2012年北京市高级中等学校招生

2012年北京市高级中等学校招生考试数学试卷适中0.67824、25(满分：120分时间：120分钟)一、选择题(本题共32分，每小题4分下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的)1. 9的相反数是（ ）A. B. C. 9 D. 92. 首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60110000000美元将60110000000用科学记数法表示应为（ ）A. 6.011109 B. 60.11109 C. 6.0111010 D. 0.601110113. 正十边形的每个外角等于（ ）A. 18 B. 36 C. 45 D. 604. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱柱第4题图5. 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分AOC，若BOD76，则BOM等于（ ）A. 38 B. 104 C. 142 D. 144第6题图7. 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量(度)120140160180200户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）A. 180，160 B. 160，180 C. 160，160 D. 180，1808. 小翔在如图所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练的距离为y(单位：米)，表示y与t的函数关系的图象大致如图所示，则这个固定位置可能是图中的（ ）A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q第8题图二、填空题(本题共16分，每小题4分)9. 分解因式：mn26mn9m 10. 若关于x的方程x22xm0有两个相等的实数根，则m的值是 11. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE40 cm，EF20 cm，测得边DF离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则树高AB m.第11题图12. 在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m (用含n的代数式表示)第12题图三、解答题(本题共30分，每小题5分)13. 计算：(3)02sin45()1.14. 解不等式组：15. 已知0，求代数式(a2b)的值16. 已知：如图，点E，A，C在同一直线上，ABCD，ABCE，ACCD.求证：BCED.第16题图17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y(x0)的图象与一次函数ykxk的图象的交点为A(m，2)(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数ykxk的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足PAB的面积是4，直接写出点P的坐标第17题图18. 列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量四、解答题(本题共20分，每小题5分)19. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BAC90，CED45，DCE30，DE，BE2.求CD的长和四边形ABCD的面积第19题图20. 已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BE与O相切；(2)连接AD并延长交BE于点F，若OB9，sinABC，求BF的长第20题图21. 近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分开通时间开通线路运营里程(千米)19711号线3119842号线23200313号线41八通线1920075号线2820088号线510号线25机场线2820094号线282010房山线22大兴线22亦庄线23昌平线2115号线20北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表(截至2010年底) 图 图第21题图请根据以上信息解答下列问题：(1)补全条形统计图并在图中标明相应数据；(2)按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？(3)要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？22. 操作与探究：(1)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P.点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段AB，其中点A，B的对应点分别为A，B.如图，若点A表示的数是3，则点A表示的数是_；若点B表示的数是2，则点B表示的数是_；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合，则点E表示的数是_；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m0，n0)，得到正方形ABCD及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A，B.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F与点F重合，求点F的坐标 图 图第22题图五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23. 已知二次函数y(t1)x22(t2)x在x0和x2时的函数值相等(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A(3，m)，求m和k的值；(3)设二次函数的图象与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线ykx6向上平移n个单位请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围第23题图24. 在ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.(1)若60且点P与点M重合(如图)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；(2)在图中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围第24题图25. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|.例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|13|25|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|25|3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)(1)已知点A(，0)，B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线yx3上的一个动点，如图，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标第25题图6. 2012年北京市高级中等学校招生考试数学试卷中考专家试卷评析陆亚彬本套试卷着重考查学生的基础知识和计算能力，同时重视学生数学思想、学科综合能力的考查试卷的难度分布符合北京市中考的难度分布特点总体来说，试卷难度较大，呈现形式较新颖主要亮点如下：亮点题号亮点描述易错题8误认为纵轴表示的是小翔运动的距离而无法做出正确的判断较难题24第(3)问的突破口是在第(2)问的基础上利用三角形的内角和转化成不等式新变化1. 题目的背景和题型比较新颖如第25题第一次在代数题目中用到了定义新运算，知识点融合度较高2. 弱化了对梯形的考查解答题第19题将以往对梯形的考查，换成对一般四边形的考查3. 与圆有关的题目增多如选择题第8题、解答题第20题均是对圆的考查1. D【解析】本题考查了相反数的概念. 解题思路：和为零的两个数互为相反数，因为990，于是9的相反数是9.2. C3. B【解析】本题考查多边形的外角和解题思路：多边形的外角和等于360，由于正多边形的每一个外角都相等，于是正十边形的每一个外角等于36.4. D【解析】本题考查几何体的三视图解题思路：从主视图和左视图可知这个几何体是一个柱体，再看俯视图，可知它有三条棱，于是这个几何体是三棱柱本题也可以反过来思考，即看给出的四个几何体，哪个的三视图符合题目中给定的三视图5. B【解析】本题考查等可能事件的概率解题思路：抽取一份奖品有六种等可能情形，其中是科普读物的有两种可能，于是P(恰好取到科普读物).6. C【解析】本题考查对顶角及角平分线的性质. 解题思路：由于对顶角相等，所以COABOD76，而射线OM平分AOC, 所以COM38，于是BOMCOMBOCCOM180BOD3818076142.7. A8. D【解析】本题考查函数的图象. 解题思路：跑步者与教练的距离先渐远再渐近再渐远，应该是Q点纵轴表示的是小翔与教练之间的距离，不是小翔的走过的路程9. m(n3)2【解析】先提公因式，再用完全平方公式进行第二次分解：mn26mn9mm(n26n9)m(n3)2.10. 1【解析】本题考查一元二次方程根的判别式解题思路：一元二次方程ax2bxc0(a0) 如果有两个相等的实数根，则b24ac0，于是(2)241(m)0，解得m1.对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个相等的实数根，则b24ac0；如果方程没有实数根，则b24ac0；如果方程有两个不相等的实数根，则b24ac0.11. 5.5【解析】本题考查相似三角形的实际应用解题思路：由于DD，FEDBCD90，所以FEDBCD，于是，即，得BC4，所以ABBCAC41.55.5(m)12. (3，0)或(4，0)；6n3【解析】用直尺连连，数整点个数，当m3时，点B的坐标是(3，0)或(4，0)；当n1时，B(4，0)，m31；当n2时，B(8，0)，m33；当n3时，B(12，0)，m35；n, B(4n，0)，m3(2n1)6n3.13. 【思路分析】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数运算解：原式1328(4分)27.(5分)14. 解：解4x3x，得x1，(2分)解x42x1，得x5，(4分)所以，不等式组的解集为：x5.(5分)15. 解：原式(a2b).(3分)设k，则a2k，b3k，代入上式，得.(5分)16. 【思路分析】由于图形比较简单，容易看出要证BCED，只要证这两边所在的三角形全等，已知条件已经有两边对应相等，由平行线可得他们的夹角相等，由“SAS”可证两个三角形全等证明：ABCD, BACECD.(2分)又ABCE，ACCD.BACECD(SAS)，(3分)BCED.(5分)17. 【思路分析】(1)点在图形上，则点的坐标满足解析式，先把点A代入反比例函数，得到m的值，再将m代入一次函数的解析式，由此可求出一次函数的解析式；(2)可设P点的坐标，设直线与x轴相交于点C，计算PAB的面积时，用分割法，用含P点的坐标表示PC时，注意要分两种情况来讨论，即点P在点C的左侧时和点P在点C的右侧时，也可用绝对值来表示解：(1)把点A(m，2)代入反比例函数解析式，得2，m2.(1分)把点A(2，2)代入ykxk，得22kk，解得k2，一次函数的解析式为：y2x2；(3分)(2)P(3，0)或(1，0)(5分)18. 【思路分析】本题中的等量关系是不同滞尘量所需的两种树叶的片数相同，由此可列出分式方程，但要注意解分式方程后需要验根解：设一片国槐叶一年平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年平均滞尘量为(2x4)毫克(1分)由题意得：，(2分)整理，得：x22.检验：将x22代入分式分母中，分母不等于零则，x22为此方程的根(4分)答：一片国槐树叶一年平均滞尘量为22毫克(5分)19. 【思路分析】求CD的长需要构造直角三角形，考虑过点D作DFAC于点F，可得直角三角形，从而求得CD的长及四边形ABCD的面积证明：过点D作DFAC于点F，CED45，ABE、DEF均为等腰直角三角形DE， EFDF1，CD2DF2，(2分)CF.又BE2，ABAE2.(3分)S四边形ABCDSABCSACD AC(ABDF)(3)3(3)(5分)20. 【思路分析】(1)要证BE是O的切线，需要证EBOB，而CE是O的切线，连接CO，用全等的知识来证EBO90；(2)本题需要用解直角三角形及相似的知识来求BF的长(1)证明：连接OC，则OCCE，DCODCE90，OCOB，DCODBO，DBODCE90 第20题图由垂径定理，得CDBD，CDEBDE90，DEDE，CDEBDE，DCEDBE，DBODBE90，BE切O于点B；(2分)(2)解：如图，过点D作DGAB于点G；则ADGAFB，OB9，sinABC，ODOBsinABC6，OGODsinODGODsinABC4.由勾股定理，得：DG2，AG9413，(4分)ADGAFB，即，BF.(5分)21. 【思路分析】(1)2008年的总里程为200千米，2009年开通了28千米，于是2009年的总里程为20028228(千米)；(2)由2010年的总里程为336千米，占33.6%可计算出2020年规划里程；(3)分别算出2011年和2015年各自规划的里程就可以算出平均四年需新增运营里程解：(1)2009年的总里程为：20028228(千米)，条形统计图完成如下：第21题图(2分)(2)33633.6%1000(千米)；(3分)(3)100036.7%367(千米)，367(372336)331，331482.75(千米)(5分)22. 【思路分析】(1)设P点的坐标为(x，0)，根据运动规则，P点的坐标为(x1，0)，由此能算出(1)中几个点的坐标；(2)先根据A、B两点坐标和，求出a，m，n，再按操作的规则就可算出点F的坐标解：(1)0；3；.(2分)(2)根据题意，得3am1 ，n2，3am2，解得a，m，n2；设F(x，y)，于是有：xx，y2y，解得：x1，y4，所以F(1，4)(5分)23. 【思路分析】(1)把x0和x2的函数值算出来，得到一个等式，就可求出t；(2)把A(3，m)代入二次函数解析式，可求得m，再代入直线解析式，就可求得k；(3)B、C两点平移后的坐标为(1n，0)，C(3n，0)，直线平移后的解析式为ykx6n，把这两个点的坐标代入直线可求得n的值解：(1)由题意可得：4(t1)4(t2)，解得t，所以抛物线的解析式为：yx2x.(3分)(2)当x3时，m936，把(3，6)代入直线解析式ykx6，得63k6，解得k4.(5分)(3) B、C两点平移后的坐标为B(1n，0)，C(3n，0)，直线平移后的解析式为y4x6n，把这两个点的坐标代入y4x6n可得求得n 和n6，所以n6.(7分)24. 【思路分析】(1)按要求，可作出满足条件的图，容易算出CDB的度数为30；(2)连接PC，则PCPAPQ，通过计算可得CDB90；(3)要使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，则点Q应该在AC右侧，当Q与C重合且PQQD时，可算得45，由(2)题可知当点P与点M重合，PQQD时60，所以4560.解：(1)作图如图，CDB30；(2分)(2)如图，连接PC，AD，易证APDCPD，APPC，ADBCDB，PADPCD.又PQPA，PQPC，