平面向量中的线性问题专题(附答案)

.平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)(2015课标全国)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.(2)如图所示，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.(3)(，为实数)，若A、B、C三点共线，则1.变式训练1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若k，则k等于()A.1 B.2C.2 D.2(2)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则_.题型二平面向量的坐标运算例2(1)(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.(2)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：求满足ambnc的实数m，n；若(akc)(2ba)，求实数k；若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.变式训练2(1)(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.高考题型精练1.(2015四川)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x等于()A.2 B.3 C.4 D.62.(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A.|b|1 B.abC.ab1 D.(4ab)3.已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A.1 B. C. D.4.(2014课标全国)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B. C. D.6.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|，|2，若(，R)，则()A.4，2 B.，C.2， D.，7.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.8.已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_.9.(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.10.(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.11.(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.12.已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时a的值.平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)(2015课标全国)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.答案A解析3，3()，即43，.(2)如图所示，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.解由D，O，C三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，k2k2()k2(ba)k2ak2b(k2为实数)，又a(k1ak1b)(1k1)ak1b，由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共线，所以所以ab.所以a(ab).点评平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)(，为实数)，若A、B、C三点共线，则1.变式训练1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若k，则k等于()A.1 B.2C.2 D.2(2)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则_.答案(1)A(2)解析根据向量的基本定理可得()()().所以，k1.所以k1.故选A.(2)依题意得，；又，于是有；又与不共线，因此有由此解得，2，所以.题型二平面向量的坐标运算例2(1)(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.答案3解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.(2)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：求满足ambnc的实数m，n；若(akc)(2ba)，求实数k；若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得解得或d(3，1)或d(5,3).点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2(1)(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.答案(1)1(2)m解析(1)设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.高考题型精练1.(2015四川)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x等于()A.2 B.3 C.4 D.6答案B解析a(2,4)，b(x,6)，ab，4x260，x3.2.(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A.|b|1 B.abC.ab1 D.(4ab)答案D解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选D.3.已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A.1 B. C. D.答案D解析过C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.(2014课标全国)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B. C. D.答案C解析如图，()2.5.设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，则“a(4,2)”是“ab”成立的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析若a(4,2)，则|a|2，且ab都成立；ab，设ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4,2)或a(4，2).因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要条件.6.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|，|2，若(，R)，则()A.4，2 B.，C.2， D.，答案C解析设与，同方向的单位向量分别为a，b，依题意有4a2b，又2a，b，则2，所以2，.7.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案4解析以向量a和b的交点为原点建直角坐标系(图略)，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，解之得2且，故4.8.已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_.答案1解析由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，tan 150，即，1.9.(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.答案解析ab0，ab，|a|b|b|，|a|.又|a|1，|.10.(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.答案解析因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .11.(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.答案解析()，x，y.12.已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时a的值.(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).当点M在第二或第三象限时，有