有向曲面及曲面元素的投影

20.4,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,第二类曲面积分,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,设曲面是光滑曲面，是曲面上任一定点曲面,在点处有一条法线，它有两个可能的方向，选择,其中之一为指定的法线方向，记为又设L是光滑,曲面上过点且不越过曲面边界的任意闭曲线，从,而，当动点M从出发沿闭曲线L连续移动时，曲面,在点M的法线方向也随之连续变动若M回到时,得到的法线方向与一致，则称光滑曲面为双侧曲面；,若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后,再回到点时得到的法线方向与相反，则称曲面,为单侧曲面,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,侧的规定,表示:,其方向用法向量指向,指定了侧的曲面叫有向曲面,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,曲面的投影问题:,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,2.求和,3.取极限,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对的任,定义.,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、计算法(一投,二代,三定号),注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,例2：计算曲面积分其中是长方体的整个表面积的外侧,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,例3.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,解,六、小结,1.对坐标曲面积分的物理意义,2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点,a.曲面的侧,b.“一投,二代,三定号”,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,4第二曲面积分,曲面的侧设一光滑曲面的方程为其中是平面上某一区域内的连续函数，且在内有连续偏导数这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为,由假设，方向余弦是点的坐标的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对而言，若选取正号，则即法线与正向轴的夹角为锐角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向轴的夹角为钝角。若光滑曲面S的方程为或，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程表示,的非闭的光滑曲面，且设这些好书的平面上某一有界区域内有连续偏导数。此外，设上没有重点，也就是与S的点是一一对应的。于是曲面的法线方向余弦为其中还要假设上无奇点，即在任一点不同时为零。注意都是在内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。,二、第二类曲面积分的定义设是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面上的单位法向量，又设是一个向量其中都是连续函数。按照流体通过曲面流量的步骤，将分为许多有向小块，在内任取一点，作向量，再作和式令，如果极限存在，并且此极限与点的选取无关，又与的划分无关，则称它是,性质即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于又可将写为其中分别是在的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有，当选取下侧时有，再如当曲面选取为右侧时有，当选取左侧有，等等。这时，第二类曲面积分可写为,若记曲面的单位法向量为则有,三、两类曲面积分间的联系由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式或者上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是第一类曲面积分。,四、第二类曲面积分的计算计算第二类曲面积分需视曲面如何表示而定。1曲面表示为若曲面的方向选取为上侧，则右端是一个二重积分。若曲面的方向选取为下侧，则2曲面表示为则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若为,右侧则选取“+”，若为左侧则选取“-”。3曲面表示为则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若为前侧则选取”+“，若为后册则选取”-“4.若曲面表示为由二重积分变量代换知道,上面三个式子的右端都是二重积分，其符号的选取为：若的侧为上侧，则（3）式右端的符号选取“+”，否则为“-”，若侧为右侧，则（2）式右端的符号取“+”，否则为“-”，若的侧为前侧，则（1）式右端的符号取“+”，否则取“-”。以上所得结果都可推广到更一般情况，即曲面为一片一片的有限