人教版高中数学《二元一次不等式(组)与平面区域》全国一等奖教学设计

3.3.13.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学设计二元一次不等式（组）与平面区域教学设计 本节课的教学内容选自人教版 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 5 第三章不等 式的第 3 节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题，是第 1 课时。 一一. .教学内容解析教学内容解析 1.1. 二元一次不等式（组）与平面区域地位和作用二元一次不等式（组）与平面区域地位和作用 本节是在学习不等式、直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解 法解决线性规划的基础，具有承上启下的作用。旧教材将它安排在直线方程后学习，体现的 是它与方程的联系，而新教材将它与不等式的知识合在一起，整章知识凸显的是通过数学的 直观性进行学习，将重要的不等关系都给出了相应的几何背景，从而弱化了以逻辑性推导为 主的传统学习不等式的方式；在探索问题过程中渗透化归、数形结合和特殊到一般的思想， 有效的训练了学生计算、作图的基本能力，也训练了学生数形结合、等价转化等数学思想。 本节课是二元一次不等式（组）与平面区域的第一课时，它的相关概念是线性规划问题的基 础和前提，为后面寻求线性规划“最优解”奠定基础。 2. 2.本课内容剖析本课内容剖析 教科书在第 3.3.1 节探求二元一次不等式所表示的平面区域时，先后以思考猜想和探究 的方式提出问题，从研究具体不等式的解集所表示的平面区域入手，讨论直线的某一侧点的 坐标与不等式的关系， 由此推广到一般的二元一次不等式AxByC 0表示的平面区域， 并得到了二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集的结论。 新课程对这部分的处理采用数形结合，几何直观推理的方法，循序渐进，螺旋上升，符 合现阶段学生的认知水平，本课的教学正是对这一原则践行，从图象的角度展开学习，以图 象为依托来探索二元一次不等式（组）与平面区域。 有利因素：在初中数学学习中学生已经接触过一元一次不等式（组）和二元一次方程（组）， 所以在接受二元一次不等式（组）上会比较容易。 不利因素：1.学生的数形结合思想不够完善，学生识图、画图能力还不怎么好； 2.对平面点集与图象的对应关系理解不深。 二二. .教学目标设置教学目标设置 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学案第 1 页 1. 初步体会从实际情景中抽象出二元一次方程组，进而变为二元一次不等式组的过程， 了解二元一次不等式(组)表示的平面区域的概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平 面区域。 2.综合运用以旧引新、数形结合、类比、特殊到一般等多种方式探究二元一次不等式 (组) 表示的平面区域，为下一节课解决实际问题积累方法与经验。 3.通过学生自主探究，培养独立思考能力，学会合作意识；体会数形结合思想，类比、由 特殊到一般的分析方法，提高学生解决复杂问题的能力。 1.1.教学重点教学重点 二元一次不等式(组)表示的平面区域。 2.2.教学难点教学难点 熟练掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域。 3.3.教学准备教学准备 1.教具：直尺、多媒体设备。 2.制作学案及上课课件。 三学生学情分析三学生学情分析 本节课学习的主要目的是理解二元一次不等式 (组)表示的平面区域相关概念，能确定二 元一次不等式（组）表示的平面区域。内容有一定难度，同时本班为区县重点中学的普通班， 学生间数学基础差异较大，故采用循序渐进，螺旋上升的方式，分两课时学习本小节内容。 四四. .教学策略分析教学策略分析 1.采用控制不等式个数，先单个不等式后不等式组分析的方法，让学生体会到由简单到 复杂、由特殊到一般的化归思想，是科学研究中常用的方法，有助于提高学生处理复杂问题 的能力。 2.在二元一次不等式（组）平面区域的教学中，充分利用以前一元一次不等式和二元一 次方程的基础来学习二元一次不等式（组） ，让新旧知识交汇，有利于提升学生对所表示平面 区域的理解. 3.利用几何画板辅助教学，可以对图象的特殊点、非特殊点进行分析，有利于学生突破 探究证明任意性。 五五. .教学过程教学过程 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学案第 2 页 设计意图教学活动 创设情景 引入新课 由文字语 言转化到符号 语言，建立起 二元一次不等 式的概念，使 学生经历、体 验从实际问题 中得到二元一 次不等式（组） 这一数学模型 的抽象过程， 让学生从已知 一家银行的信贷部计划年初投入（不多于） 25 00万元用于企业和个人贷款，希望 这贷款可带来（至少）3 万元的收益，其中从企业贷款中获益 12% ，从个人贷款 中获益 10%.那么，信贷部应如何分配资金呢？ 设企业贷款为 x万元，个人贷款为 y万元 （ 由“等”到“不等” ，由方程组到不等式组） x+ y2500 12% +10% y3 x0 y0 学生观察：现实中抽象出的不等式x+ y2500有什么特征？ 概念：像这样含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式称为二元一次 到对未知的冲 不等式，由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组！满足 突，从而引出 二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对（x，y）, 所有这样的有 今天要研究的 序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 对象。 我们从方程的思想来看，方程组是找每个方程解的公共解，那不等式也可 以找每个不等式解集的公共解。那么二元一次不等式的解表示什么图形呢？ 由旧知探索新 我们不妨先来研究一个具体的二元一次不等式 2x + y -60的解集所表示的图 知，类比一元 形。 一次不等式提 教师追问：我们知道，一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间，那么 出问题，再以 二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？我们知道，一元一次不等式的 二元一次方程 解集可以表示为数轴上的区间。例如一元一次不等式x30，可先求出方 出发进行探讨 程x30的解， 其中-3 将数轴分成了三部分， -3 右侧的x使得x30， 二元一次不等 -3 使得x30，-3 左侧的x使得x30。 式（组）表示 的平面区域。 教师追问： 类似的， 我们能否先研究二元一次方程2xy60的解集表示 什么图形？请你把它画在平面直角坐标系中.并观察图形把平面内所有的点分 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教学案第 3 页 成了几类?（请同学作答） 教师： 将方程2xy 6 0转化为同学们熟悉的一次函数y 2x 6， 直 线将平面分成了三部分。像这样一分为三的情况还有很多，譬如生活中的上中 下，代数中的正数、负数、零；几何中的圆把平面分为圆上、圆外、圆内。 探索一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 教 师 把 知 识建构的主动 权 交 给 了 学 生，以问题的 形式引导学生 自已完成，整 个过程循序渐 教师追问：教师追问：我们知道直线上的点的 坐标满足 2x + y -6 =0, 那在直线外任意一点的坐标还满足 2x + y -6 =0吗？ 不等于 0 又有几种情况（两种？哪两种？大于和小于）那哪些点的坐标满足 2x + y -60 呢？ 活动一：活动一： 进，问题的设 设点P（x,y 0）是直线2x + y -6 =0上的点，求出相应的 y0 置也是先由具 体的点，再转 化为形，直观 形象，由浅入 深，环环相扣， 使学生学的轻 松自如. 以形助数，直 观推理 从几何画板模 教师追问：以二元一次不等式2x + y -60 的解为坐标的点都在直线2x+y-6=0 的左下方， 当x 3时，选取适当的y i ，使得A（x,y i）满足2x + y -60 将点A描绘到坐标系中 横坐标x 点P的纵坐标y 0 点A 1 的纵坐标y 1 点A 2 的纵坐标y 2 点A 3 的纵坐标y 3 点A 4 的纵坐标y 4 点A 5 的纵坐标y 5 3210123 学生思考：当点A 与点 P 有相同的横坐标时，从数来看，它们的纵坐标有什 么关系？ 从形来看，点 A 与点 P 有什么位置关系？ 学生发现：点 A 在直线的左下方 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学案第 4 页 拟演示，由此 引 发 学 生 猜 想，再到严谨 的数学逻辑证 反过来，直线 2x + y -6 =0 左下方所有的点的坐标都满足 2x + y -60 吗? (几何画板模拟演示特殊点的选取) 学生猜想:对于直线 2x+y-6=0 同一侧的点， 把它的坐标代入 2x + y -6 中，所得符号都相同， 明，层层递进。 即同侧同号，异侧异号。 活动二： 证明直线 2x + y -6 =0 左下方所有的点的坐标都满足 2x + y -60 （教师可适当点拨： 既然任意性不好办， 我们就可以通过特殊桥梁来进行转化。 小组合 如何将点和直线联系起来，就可以通过这个点作特殊的直线） y 作，教师引 导， 学生主动 纳。 让学生在 学习中体会 发现知识的 探究， 理性归 6 O x 过程 请学生 展示探索成 果， 树立学习 数学的信心. 本部分是 本课的重点内 容，做好以下 几点：一、设 3 2x + y -6=0 （展台展示部分学生的证明过程。） 学生得出结论：直线 2x+y-6=0 的左下方的点都满足不等式 2x + y -60 由活动一得到以二元一次不等式 2x + y -60 的解为坐标的点都在直线 好 问 题 的 梯 2x+y-6=0 的左下方，又由活动二得到直线 2x+y-6=0 的左下方的点都满足不等 式 2x + y -60，因此二元一次不等式 2x + y -60表示的就是直线 2x+y-6=0 度，逐步引领 左下方的平面区域。 学 生 探 索 问 题，充分调动 学生思维，培 教师追问:包括边界了吗? 类比一元一次不等式解集表示区间的方法，包含端点画实线不包含端点画空 养学生的逻辑心，故类似的，包含边界画实线，不包含边界画虚线。 思维能力；二、 利用好计算机 可以动态分析 教师追问：对于不等式 2x + y -60 是特殊的，对于一般的 Ax+By+C0 呢？ 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学案第 5 页 任 意 点 的 特 点，对所有点 进行分析，提 升学生对二元 学生总结一般性结论：学生总结一般性结论： 对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C，所得 的实数的符号都 一次不等式所二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示。 表示的平面区 域的理解；三、 留足够的时间 给学生思考， 让知识内化， 深入理解。 注意：我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界。不等式 Ax+By+C0 表 示的平面区域包括边界，把直线画成实线。 通过从观察实践猜想验证归纳， 从而使二元一次不等式 的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。 探究二：二元一次不等式表示直线哪一侧的平面区域 通过类 比， 盲人站的 这条路就如 同是研究问 两侧的池子 分别就是被 直线划分的 两个平面区 域， 两侧的水 温也有共同 的特性， 同侧 同温！ 这样学 生很容易就 可以想到只 要任意的在 某一侧取一 个特殊点就 由探究一得知，二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +B y +C=0 某一侧所有点组成的平面区域 思考：如何判断二元一次不等式 Ax + By + C -x 表示的平面区域. 在练习中再 次感受包括 边界画实线， 不包括边界 画虚线。 学生思考：观察上图，两个不等式表示的平面区域是有没有公共部分？能否用 不等式组表示出来？如果已知不等式组，能否画出平面区域？ 变式：用平面区域表示不等式组 x y 5 0思考将 x y 0例1和练习1 x 3 融合在一起， 的解集. 从形直观的 学生小结：如何确定二元一次不等式组表示的平面区域. 引出不等式 组表示的平 面区域。 知识整理，形成系统 由学生小结 得出知识点， 教师引导学 生领悟思想 方法， 提示学 生养成良好 总结方法思想：总结方法思想：建模、数形结合、转化、特殊到一般、类比思想 的思维习惯。 能力方面：能力方面：在推理的同时，逐步养成严谨的逻辑思维习惯。 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学案第 7 页 总结知识点：总结知识点： （1）二元一次不等式（组）表示的平面区域 （2）确定二元一次不等式表示平面区域的方法 布置作业，巩固提高 设 置 悬 作业：作业：教科书 P93 页 练习第 1,2 题； 疑，引起思 课后思考课后思考: : 据韩国中央日报9 月 27 日报道，韩国海军方面表示，韩美两国海军 26 考， 同时也为 下节课的学 习