边界条件：,位移边界条件：,式中：,Lame系数,3.置换张量,（1）置换张量的定义：,当ijk=1,2,3;2,3,1;3,1,2顺序排列时；,其定义如下：,在Decartes坐标中引进记号：eijk，,当ijk=3,2,1;2,1,3;1,3,2逆序排列时；,当任何两个或三个下标相等时；,如ijk=1,1,3;2,2,1;2,2,2顺序排列时；,（a）行列式的计算,eijk称为置换张量，也称排列张量。,（2）置换张量eijk的应用,可以证明，eijk符合三阶张量的变换规律。,变形协调方程,对于平面情形，取i、j=1、2，m=n=3，有,其中：,用坐标x，y表示，有,（b）变形协调方程（应变相容方程）,平面问题的变形协调方程,5-1平衡微分方程,在点P附近取一微元体，如图所示，,P点的应力为：,体力分量为：,由微元体的平衡条件建立平衡微分方程。,将上式同除以dxdydz，化简得：,同理，由：,得到x、y方向的平衡微分方程。,另外由三个方向轴的力矩平衡：,剪应力互等定理,可得到：,最后，得到微元体的平衡微分方程为：,空间问题的平衡微分方程为：,（5-1）,用张量表示：,式中：,为体力分量。,5-2物体内任一点的应力状态,目的：,（1）建立空间的边界面力与内部应力间关系，即边界条件；,（3）分析一点的主应力与主方向；,（2）过一点任意斜截面上的应力；,1.任意斜截面上的应力,对P点取如图所示的四面体（微元体）平面PBC、PAC、PAB分别与x、y、z坐标平面平行，斜截面ABC的外法线方向为N，其方向余弦分别为：,P点的应力：,斜截面的应力在坐标方向的分量：,设斜截面ABC的面积为S，四面体的体积为V，,PBC的面积为lS;,PAC的面积为mS;,PAB的面积为nS。,由微元体的平衡，得,等式两边同除以S，有,因为,为高阶无穷小，可略去。得,（5-2）,任意斜截面应力在坐标方向的分量,斜截面的正应力N：,（5-3）,用矩阵表示：,用张量表示：,斜截面上的剪应力N：,因为斜面上全应力SN：,（5-4）,结论：,则可确定过该点任意斜截面上的正应力N和剪应力N。,在物体内任一点，如果已知其六个应力分量：,表明：六个应力分量完全确定了一点的应力状态。,2.空间问题的应力边界条件,代入式（5-2），有：,（5-5）,若斜面ABC为物体的边界面，则XN、YN、ZN成为边界面力分量：,若用张量表示，有：,一般空间问题的边界条件,5-3主应力与应力主向,1.主应力,定义：,当P点的某一斜面上的剪应力为零时，则该斜面上正应力称为P点的一个主应力。,该斜面称为P点的一个应力主面（主平面）。,主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。,由定义，在主应力面上，有,则该面上全应力：,将SN=向三个坐标轴投影，有,将上式代入式（5-2），有,（a）,同时，有,（b）,将式（a）改写为,将l、m、n作为变量，它们不全为零，有,（c）,考虑到：,将上述行列式展开，有,求解式（5-6）关于的三次方程，可得三个实根1、2、3即为P点的三个主应力。,2.主方向,设主应力1所在平面（主平面）法线的方向余弦为：l1、m1、n1，将其式（c），有,上述方程中仅两个独立的，将式中前两个方程同除以l1，得,由此可求得：,上述方程中仅两个独立的，将式中前两个方程同除以l1，得,并将其代入式（b）,（b）,可求得：,同理，可求出：l2、m2、n2，l3、m3、n3。,可以证明，三个主应力方向互相垂直。,将1、2、3方向对应,的l1、m1、n1；l2、m2、n2；l3、m3、n3代入式（c），有,（d）,（e）,（f）,空间问题的平衡微分方程,用张量表示：,任意斜截面应力在坐标方向的分量,斜截面的正应力N：,（5-4）,用矩阵表示：,用张量表示：,斜截面的剪应力N：,空间问题的应力边界条件：,用张量表示，有：,主应力与应力主向,主应力,主方向,同理，可求出：l2、m2、n2，l3、m3、n3。,可以证明，三个主应力方向互相垂直。,将1、2、3方向对应,的l1、m1、n1；l2、m2、n2；l3、m3、n3代入式（c），有,（d）,（e）,（f）,（d）,（e）,同理，可得：,将式（d）中三式分别乘以l2、m2、n2；而式（e）三式分别乘以l1、m1、n1，然后将其6式相加，并整理合并得：,（g）,（h）,（i）,（1）当123时，有,表明：此时三个主应力方向互相垂直。,（2）当1=23时，,有下面两式成立：,而,说明3的同时与1、2方向垂直。,可以等于零，也可以不等于零，说明1与2,可以垂直，也可以不垂直，即与3垂直的方向都是主方向。,（3）当1=2=3时，,三者都可以等于零，也可以不等于零，说明1、2、33个主方向可以垂直，也可以不垂直，即任何方向者都是主方向。如三向等拉或等压。,3.应力不变量,设三个主应力1、2、3已求得，取这三个,主应力单元体,主应力方向分别为x、y、z三坐标方向,则有,展开后，得,与式（5-6）比较,（5-7）,因为，在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标的改变而变化，所以，方程（5-7）左边的三个表达式也不随坐标系的改变而改变，于是有三个应力不变量：,（5-5）,4.八面体斜面上的应力,现取一特殊的斜面：,注意到：,可求得该斜面的方向余弦：,符合上述条件的面有八个，这八个面构成一八面体，如图所示。,八面体斜面上的应力八面体应力。,（1）八面体斜面上的正应力：,可见：八面体斜面上的正应力等于平均应力m,（2）八面体斜面上的剪应力：,八面体斜面上合应力在三坐标轴上分量：,八面体斜面上合应力：,八面体斜面上剪应力：,八面体上剪应力,八面体上剪应力,材料力学中第四强度理论的相当应力：,八面体应力,在塑性力学和强度理论中用,5.应力偏张量与应力球张量,八面体上正应力,5.应力偏张量与应力球张量,其中：,显然，有：,应力偏张量,应力球张量,引起体积改变,引起弹性变形,引起形状改变,引起塑性变形,5-4最大与最小的应力,1.最大、最小正应力,设1、2、3已知，如图取坐标系，则有,按主应力状态，任取一斜截面，其法线N的方向余弦为：l、m、n。,由斜截面应力计算公式（5-3）：,得：,（a）,利用式：,将N视为变量m、n的二元函数，对m、n求偏导数，并令其等于零，有,将N视为变量m、n的二元函数，对m、n求偏导数，并令其等于零，有,可求得：,将其代回：,可求得：,表明：,N的一个极值为1。,同理，可求得：,N的另二个极值为2、3。,比较极值1、2、3中最大者，即为最大应力；最小者即为最小应力。,通常取最大应力1；通常取最小应力2。即：,2.最大、最小剪应力,如图选取坐标系，由式（5-2）得斜面上的应力在三坐标方向的分量：,（b）,（5-4）,将其式（5-4）：,（c）,利用式：,消去式中的三个方向余弦之一，如：l，有,将两边对m、n求偏导数，并令其等于零，即,将两边对m、n求偏导数，并令其等于零，即,化简得：,（d）,可求得三组解答：,（1）,（2）,（3）,同理，可求出另三组解答：,（4）,（5）,（6）,得到N极值的六组解答，可用图示表格表示。,N的极值及其所在平面法线的方向余弦,主平面,N极值不为零的平面,显然，最大最小剪应力：,最大最小剪应力平面,结论：,最大最小剪应力在数值上等于最大和最小主应力差的一半，作用在通过中间主应力2且“平分最大主应力与最小主应力夹角的平面上”。,已知在直角坐标系中，物体内某一点的应力分量为,试求：过此点方程为的平面上的正应力。,解：,例：,法线方向的方向余弦：,由,应力矩阵：,5-5几何方程刚体位移体积应变,1.几何方程,设任一点P的位移为：u、v、w，考察P点邻近线段dx、dy、dz的伸缩变形及夹角的改变。,类似于平面情形的分析推导，有,（5-9）,若用张量表示，有,（i，j=1，2，3）,2.刚体运动,刚体运动是指没有变形情况下的物体内各点的位移。即有,代入几何方程，有,（a）,积分式（a）中前三式，有,（b）,式中：f1、f2、f3为任意待定函数。,将式（b）代入式（a）后三式，有,（c）,将上式中的第二、第三式分别对z、y求偏导，有：,上式表明：f1(y,z)中只可能包含常数项，y、z的一次项，和yz项，即,同理，有：,将以上三式代回式（c），得,要使任意的xyz，上述方程成立：,由右侧三式，得：,将其代回f1、f2、f3，有,将上式中的常数a、e、i、k、c、g改写为u0、v0、w0、x、y、z，有,（5-10）,与形变无关的位移刚体位移,式中：x、y、z为一点绕三个坐标轴的微小转角；,对于平面情形，有,u0、v0、w0分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。,3.体积应变,设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z，,x,z,y,变形前体积：,变形后的边长和体积分别为：,体积应变（相对体积改变）：,考虑到小变形，略去二阶以上高阶小量，有：,（5-11）,（5-11）,将几何方程代入，有,（5-12）,或：,或：,5-6物体内一点的形变状态,问题：,已知一点P的应变分量：x、y、z、yz、zx、xy,求：,（1）任意方向的线（正）应变；,（2）经过某一点P微小线段夹角的变化；,（3）主应变与主应变方向。,1.任意方向的线应变N,已知：x、y、z、yz、zx、xy；,线段PN：l、m、n，dr;,（a）,P点的位移：u、v、w;,N点的位移：,（b）,变形后线段PN在各坐标轴的投影：,（c）,线段PN变形后长度：,（设PN线应变为N）,将两边同除以dr2,并考虑到：dx=ldrdy=mdrdz=ndr,有,将两边同除以dr2,并考虑到：dx=ldrdy=mdrdz=ndr,有,将上式两边展开，并略去：N、等的二阶以上高阶项,有,注意到：,代入上式可得：,任意方向线应变计算公式,（5-13）,将几何方程代入得：,任意点线应变的张量与矩阵表示：,（5-13）,任意点线应变的张量与矩阵表示：,(5-13),其中：n1=l，n2=m，n3=n。,记：,(5-13),即：,2.任意两方向线段夹角的变化,（1）线段PN在变形后的方向余弦,展开级数,将上式展开，略去二阶以上小量，有,变形前：,变形后：,将上式展开，略去二阶以上小量，有,（d）,同理，可有,（e）,（2）线段PN在变形后的方向余弦,变形前：,变形后：,与前面类似处理，有,（f）,式中：为线段PN方向的正应变。,（3）线段PN与PN在变形后夹角的变化,（3）线段PN与PN在变形后夹角的变化,设线段PN与PN在变形后夹角为1，则有,将前面式（d）、（e）、（f）代入，并略去二阶以上小量，有,代入几何方程，有,（5-14）,求出1后，即可求得线段PN与PN在变形后夹角的改变为：1。,结论：,物体内的任一点，若已知其六个应变分量：x、y、z、yz、zx、xy，就可求得经过该点的任一线段的正应变，也可求得经过该点的任意两线段夹角的改变。,六个应变分量完全决定了一点的应变状态。,3.主应变、主应变方向、应变不变量,定义：,若某一点P存在三个互相垂直的方向，变形后这三个方向线段夹角（直角）都不变化，即剪应变等于零，则沿这三个形变方向的正应变，称为主应变。,这三个方向称为主应变方向。,主应变：,（1）主应变,设某一主应变方向的方向余弦为：l、m、n，主应变为。类似于主应力分析，有,将其用矩阵表示，有,展开，有,若x、y、z恰好为主应变方向，三个主应变为：1、2、3，此时：yz=zx=xy=0，于是有,（5-15）,因为主应变：1、2、3不随坐标系的变化而变化，比较式（5-15）有,（5-16）,三个形变不变量（应变不变量）,第一形变不变量e1：,体积应变,5-7物理方程方程总结,物理方程：,也称材料的本构关系，,建立材料的应力与应变关系。,讨论前题：,弹性小变形。,1.物理方程的一般形式,材料的应力与应变关系一般由实验得到，最早的实验由虎克（Hooke,R.）的金属丝拉伸实验。,一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：,当式中的自变量：x、y、z、yz、zx、xy为小量时，可对其按Taylor级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有,式中：(f1)0对弹性体的初应力为零的情形有：(f1)0=0；,而,表示函数f1对应变分量的一阶偏导数，当初应力为零时，它们均为常数，,这样可得一线性方程：,广义虎克（Hooke）定律的一般形式,式中：包括36个常数，但可以证明，只有21个常数独立。,2.弹性体变形过程中的功和能,（1）热力学第一定律,物体总能量的增加等于外力所作的功与外界传入（或输出）热能之和。,式中：A为物体在任意时间t内所作的功；Q为外界传入（或输出）的热能；K为在t时间内物体动能的增量；U为在t时间内物体内能的增量。,当由于温度改变引起的热能和由于物体的动能变化远小于物体的内能增加（QU，KU）时，往往将它们忽略不计，于热力学第一定律变为：,（2）物体的内能,物体的内能主要由物体的变形引起的，可以表示成应变或应力分量的函数。,设物体单位体积积累的内能（比能）为：U1，,则物体总内能为：,物体单位体积积累的内能（比能）U1可表示为,物体单位体积积累的内能（比能）U1可表示为,在t时间内物体内能的增量为：,（3）外力的功,在t时间内，作用于物体外力的功包括：,体力所做的功；,边界面力所做的功。,将应力边界条件公式（5-5）代入，有,由高斯积分公式：,曲面积分转化为体积积分,由几何方程得到：,热力学第一定律：，有：,（4）格林（Green）公式,与前式比较，有：,格林（Green）公式,3.几种情况下广义虎克（Hooke）形式,（1）极端各向异性情况,广义虎克（Hooke）定律的一般形式,用矩阵表示：,显然，有：,显然，有：,同理，可证明：,可见：极端各向异性体的弹性常数为21个。,又如：,（2）正交各向异性体,若物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性体。,如：煤、木材、叠层胶木、某些复合材料等。,其广义虎克（Hooke）定律可表示为：,可见：正交各向异性体的弹性常数为9个。,（3）横观各向同性体,若物体内的任一点在平行于某一平面的所各方向都具有相同的弹性性质，而垂直于该面的弹性性质不同，这种正交异性体称为横观各向同性体。如：土壤、层状岩石、复合板材等。,这类材料有：,可见：横观各向同性体的弹性常数为5个。,（4）各向同性体,于是，得各向同性体的广义虎克（Hooke）定律形式为：,可见：各向同性体的弹性常数仅为2个。,这两个常数可用弹性模量E和泊松比表示。,4.各向同性体广义虎克（Hooke）定律的各种形式,（1）一般形式（基本形式）,（5-17）,空间问题物理方程的基本形式,物理方程基本形式的张量表示：,式中：E为材料的弹性模量；为泊松比。,（2）物理方程的主应力形式,若将三个坐标轴方向设为三个主应力方向，,则有：,表明三个主应力方向与三个主应变方向重合。这时有,（3）体积应力与体积弹性模量,将式（5-17）的前三式两边相加，,得到：,利用前面的记号，有,体积应变,第一应力不变量，称为体积应力,于是前式可表示为：,（5-15）,表明：体积应力与体积应变成正比。也可将上式改写为：,比较单向应力状态时：=E，,称为体积弹性模量。,并用K表示，即：,（4）物理方程的应变表示形式,体积弹性模量,将物理方程的基本形式中解出,将其用应变表示。,从中解出x，有,同理，可得其它的方程：,（5-19）,用应变量表示的物理方程,进一步引入：,上式方程变为：,（5-20）,方程中、G称为Lame系数。,上述方程可表示成,考虑到：,如下张量形式：,（5-20）,5.空间问题基本方程总结,空间问题的基本未知量：,6个应力分量；,6个形变分量；,3个位移分量；,共有15个基本未知量。,空间问题的基本方程：,（1）平衡微分方程,用张量表示：,（包含3个方程）,（2）几何方程,张量表示：,（i，j=1，2，3）,（几何方程包含6个方程）,（3）物理方程,张量表示：,式中：E为材料的弹性模量；为泊松比。,（物理方程包含6个方程）,（4）边界条件,张量表示：,应力边界条件：,位移边界条件：,张量表示：,位移单值条件、应力有限条件。,5-5轴对称问题的基本方程,1.轴对称问题的受力与变形特征,几何特征：,几何形状对称于某轴线（如圆台体）；,受力特征：,载荷和约束也对称于某轴线；,变形特征：,（1）ur、w仅为r和z的函数；u0。,（常用柱坐标描述）,（2）线应变：,（3）剪应变：,轴对称问题的应力分量：,应变分量：,平面应变问题,2.轴对称问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（略去四阶以上小量）,两边同除以rdrdzd，有,略去四阶以上小量，有,两边同除以rdrdzd，有,为恒等式。,总结以上讨论，得空间轴对称问题的平衡微分方程为：,空间轴对称问题的平衡微分方程为：,（5-22）,（2）几何方程,ur引起的