平面向量在几何中的应用教学设计

2.4.1 向量在平面几何中的应用 教学设计 年庭波（高三数学组）一、教学目标1知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法3情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 二、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、教学方法 本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。四、教学内容安排：教学环节教学内容师生互动设计意图复习准备课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的?（2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？讨论：（1）若O为重心,则+= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行新课引入平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.例如： 平行四边行中，设,，则（平移），（长度）向量，的夹角为 讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例（3）向量平行、垂直的判定方法 让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等把运算结果翻译成几何关系应用举例例1：，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法例2：求证平行四边形对角线互相平分小结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底和，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。问题4 如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明，或。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。例3：已知正方形ABCD（图2-57），P为对角线AC上任意一点，于点E，于点F，连接DP，EF。求证DPEF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。问题5 如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明两向量数量积为0。将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程本题用坐标法。用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。课堂练习练习1 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和练习2。在平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积猜想：AR 、 RT 、TC之间的关系？利用平面向量基本定理以及向量的运算证明进一步巩固所学知识，归纳方法归纳小结本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤师生交流共同完成帮助学生总结知识，归纳方法布置作业练习：课本108 B组第5题作业：习题学生独立完成巩固所学方法，规范解题步骤三观就是世界观、价值观、人生观，这三观不合的人是不太可能做朋友的，勉强不来的。物以类聚，人以群分。三观，才是人和人之间最大的障碍！三观不合的人，所说的话难有交集，更谈不上碰出火花，寒暄片刻尚可，相处时间稍长，便如鸡同鸭讲，彼此都觉得索然无味，甚至有可能互相伤害。有一则寓言说，青蛙和老鼠成了好友，想时时刻刻都在一起。于是，它们把脚绑在了一起。刚开始，它们在地面上行走正常，还能吃到谷子。当它们来到池塘边时，青蛙一下就跳进了水里，把老鼠也拖下了水。青蛙在水里玩得高兴，而可怜的老鼠不会游泳，淹死了。最后，老鼠的尸体浮上水面，它的脚仍然和青蛙绑在一起。一只老鹰发现了老鼠，便冲向水面，抓起老鼠，而青蛙也跟着被提出水面，成了老鹰的美食。三观不同的人密切来往，就像寓言中的青蛙和老鼠，只会给双方带来伤害。摸不透的心就算了，不必费力去揣摩；看不清的人就远躲，不必劳神去猜测。人生短暂，精力有限。我们应该将所有倾注于所爱的人、相处愉快的人。对于那些志不同道不合的朋友，我们大可以选择悄悄离开。毕竟，谁的生活里也不会缺了一个人就不行。所谓打交道，交在其次，重要的是有相同的道，也就是三观要合。二、大路朝天，各走一边人与人之间互相理解并不容易，观念差异大的人则更难。贪婪的人怎么也无法理解有些人视钱财如浮云，势利的人怎么也不会相信有些人对待别人可以做到一视同仁。人都容易以自己内心所想的为标准，以此来分析和判断他人。如果有人的言行跟自己内心的标准不一致，则认为他人是装腔作势，虚伪透顶，这实在是自以为是！在这个世界上，总有一些人是看你不顺眼的。没关系，你走你的阳关道，我过我的独木桥，相安无事便好。朋友，没有必要强求，意气相投就真心相处，看不惯的就拂袖而去，大路朝天，各走一边。不必把太多人，请进生命里。若他们走进不了你内心，就只会把你的生活搅扰得一地鸡毛。生活无需过多陪衬，三观不和的朋友多了，越热闹反而越让人感到冷清。三、圈子不同，不必强融人是群居动物，怎么可能离开群居而独自生存？这是圈子存在的必要性。对我们平常百姓来说，处世方式相近，三观较为一致的，自然就在同一个圈子，相互帮助，同进同退。如果我们一路同行，那便风雨同舟；如果我们只是彼此的过客，那便