线性系统理论讲义第五章：2观测器.ppt

状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引入适当的状态反馈才能够实现。,但一般说来人们不可能直接获得（测量）全部的状态变量，这就使状态反馈的物理实现成为问题。,状态反馈在性能上的不可替代性和物理上的不可实现性间的矛盾推动人们提出了状态重构的概念。,一、状态估计的方案及Kx观测器的定义,5-2状态观测器,所谓状态重构，就是要构造一个状态观测器或称状态渐近估计器，使之用于状态反馈。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或软件)来对状态变量进行估计。,是否有可能构造出状态观测器？事实上，如果系统可观测，从输入u和输出y间接地把状态变量x重构出来就是可能的。这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点。,1.状态观测器最早的观测器构造方案是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见下图。,这种方案存在的缺点是：1)模型系统的A、B难与真实系统一致；2)两系统的初始值难以设置得相同。,的要求。由于图中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以是一个开环估值。这种方案的抗干扰能力、稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的。事实上，,因此，很难满足误差,5,可见，即使观测器参数微小的摄动都可能导致误差不为零；进而，即使摄动为零，若初始条件不同也可能发散。,一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=Cx与的偏差信号来修正的值，这样就形成了图5-3的闭环估计方案。,图5-3,开环方案,闭环方案,在图5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态估计器，它是一个动态系统，以原系统的输入量u和输出量y作为它的输入量，而估计器的输出量是原系统的状态变量的估计值，应当满足,根据图5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方程,2.Kx观测器在一类工程实际问题中，产生状态估计值的目的是用以直接构成反馈控制规律K，在这种情况下，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合Kx的估计值，而没有必要去产生状态的估计值。而直接构造Kx观测器有可能使观测器的维数降低，简化控制器的设计。,9,定义5-1设线性时不变系统：(A，B，C）(x,y,u)的状态是不能直接量测的，而另一状态变量为z的动态系统0称为是系统的Kx观测器，如果0以的输入u和输出y为其输入，且对给定的常数矩阵K，0的输出w满足p58,若在上述定义中，K=I，则0称为状态观测器或状态估计器。p40,10,图：Kx观测器0，K=I时退化为状态观测器,3.观测器理论要研究的问题：存在性、极点配置、结构条件、维数、代数等价等等。,讲义中介绍了十个定理，定理5-9至定理5-18，主要是讨论状态观测器和Kx观测器的结构及代数等价等问题。,定理5-9对线性时不变系统（A，B，C），其状态观测器存在的充分必要条件是系统可检测（若系统中不可观测的模态是稳定模态，则称系统是可检测的。可检测是可镇定的对偶提法）。p37,证明充分性。因为（A，B，C）不是可观测时，可按可观测性进行结构分解，故这里不妨假定（A，B，C）已具有如下形式：,二、状态观测器的存在性、n维基本状态观测器和n维基本Kx观测器,其中(A11,C1)可观测，A22的特征值具负实部。现构造如下的动态系统,根据前面的分析：,因为,于是定理的充分性得证。定理的必要性证明将在以后补充说明。证完。,可控，适当选择，可使,的特征值，亦即,的特征值均具负实部；而A22是系统的不可观测部分，由可检测的假定，A22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即,定理5-9说明如果系统可检测，状态观测器总是存在的，并且观测器可取成（5-27）式的形式，即,（5-27）和（5-28）的观测器分别称为n维基本状态观测器和n维基本Kx观测器。,(5-28),同样，Kx观测器也是存在的，可以取为,定理5-10线性时不变系统（A，B，C）的状态观测器（5-27）可任意配置特征值的充分必要条件是（A，C）可观测。,证明令定理5-9的证明中A22的维数为零，即可证明本定理。这个定理相当于（A，B，C）的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式。证完。,17,对单输入、单输出系统，若(A,b,c)可观测，状态观测器的极点配置问题可按以下步骤来解决：,因原系统（A,c)可观测，对其作等价变换后有,三、单输入单输出系统的状态观测器,注意到经变换后的系统是可控标准形的对偶形式(讲义p.87之式（3-5）)，于是不难得到变换阵P(不是P1！)为,问题：上述系统中的矩阵满足什么条件时，系统0才可以构成（A，B，C）的一个Kx观测器？,若是，w就给出了Kx的渐近估计。,线性时不变系统（A，B，C）的观测器也是一个线性时不变系统，其一般形式如下：,四、观测器的结构条件,25,问题：在状态变量z和x之间是否也存在类似的线性渐近关系，即是否存在P，使,成立?我们有,首先研究系统状态变量x和观测器的状态变量z之间的关系。,1.预备定理,注：要特别注意现在讨论的一般Kx观测器与前面讨论的n维基本状态观测器、n维基本Kx观测器间的差别。在这里，一般Kx观测器的维数为r。,定理5-11若系统（A,B,C）可控，那么，若某P阵使关系,成立，则下列条件成立：,证明充分性（即定理的后半部分）。要证明若(1)成立，P满足(2)、(3)，则有,令,对e求导数，有,29,所以有,必要性。设对任意的,要证(1)(3)成立。取u=0,x0=0，则由,都有,可知x=0,从而，y=0。此时，由(5-29)：,可得,故有：,而且由(5-30),31,下面证(2)和(3)。因为,记PAFPGC=WPBN=Q，要证W、Q为零，即(2)、(3)成立。对微分方程取拉氏变换，并解出e(s)：,由条件,可知,33,取x0=0，有,e(0)=Px(0)z(0)=0,所以,由于u(s)的任意性，又因为F非奇异，故必须有,又取z0=0，这时,否则，可以找到u，使得limse(s)不为零。考虑到系统是可控的，在复数域上(sIA)-1B行线性无关，立即推得W=0。注意到W=PAFPGC，Q=PBN，则W=0、Q=0意味定理中的结论(2)、(3)，从而，定理的全部结论得证。证完。,推论5-11若系统（A，B，C）可控，则（5-29）,在定理5-11中取r=n，P=I，有,证明：充分性：若P=I，(A.2)式成立，则,的系统成为它的n维状态观测器的充要条件为,36,根据定理5-11，考虑到P=I，有,又根据定理5-11，,这说明(A.3)就是一个状态观测器。必要性：若(A.1)是一个状态观测器，根据定义5-1，,37,推论5-11表明（A，B，C）的状态观测器必具有（5-27）的形式：,证完。,定理5-9的必要性由此可说明。事实上，若（A，B，C）的n维状态观测器存在，必具有（5-27）的形式，由条件(1)、(2)可知（A，C）可检测。p12,定理5-11讨论了z和Px之间的关系，没有涉及(5-29),中的E和M。作为Kx观测器，我们进而分析w和Kx之间的关系。下面介绍本节的主要结果。,2.主要结果定理5-12若（A,B）可控，（F,E）可观测，则,(5-32),证明:参见何关钰线性控制系统理论p.494。,成为（A,B,C）的Kx观测器的充要条件为存在rn矩阵P，使得下列条件满足,证明：充分性：回忆关于Kx观测器的定义5-1p9，当定理中(1),(2),(3)满足时，由定理5-11知，(5-29)有,成立，若此时K满足定理中(4)：K=EP+MC则,这说明此时(5-29)就是一个Kx观测器。,41,必要性证明的说明：要证：若,是一个Kx观测器：,则存在rn矩阵P，满足(1)(4)。注：必要性证明类似于定理5-11的必要性证明，参见何关钰线性控制系统理论p.494。在必要性证明中用到了“（A,B）可控，（F,E）可观测”的假设。,推论5-12若（A，B）可控，（F，E）可观测，则（5-29）式所表示的系统成为（A，B，C）的一个Kx观测器的充要条件为存在某P矩阵，满足,(1)对任意x0,z0,u,有limt(Pxz)=0,(2)K=EP+MC。,证明:这只要注意到(1)满足，则根据定理5-11，定理5-12中的前三条就一定满足。此外，需要注意预备定理5-11与定理5-12在条件上是不一样的，后者还要求（F，E）可观测。,可以将定理5-11和定理5-12结合在一起考虑：,定理5-13设A、F和GC分别是nn,rr,rn矩阵，则方程,有rn阵P唯一存在的充要条件为F与A无相同的特征值。,证明：这是一个典型的矩阵方程：,3.P阵的存在条件进而讨论在什么条件下P阵（参见定理5-12之条件2）才存在。我们有：,的求解问题，其基本思想是把矩阵方程的求解变成一个线性方程的求解。令,定义两个矩阵的Kronecker乘积(直积）如下：,现将矩阵P和W按行拉直：,则不难验证，方程PAFP=GC=W可以写成,事实上,这里，xj和yi分别为F和AT相应特征值的特征向量。,4.求Kx观测器的一般步骤：根据定理5-11、5-12和5-13，可以定出Kx观测器的参数：确定一个F阵，它的特征值在复平面左半部且与A的特征值不同；选取G阵，由PAFP=GC解出P(利用定理5-13）；由PB=N定出N；求解矩阵方程K=EP+MC，得到E，M（K给定）;验证（F,E）是否可观测。在以上步骤中，随着F、G的不同选取，会得到不同的P，因而对一个系统可构造出不止一个Kx观测器。下面讨论它们之间的内在联系。,若系统,是（A,B,C）的一个Kx观测器。作变换，有,5.Kx观测器的代数等价性问题,50,定理5-14若（A,B,C）可控，（5-35）式是它的一个Kx观测器，则其代数等价系统（5-36）也是它的一个Kx观测器。,我们有,证明：只要证明存在rn矩阵P2,使(5-36),满足：,因此,则根据定理5-12，此时(5-36)就是一个Kx观测器。注意到(F1,N1,G1,M,E1)是一个Kx观测器，故,52,五、基本观测器1.n维状态观测器的代数等价问题,本章一开始就建立了（A,B,C）的n维基本状态观测器,试将(5-37)、(5-38)与（5-29）相比较：,和n维基本Kx观测器（参见（5-28）式）：,定理5-15若（A，B，C）可控可观测，则（5-39）是n维状态观测器的充要条件是它与某个n维基本状态观测器代数等价。,(5-29)是观测器的一般形式，其中的My一项通常仅在维数rn时才使用，当r=n时可以取M=0。因此，对n维观测器而言，可取其一般形式如下：,以下定理表明：n维状态观测器(5-39)必和n维基本状态观测器代数等价。,证明：充分性由定理5-14（代数等价问题）给出。必要性：若(F,N,G,E)是一个n维状态观测器：,代数等价，即存在P，使,要证它和一个n维基本状态观测器：,56,由此可知P1=E存在。为了证明等价性，由(2)，有PAGC=FPAP1GC=P1FP,故只要令H:=P1G，则,由定理5-12可知，若(F,N,G,E)是一个n维状态观测器，则必有nn的矩阵F和P，使得,57,这就证明了(5-39)等价于一个n维状基本态观测器。证完。,2.n维Kx观测器的代数等价问题进一步的问题是：n维Kx观测器之间是否也有类似的关系，即n维Kx观测器是否必定和n维基本Kx观测器代数等价呢？答案是：这个结论仅对单输入单输出系统成立。在此仅给出单输入、单输出系统的结果：,定理5-16若（A，b，c）可控可观测，则如下系统,为（A，b，c）的n维Kx观测器的充要条件是(5-40)与（A，b，c）的某个n维基本Kx观测器代数等价,其中，（F,E)可观、(F,g)可控（不证明）。,(5-40),关于状态观测器和Kx观测器,Kx观测器和状态观测器的的定义：定义5-1p9；,Kx观测器的一般结构(5-29),定理5-12表明，在（A，B）可控，（F，E）可观的条件下，(5-29)能够成为Kx观测器的充要条件是存在rn阵P使得如下条件满足：,60,特别，K阵须满足条件(4)，否则不能称