传热学11-一维稳态和非稳态导热

冶金传输原理,冶金工程专业本科生必修课,北京科技大学冶金与生态工程学院,冶金传输原理第二部分传热学第十一章：一维稳态和非稳态导热吴铿2011.04.05,第十一章一维稳态和非稳态导热,11.1通过平壁的一维稳态导热11.2通过圆筒壁的一维稳态导热11.3非稳定导热的基本概念11.4薄材的非稳态导热11.5半无限大物体的一维非稳态导热11.6有限厚物体的一维非稳态导热11.7导热问题的数值解法的简介,一、第一类边界条件：表面温度为常数单层平壁几何条件：单层平板；s；物理条件：、cp、已知；无内热源；时间条件：稳态导热，T/t=0；边界条件：第一类。微分方程式可简化：,11.1通过平壁的一维稳态导热,第一类边条件,直接积分得：,带入边界条件：,边界条件,将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方程式。,11.1通过平壁的一维稳态导热,热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况多层平壁的导热多层平壁：由几层不同材料组成，房屋的墙壁白灰内层、水泥沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成；假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等；,11.1通过平壁的一维稳态导热,三层平壁的导热流密度分别为：,n层平壁导热流密度为,界面温度,例题1：图为具有内热源并均匀分布的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽远大于壁厚，平壁两表面温度很为恒为Tw，内热源强度为qv，平壁材料的导热系数为常数。试求稳态导热时，平壁内的温度分布和中心温度。,11.1通过平壁的一维稳态导热,解：因平壁的长、宽远大于厚度，故此平壁的导热可认为是一维稳态导热，这时导热微分方程式可简化为:,相应的边界条件为：x=s时，T=Twx=-s时，T=Tw,11.1通过平壁的一维稳态导热,可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：,求解上述微分方程，得：,式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：,所以，平壁内温度分布为：,例题2：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度分别为s1=460mm；s2=230mm，导热系数分别为：1=0.7+0.6410-3TW/m；2=0.14+0.1210-3TW/m。炉墙两侧表面温度各为T1=1400；T3=100，求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交界处的温度。解：按试算法，假定交界面温度为t2=900，计算每层砖的导热系数,11.1通过平壁的一维稳态导热,计算通过炉墙的热流密度：,11.1通过平壁的一维稳态导热,计算界面温度：,计算将求出的Tw2与原假设的Tw2相比较，若两者相差不大(工程上一般小于4%)，则计算结束，否则重复上述计算，直至满足要求为止。现在两者相差甚大，需重新计算。重设Tw2=1120，则：1=0.7+0.6410-3(1400+1200)/2=1.53W/m2=0.14+0.1210-3(1200+100)/2=0.218W/m,11.1通过平壁的一维稳态导热,Tw2与第二次假设的温度值相近，故第二次求得的q和Tw2即为正确的结果。,二、第三类边界条件周围介质为常数导热微分方程一维形式,边界条件,11.1通过平壁的一维稳态导热,对T求导，得：,由,由,在确定出C1和C2后，可得到壁内的温度分布：,11.1通过平壁的一维稳态导热,综合传热系数或传热系数,多层平壁,平壁面积A,一、第一类边界条件：表面温度为常数单层圆筒壁,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面的方程，考虑第一类边界条件：,第一类边界条件：,对该方程积分两次,得出：,第一次积分,第二次积分,应用边界条件,获得两个系数,将系数带入第二次积分结果,得到圆筒壁内温度分布，温度分布按对数曲线变化,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,温度梯度表达式：,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,通过圆筒壁的热流量：,或,在工程计算中，常按单位长度来计算热流量，并记为qL,单位长度导热热阻,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,多层圆筒壁不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算,单位长度的热流量,热流量,第i层和i+1层之间接触面的温度,通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,由单层圆筒壁考虑多层圆筒壁，见右公式,二、第三类边界条件：周围介质温度为常数,该问题可看作在第三类边界条件下，通过圆筒壁的一维稳态导热问题,例题3：有一半经为R，具有均匀内热源、导热系数为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为Tw，内热源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简化得到，即:,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对称于中心线，另一个边界条件可表示为r=0时，dT/dr=0。将微分方程分离变量后两次积分，结果为：,根据边界条件，在r=0时，dT/dr=0。可得C1=0；利用另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,例题4高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖，中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度分别为(mm)：s1=115；s2=230；s3=10；s4=10，导热系数分别为(W/m)：1=1.3；2=0.18；3=0.22；4=52。,圆柱体内温度分布,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,热风管道内径d1=1m，热风平均温度为1000，与内壁的给热系数1=31W/m2，周围空气温度为20，与风管外表面间的给热系数为10.5W/m2，试求每米热风管长的热损失。解：已知d1=1m；d2=d1+2，s1=1+0.23=1.23m；d3=d2+2，s2=1.23+0.46=1.69m；d4=d3+2，s3=1.69+0.02=1.71m；d5=d4+2，s4=1.71+0.02=1.73m。Tf1=1000；Tf2=20，可求出每米管长的热损失为：,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,三、临界绝热层直径工程上为了减少管道的散热损失，常用的方法是在管道外表面敷设绝热层，但应该注意到，这种方法并不是任何情况下都能减少散热损失，这取决于在管道外面敷设绝热层后总热阻将如何变化。,设在一管道外面包上一层绝热层(如图所示)。此时单位管长的总热阻为：,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,式中：1为管内流体与管内壁之间的给热系数，W/m2；2为绝热层外表面与周围空气之间的给热系数，W/m2；dx为绝热层外直径，m；d1和d2分别为管道的内径和外径，m；1和x分别为管道材料和绝热层材料的导热系数，W/m。当管道一定时，d1、d2、1、1和2都是定值，公式中前两项热阻的数值一定。在绝热层材料选定后，x也已给定，因此，单位管长的总热阻仅是dx的函数。当dx增加时，(1/2x)ln(dx/d2)增大，而1/(dx2)减小。如将对dx求导，并令其等于零，即,则可求得的极值条件：,11.2通过圆筒壁的一维稳态导热,式中：dc为临界绝热层直径，m。如继续求对dx的二阶导数，可得d2()/d(dx)2，这表明在绝热层外径等于临界绝热层直径dc时，单位管长的总热阻为极小值，此时相应的热损失最大，如图所示。,当管道外径d2d矿热棉，敷设绝热层，热损失将增加，故不合适。而用矿渣棉作绝热层时，d石棉0，加热过程；T/trh，因此，可以忽略对流换热热阻；当Bi0时，rrh，因此，可以忽略导热热阻。,Bi准则对无限大平壁温度分布的影响,11.4薄材的非稳态导热,11.4薄材的非稳态导热,二、薄材的非稳态导热，集总参数法：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，Bi0，温度分布只与时间有关，即T=f(t)，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。,任意形状的物体，参数均为已知，t=0；T=T0。将其突然置于温度恒为Tf的流体中。由能量守恒可知：,或,初始条件,得,11.4薄材的非稳态导热,根据初始条件可得到C=0，于是最终的解为：,其右端的指数可以写成：,需要特别指出，如用Biv来判断物体是否为薄材时，Biv应满足如下条件,11.4薄材的非稳态导热,例题6用热电偶测量流体温度。已知流体温度为200，插入流体前热电偶接点温度为20。假定热电偶接点为球形，直径为1mm，其密度=8000kg/m3,=52W/m，cp=418J/kg，接点表面与流体之间的给热系数=120W/m2。,对厚为2的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球,11.4薄材的非稳态导热,满足薄材条件，所以可按薄材处理，根据薄材公式可得：,试求热电偶指示温度达199时所需的时间。解：首先计算Biv判断热电偶接点是否为薄材。,一、第一类边界条件：表面温度为常数,导热微分方程为：,引入无因次量：,初始条件和边界条件,由：,11.5半无限大物体的一维非稳态导热,高斯误差函数,11.5半无限大物体的一维非稳态导热,由,根据傅里叶定律：,由温度与误差函数的关系：,当=2时，erf()1,这表明在x点处的温度尚未变化，仍为初始温度T0。由此关系可确定经过t时间后壁内温度开始变化的距离x：,上式对x求导得：,例题7用热电偶测得高炉基础内某点的温度为350，测定时间离开炉120h，若炉缸底部表面温度为1500，炉基材料的热扩散系数a为0.002m2/h，炉基开始温度为20，求炉缸底部表面到该测温点的距离。解：高炉基础可视为半无限大物体，界面(x=0处)为炉缸底部表面。因为已知表面温度，故是第一类边界条件的问题。,0，t内累计传热量：,令x=0即得边界面上的导热流密度：,11.5半无限大物体的一维非稳态导热,已知：T0=20；Tw=1500；T=350，根据半无限大公式可以计算出高斯误差函数：解：由过于温度和误差函数的关系式：,由相关数据表可查得：当,11.5半无限大物体的一维非稳态导热,例题81650的钢水很快注入一直径为3m，高度为3.6m的钢包，钢包初始壁温均匀为650，包内钢水深度为2.4m。已知包壁材料的热物性参数为：=1.04W/m,=2700kg/m3，cP=1.25kJ/kg。试求在开始15min内：(1)由于导热传入包壁的热量；(2)包壁内热量传递的距离。解：假定钢包壁可视作半无限大物体，在钢水和包壁界面(x=0)处温度不变，恒为钢水温度。一般来说，包壁厚度与钢包直径相比很小，可按平壁处理。,11.5半无限大物体的一维非稳态导热,由此可见，开始15min内，热量传递的距离比一般钢包壁的耐火材料厚度小，故按半无限大物体计算是可以的。,开始15min内传入包壁的热量为：,由热量传递距离可计算得：,11.5半无限大物体的一维非稳态导热,11.6有限厚物体的一维非稳态导热,一、第一类边界条件，表面温度为常数,平板无因次中心温度,其中,其函数关系如上图所示，图中还绘出了其它形状物体的关系，如1-平板；2-方柱体；3-圆柱体(无限长)；4-立方体；5-H=d的圆柱体；6-球体。,例题9厚度为200mm的钢坯，在温度为1000的加热炉内双面对称加热，假定钢坯初始温度为20，在加热过程中炉内平均给热系数为=174W/m2，钢的平均热物性常数为=34.8W/m，a=0.55610-5m2/s，试求钢坯在炉内加热36min时钢坯的中心和表面温度。解：因钢坯在炉内紧密排列，故相当于平板状物体的加热。双面对称加热时，其透热深度s=0.2/2=0.1。因此，在此条件下：,3.4一维非稳态导热的分析解,然后求钢坯表面(x/s=0.1)温度，由相关可以图查得，当x/s=1.0；1/Bi=2时：,3.4一维非稳态导热的分析解,先计算中心温度，根据上述结果和1/Bi和Fo的关系图，可得：,所以钢坯中心温度为：,进而给出表面温度,例题10有一直径为200mm的圆钢，加热至800并假定断面温度均匀，然后浸入温度为60的循环水中淬火。设淬火过程中钢的表面温度与水温相同，并始终保持不变。其平均热扩散系数a=0.04m2/h，求经过6min后圆钢的中心温度。解：若忽略在圆钢表面形成的气膜影响，则可以为淬火过程中圆钢表面温度保持为60。已知：T0=800,a=0.04m2/h，R=d/2=0.1m,t=6/60=0.1h，则,3.4一维非稳态导热的分析解,圆钢中心温度为：,11.6有限厚物体的一维非稳态导热,三、第三类边界条件，周围介质温度为常数,这类问题的微分方程的解为：,11.7导热问题的数值解法的简介,一、有限元法,有限元法是借助计算机解决场问题的近似计算方法，它运用离散的概念，使整个问题由整体连续到分段连续；由整体解析转化为分段解析，从而使数值法与解析法互相结合，互相渗透，形成一种新的传热数值计算方法。有限元法把整个求解区域分解成为有限个子域，每一子域内运用变分法，使原问题的微分方程组退化为代数方程组，最终得到数值解。有限元法把求解区域看作许多小的在节点处互相连接的子域(或单元)，其模型给出基本方程的近似解，而且它有成熟的大型软件系统支持。,11.7导热问题的数值解法的简介,二、有限差分法,基本思想：用有限个离散点(节点)上物理量的集合代替在时间、空间上连续的物理量场，按物理属性建立各节点的代数方程并求解，来获得离散点上被求物理量的集合。,11.7导热问题的数值解法的简介,有限差分离散方程(称为差分方程)的常用导出方法有三种：直接法、热平衡法、控制容积法。a.直接法直接法是在求解域离散后，从导热微分方程出发，近似地用差分、差商分别代替微分、微商，从而建立起差分方程。b.热平衡法热平衡法是根据能量守恒关系对每个网格元体建立差分方程的方法。采用热平衡法导出的差分方程与直接法导出的差分方程在形式和内容上都是相同的。,11.7导热问题的数值解法的简介,c.控制容积法建立差分方程的步骤如下：把求解域划分成网格，称为控制容积或控制体；对每个控制容积列出能量微分