人教版高中数学《二项式定理》精品教学设计

课题课题 二项式定理（一）二项式定理（一） 教材：教材：人教 A 版选修 2-3 第一章第三节 教学内容解析教学内容解析 在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金 钥匙，只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后，一方面是因为二项式定理的推 导过程及证明要用到计数原理，另一方面二项式系数是一些特殊的组合数，因此本课的学习对排列组合部 分知识的深化认识有好处.另外，二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备. 二项式定理还可以解决近似计算、 整除、不等式证明等问题， 有着综合性强、联系不同知识点的特点。 教学目标设置教学目标设置 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： （一）教学目标（一）教学目标 1 1、知识与技能：、知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.2.过程与方法：过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与 方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3.3. 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严 谨 （二）重、难点分析（二）重、难点分析 重点：重点：用计数原理分析(1 x)4、(a x)4的展开式，归纳得到二项式定理 难点：难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开式各项的形成规律 学生学情分析学生学情分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了计数原理和排列组合知识，具备一定的分析和解 决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但要把二项式定理与排列组合问题联系起来，还是比较困难的，因 此需要创设一个环境，从语言感知，文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。 教学策略分析教学策略分析 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1教法分析新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径， 通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性 原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学 创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验 知识的产生、发展和演变过程.变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习” ， 变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习 的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知 识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 2学法分析根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主 参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行归纳、类比迁移，对照学习。学生在教师营造 的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。 教学过程教学过程 （一）近似估算，引出问题（一）近似估算，引出问题 引题：如何近似计算高次方根，比如n2 【设计意图】【设计意图】通过用2试探近似估算方法可行性，用32验证方法的可推广性，用42揭示估算方法 的源头问题，引出研究二项式(1 x)n展开项的必要性，也吻合数学史发展的历程。 （二）逐步探究，发现规律（二）逐步探究，发现规律 1.1.探究一：探究一：(1 x)4展开式中展开式中 x项的系数是多少？ 项的系数是多少？ 问题一：(1 x)4展开式中x项是怎么形成的？ 问题二:系数是多少？ 【设计意图】【设计意图】从特殊的二项式中的指定的某项开始探究，大大降低学习的思维难度， ，引导学生从多项式乘 法法则出发，运用组合思想解决项的形成问题，突破本节课思维难点。 2.2.探究二：探究二：(1 x)4展开式还有哪些项？展开式还有哪些项？ 问题一：每一项是怎么产生的? 问题二; 共有多少项？ 【设计意图】【设计意图】利用其它项的特征分析，进一步明确组合思路，为后续推广作准备. 3.3.探究三：探究三：(a x)4展开式又是如何的？展开式又是如何的？ 【设计意图】【设计意图】 从一个量到两个量都要考虑， 这步探究的重点在于项的结构分析。 通过几个问题的层层递进， 引导学生进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学 生在后续的学习过程中有“法”可依 4.4.探究四：推广到一般情况会是怎么样的？探究四：推广到一般情况会是怎么样的？ 【设计意图】【设计意图】通过仿照(1 x)4、(a x)4展开式的探究方法，引发思考，由学生类比得出(ab)n的展开 式，从而上升形成一般结论。 （三）形成定理，说理证明（三）形成定理，说理证明 0n1n1knkknn二项式定理：(a b)n C n a C n abC n ab C n b (nN*) 证明：(ab)是 n 个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a 或选 b，由分步计数原理可 n bk(k 0,1,n)的形式，对于每一项ankbk， 它是由 k 个(ab)选了 b，nk 个(ab)选了 a 得到的，它出现的次数相当于从n 个(ab)中取 k 个 b 知展开式共有2项（包括同类项） ，其中每一项都是a k 的组合数C n ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理 nnk 【设计意图】【设计意图】二项式定理的证明采用“说理”的方法，从多项式乘法法则角度对展开过程进行分析，用计 数原理概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展 开式 （四）熟悉定理，简单应用（四）熟悉定理，简单应用 1.1.二项式定理的公式特征：二项式定理的公式特征： （由学生归纳，让学生熟悉公式）（由学生归纳，让学生熟悉公式） 项数：共有n 1项. 次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n 各项的次数都等于 n 012knk二项式系数: 依次为C n ，这里C n ,C n ,C n ,C n ,C n (k 0,1,n)称为二项式系数. knkk二项展开式的通项: 式中的C n ab叫做二项展开式的通项. 用T k1 表示. knkk即通项为展开式的第k 1项:T k1 =C n ab 2.2.例题应用：例题应用： 例 1.求(2 x)5的展开式. 变式训练：求(x 2)7的展开式. 【设计意图】【设计意图】熟练公式，考察对(a b)n）的展开理解，并且进一步明确展开式中各项的规律. 例 2. 求(1 2x)7展开式的第 4 项. 变式 1：求(1 2x)7展开式的第 6 项的二项式系数. 变式 2：求(1 2x)7展开式的x5项的系数. 【设计意图】【设计意图】掌握通项，区分二项式系数与系数，培养学生的运算能力. （五）课堂小结，课后延伸（五）课堂小结，课后延伸 1.1.小结：小结： 0n1n1knkknn知识层面：知识层面：公式：(ab)nC n a C na bC n ab C n b (nN*) knkk通项：T k1 =C n ab，k 0,1,2,3,n 方法层面：方法层面：1.从特殊到一般的探究方式. 2.从观察到归纳，从猜想到证明的思维模式. 2.2.作业作业 巩固型作业巩固型作业：课本 31 页习题 1、2、3、4 思维拓展型作业思维拓展型作业：试求(x+2y+z)6的展开式中含 xy2z3项的系数. 3.3. 拓展知识拓展知识 观看微视频二项式定理的那些事观看微视频二项式定理的那些事 教案设计说明教案设计说明 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础 本节课的教学重点是 “使学生掌握二项式定理的形成过程” ，在教学中，采用“问题探究”的教学模 式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段让学生体会研究问题的方式 方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方 式，让学生体验定理的发现和创造历程 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规 律在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特 征，为后面二项展开式的推导作铺垫为突破难点，本课采用有特殊到一般的推导思路，先以(1 x)4为 对象进行一个量的变化探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，再以(a x)4为 桥梁，重点分析各单项的构成，为推导(ab)n的展开式提供了思路，使学生在后续的学习过程中有“法” 可依 总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引导， 师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯 二项式定理课例点评二项式定理课例点评 1 1创设历史情境，关注知识背景创设历史情境，关注知识背景 二项式定理是多项式乘法的高级“产物” ，但对它的研究却源自“开高次方”执教者借 鉴数学发展史料，阐释近似估算 n 2 方法，使研究二项式定理的必要性一目了然，让定理形成 的过程自然而然，尤其在“重温、重走”中激发学生的学习内驱力 2 2分散教学难点，揭示数学本质分散教学难点，揭示数学本质 数学学习是教师引导下的“再创造” ,而“再创造” 的本质是学困之时、疑难之处为学 生搭建好合适的“脚手架”本节课的教学难点是如何把二项式展开从多项式乘法中脱胎出 来，自然地与计数原理、排列组合知识建立联系。执教者采用“先特殊后一般”、“先低次 后高次”、“先局部后整体”的探究策略，以研究“(1 x)4中 x 项的系数为什么是 4”为出 发点，以语言、图形、文字等 3 个不同感知为着眼点，启发引导建立“取数模型”，让学生 感受“用组合来研究二项式展开”的体验。 3.3. 突出主体地位，践行教学理念突出主体地位，践行教学理念 把课堂还给学生，既是课改的一个主方向，也是新课标的一种原动力执教者通过放手 探究(1 x)4一次项系数，拓宽学生的思维空间；通过合作探讨(a x)4展开式中项的结构，