版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：一元二次不等式及其解法(共张PPT).ppt

第二节一元二次不等式及其解法,三年19考高考指数:1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.,1.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识；2.以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题；4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中等.,1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表,【即时应用】(1)不等式x2-3x+20的解集为_.(2)设二次不等式ax2+bx+10的解集为x|-1x,则ab的值为_.(3)函数的定义域是_.,【解析】(1)原不等式等价于(x-1)(x-2)0,即1x2.(2)由题意可知a0,且-1,是方程ax2+bx+1=0的两个根.故解得(3)由x2+x-120,即(x+4)(x-3)0,得x-4或x3.答案：(1)(1,2)(2)6(3)(-,-43,+),2.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解过程用程序框图表示为,【即时应用】思考：上述不等式中a0,若a0时解集的情况又将如何？提示：若a0,则一般先将不等式进行转化，使x2的系数转化为正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，0时解集为,0时解集为x|x1xx2.,一元二次不等式的解法【方法点睛】解一元二次不等式的一般步骤(1)变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.【提醒】当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论.,【例1】解下列不等式：(1)x2+3x+40(2)-3x2-2x+80(3)12x2-axa2(aR)【解题指南】(1)先判断“”，而后获解.(2)先将x2的系数转化为正数,而后因式分解求解.(3)将不等式转化后进行因式分解,比较两根大小分类求解.,【规范解答】(1)由=9-16=-70,故不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2+2x-80(x+2)(3x-4)0x-2或x故不等式的解集为(-,-2+).(3)原不等式可化为12x2-ax-a20(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0得a0时,此时不等式等价于a=0时,不等式等价于x20x0.a0时,此时不等式等价于,综上所述,当a0时,不等式的解集为当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+);当a0时,不等式的解集为,【互动探究】若将本例(1)变为x2+3x+40,则不等式解集又将如何？【解析】由(1)解析可知=-70,故x2+3x+40恒成立,故不等式的解集为R.,【反思感悟】1.对于本例(3)中分类讨论后,在写不等式解集时,也可以将a=0的情况与a0或a0结合起来写.如可写为a0时不等式的解集为a0时不等式的解集为,2.含参数的不等式解法：解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：(1)根据二次项系数的符号进行分类，(2)根据根是否存在，即的符号进行分类，(3)在根存在时，根据根的大小进行分类讨论.讨论时对字母的范围需要做到不重不漏.,【变式备选】解下列不等式：(1)10 x-125x2(2)(1-ax)21【解析】(1)原不等式等价于25x2-10 x+10(5x-1)20,只有当5x-1=0，即时，不等式成立.故不等式的解集为(2)由(1-ax)21得a2x2-2ax+11,即ax(ax-2)0时，原不等式可化为x(ax-2)0时，原不等式的解集为,一元二次不等式恒成立问题【方法点睛】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.,(3)一元二次不等式恒成立的条件ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b2-4ac0(xR).ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b2-4ac0(xR).,【例2】已知不等式mx2-2x-m+10，(1)若对任意实数x不等式恒成立,求m的取值范围.(2)若对一切m-2,2不等式恒成立,求x的取值范围.【解题指南】(1)讨论m的情况,结合二次函数图象求解.(2)变换主元将其看成关于m的一元一次不等式,利用其定义范围-2,2求参数x的取值范围.,【规范解答】(1)不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时,不等式变为1-2x0，对任意实数x不恒成立,故m0不满足；当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+10无解,即则m无解.综上可知不存在这样的m,使不等式恒成立.,(2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),当x2-1=0时，即x=1,检验得x=1时符合题意,当x21时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2m2时在x轴下方,解,得或解,得由,得且x1,综上得x的取值范围为,【反思感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路：(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.,【变式训练】已知f(x)=x2-2ax+2(aR),当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.【解析】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为直线x=a.当a(-,-1)时,f(x)在-1,+)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a+3a,解得-3a-1.,当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2,要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2-a2a,解得-1a1.综上所述,a的取值范围为-3,1.方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知得x2-2ax+2-a0在-1,+)上恒成立,即=4a2-4(2-a)0,即a2+a-20，得-2a1.或即得-3a0)个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.,【解析】设税率调低后的税收总收入为y元，则y=2400m(1+2x%)(8-x)%由题意知，0x8,要使税收总收入不低于原计划的78%，有y2400m8%78%,整理得x2+42x-880,解得-44x2,又0x8,00,因为或5x8.21x5或5x8.21x5时，f(x)8.2-5=3.2所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x=4时，(万元/百台)=240(元/台).故此时每台产品的售价为240元.,【创新探究】一元二次不等式在二元二次方程中的应用【典例】(2011浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+xy1,则x+y的最大值是_.【解题指南】本例可令x+y=t，利用直线与曲线必有交点,即联立消元后方程必有解可求,亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解.,【规范解答】方法一：令x+y=t,则y=t-x，代入x2+y2+xy=1，整理得：x2-tx+t2-1=0,则方程必有实根，即=t2-4(t2-1)0,即解得故x+y的最大值为方法二：由x2+y2+xy=1得1=(x+y)2-xy,(x+y)2=1+xy,即故x+y的最大值为答案：,【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨与备考建议：,1.(2011广东高考)不等式2x2-x-10的解集是()(A)(1)(B)(1,+)(C)(-,1)(2,+)(D)(-,)(1,+)【解析】选D.由2x2-x-10得(x-1)(2x+1)0,解得或x1,从而得原不