平稳时间序列模型的性质概述(PPT 131页).ppt

2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,1,第五章平稳时间序列模型的性质,第一节自回归过程的性质第二节移动平均过程的性质第三节自回归移动平均过程的性质,第四章时间序列模型的性质,2,2020/6/10,第一节自回归过程的性质,一、一阶自回归过程AR(1)的性质二、二阶自回归过程AR(2)的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质,第四章时间序列模型的性质,3,2020/6/10,一、一阶自回归过程AR(1)的性质,一阶自回归模型的形式为：,或,第四章时间序列模型的性质,4,2020/6/10,1、平稳性和可逆性,a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。,B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，即应有：,第四章时间序列模型的性质,5,2020/6/10,2.ar(1)过程的自相关函数,第四章时间序列模型的性质,6,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,7,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,8,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,9,2020/6/10,通过上述推导可看出，当过程平稳即时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈指数衰减。,如果，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。,如果，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。,第四章时间序列模型的性质,10,2020/6/10,例1，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图,第四章时间序列模型的性质,11,2020/6/10,-6,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图,第四章时间序列模型的性质,12,2020/6/10,例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,呈指数衰减,第四章时间序列模型的性质,13,2020/6/10,例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图,第四章时间序列模型的性质,14,2020/6/10,-6,-4,-2,0,2,4,6,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,Y,例2，模拟生成的AR(1)过程趋势图,第四章时间序列模型的性质,15,2020/6/10,例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,呈正负交替指数衰减,第四章时间序列模型的性质,16,2020/6/10,3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）,A.偏自相关函数的一般公式,第四章时间序列模型的性质,17,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,18,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,19,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,20,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,21,2020/6/10,B.AR(1)过程的偏自相关函数,第四章时间序列模型的性质,22,2020/6/10,上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取决于。滞后一阶以后PACF截尾。,第四章时间序列模型的性质,23,2020/6/10,另一种思路：,根据定义：偏自相关函数是指扣除Xt和Xt-k之间的随机变量Xt-1,Xt-2,Xt-k-1等影响之后的Xt和Xt-k之间的相关性。对于p阶自回归过程，当sp时，xt与xt-s有直接的相关性；而sp时，两者没有直接的相关性。因此，对于AR(p)过程，在模型的滞后阶数以内，通常有非零的偏自相关系数；但在滞后阶数以外，偏自相关系数则为零。,第四章时间序列模型的性质,24,2020/6/10,例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,滞后一阶以后截尾,第四章时间序列模型的性质,25,2020/6/10,例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:,滞后一阶以后截尾,第四章时间序列模型的性质,26,2020/6/10,4.AR(1)过程的传递形式和格林函数,第四章时间序列模型的性质,27,2020/6/10,二、二阶自回归AR(2)过程的性质,二阶自回归模型的形式为：,或,第四章时间序列模型的性质,28,2020/6/10,B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。,第四章时间序列模型的性质,29,2020/6/10,2.AR(2)过程的自相关函数,第四章时间序列模型的性质,30,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,31,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,32,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,33,2020/6/10,通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即时，AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。,第四章时间序列模型的性质,34,2020/6/10,3.AR(2)过程的偏自相关函数,第四章时间序列模型的性质,35,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,36,2020/6/10,另一种思路：直接根据定义,第四章时间序列模型的性质,37,2020/6/10,通过上述证明可以得出如下结论：,第四章时间序列模型的性质,38,2020/6/10,例1，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,第四章时间序列模型的性质,39,2020/6/10,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例1.模拟生成的AR(2)过程趋势图,第四章时间序列模型的性质,40,2020/6/10,例1.模拟生成的AR(2)过程自相关图,呈混合指数衰,滞后二阶以后截尾,第四章时间序列模型的性质,41,2020/6/10,例2，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,第四章时间序列模型的性质,42,2020/6/10,-6,-4,-2,0,2,4,6,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例2.模拟生成的AR(2)过程趋势图,第四章时间序列模型的性质,43,2020/6/10,例2.模拟生成的AR(2)过程自相关图,呈混合指数衰减,滞后二阶以后截尾,第四章时间序列模型的性质,44,2020/6/10,例3，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,第四章时间序列模型的性质,45,2020/6/10,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,模拟生成的AR(2)过程趋势图,第四章时间序列模型的性质,46,2020/6/10,模拟生成的AR(2)过程自相关图,呈阻尼正弦波衰减,滞后二阶以后截尾,第四章时间序列模型的性质,47,2020/6/10,4.AR(2)过程的传递形式和格林函数,（1）传递形式（2）格林函数,第四章时间序列模型的性质,48,2020/6/10,三、p阶自回归过程AR(p)的性质,二阶自回归模型的形式为：,或,第四章时间序列模型的性质,49,2020/6/10,B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。,第四章时间序列模型的性质,50,2020/6/10,对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：,这是自回归过程平稳的必要条件之一。,第四章时间序列模型的性质,51,2020/6/10,2.AR(p)的自相关函数ACF,第四章时间序列模型的性质,52,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,53,2020/6/10,通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有|i|p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以，AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞后p阶截尾。,第四章时间序列模型的性质,56,2020/6/10,4.AR(p)模型的传递形式和格林函数,(1)传递形式(2)格林函数,第四章时间序列模型的性质,57,2020/6/10,例:考察如下AR模型的自相关和偏自相关,第四章时间序列模型的性质,58,2020/6/10,ACF,PACF,第四章时间序列模型的性质,59,2020/6/10,ACF,PACF,第四章时间序列模型的性质,60,2020/6/10,ACF,PACF,第四章时间序列模型的性质,61,2020/6/10,ACF,PACF,第四章时间序列模型的性质,62,2020/6/10,第二节移动平均过程的性质,一、一阶移动平均过程MA(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质,第四章时间序列模型的性质,63,2020/6/10,一、一阶移动平均过程MA(1)的性质,一阶移动平均模型MA(1)的形式为：,其中：xt为零均值平稳序列，t为零均值的白噪声。,第四章时间序列模型的性质,64,2020/6/10,1.MA(1)过程的平稳性和可逆性,A.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，(B)=11B=0的根必须在单位圆外，即有：,第四章时间序列模型的性质,65,2020/6/10,注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果10t为白噪声,滞后一阶截尾,呈负指数衰减,第四章时间序列模型的性质,76,2020/6/10,例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：,第四章时间序列模型的性质,77,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,78,2020/6/10,Xt=t(0.85)t-1=(1(0.85)B)t其中1=0.850,呈正负交替指数衰减,滞后一阶截尾,第四章时间序列模型的性质,79,2020/6/10,4.MA(1)过程的逆转形式,第四章时间序列模型的性质,80,2020/6/10,二、二阶移动平均过程MA(2)的性质,二阶移动平均模型MA(2)的形式为：,其中：xt为零均值平稳序列，t为零均值的白噪声。,第四章时间序列模型的性质,81,2020/6/10,1.MA(2)过程的平稳性和可逆性,A.平稳性：MA(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。,第四章时间序列模型的性质,82,2020/6/10,2.MA(2)过程的自相关函数ACF,第四章时间序列模型的性质,83,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,84,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,85,2020/6/10,2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF),第四章时间序列模型的性质,86,2020/6/10,对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:11B2B2=0的根是实数，则kk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则kk是一衰减的正弦波。,第四章时间序列模型的性质,87,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,88,2020/6/10,滞后二阶截尾,指数衰减(拖尾),第四章时间序列模型的性质,89,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,90,2020/6/10,滞后二阶截尾,阻尼正弦波衰减(拖尾),第四章时间序列模型的性质,91,2020/6/10,4.MA(2)过程的逆转形式,第四章时间序列模型的性质,92,2020/6/10,三、q阶移动平均过程MA(q)性质,第四章时间序列模型的性质,93,2020/6/10,1.平稳性和可逆性,A.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性，,的根必须在单位圆外。,第四章时间序列模型的性质,94,2020/6/10,对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最基本的一点：,这是移动平均过程可逆的必要条件之一。,第四章时间序列模型的性质,95,2020/6/10,2.MA(q)过程的自相关函数(ACF),第四章时间序列模型的性质,96,2020/6/10,因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。,第四章时间序列模型的性质,97,2020/6/10,3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）,要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由,的根确定的，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。,第四章时间序列模型的性质,98,2020/6/10,例:考察如下MA模型的相关性质,第四章时间序列模型的性质,99,2020/6/10,MA模型的自相关系数截尾,第四章时间序列模型的性质,100,2020/6/10,MA模型的自相关系数截尾,第四章时间序列模型的性质,101,2020/6/10,MA模型的偏自相关系数拖尾,第四章时间序列模型的性质,102,2020/6/10,MA模型的偏自相关系数拖尾,第四章时间序列模型的性质,103,2020/6/10,MA模型可逆性,MA模型自相关系数的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数,第四章时间序列模型的性质,104,2020/6/10,可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。,第四章时间序列模型的性质,105,2020/6/10,第三节自回归移动平均ARMA(p,q)过程,一、ARMA(1,1)的性质二、ARMA(p,q)过程的性质,第四章时间序列模型的性质,106,2020/6/10,一、ARMA(1,1)的性质,第四章时间序列模型的性质,107,2020/6/10,1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性,第四章时间序列模型的性质,108,2020/6/10,2.ARMA(1,1)过程的ACF,第四章时间序列模型的性质,109,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,110,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,111,2020/6/10,通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。当k=1时，自相关系数有一峰值，并且是由1和1共同决定，。当k2时，自相关系数仅取决于1即自回归部分对应的差分方程的根，呈指数衰减。,第四章时间序列模型的性质,112,2020/6/10,3.ARMA(1,1)过程的PACF,ARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是滞后一阶有一峰值，一阶以后呈指数衰减，不过指数衰减的形态由1和1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多,第四章时间序列模型的性质,113,2020/6/10,例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：,第四章时间序列模型的性质,114,2020/6/10,例1.模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF,滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减,滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减,第四章时间序列模型的性质,115,2020/6/10,例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：,第四章时间序列模型的性质,116,2020/6/10,例2.模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF,指数拖尾,指数拖尾,滞后一阶有峰值,第四章时间序列模型的性质,117,2020/6/10,4.ARMA(1,1)过程的传递形式和逆转形式,（1）传递形式和格林函数：xt=-1(B)(B)at（2）逆转形式和逆函数-1(B)(B)xt=at,第四章时间序列模型的性质,118,2020/6/10,二、ARMA(p,q)过程的性质,第四章时间序列模型的性质,119,2020/6/10,1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性,第四章时间序列模型的性质,120,2020/6/10,第四章时间序列模型的性质,121,2020/6/10,2.ARMA(p,q)过程的ACF,第四章时间序列模型的性质,122,2020/6/10,第