中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题

轴对称之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得ACBC最短在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短2、垂线段最短请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C理由，两点之间，线段最短(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A，连接AB，与直线l的交点即为点C【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角问题即转化为，如下图：在MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得BAC周长最短若点C位置确定，要求ABBC最短，同学们肯定已经知道，作点A关于OM的对称点A，连接AC即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求ACBC最短，则作点A关于ON的对称点A，连接AB即可想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A，作点A关于ON的对称点A，连接A A，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，ABC即为所求【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求ACCDDB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可【解答】如图，作点A关于OM的对称点A，作点B关于ON的对称点B，连接A B，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点军营，马厩，这些不动的点，即为定点河边，草地边，这些不动的线，即为定线河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点1必然是作定点关于定线的对称点！2作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩)关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次3作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数一次对称直连定，两次对称先相连【练习】如