高三数学立体几何专题

高考数学专题立体几何立体几何作为考查学生的空间想象能力与数学基础知识的综合能力的手断，每年都会有一个解答题，主要是以多面体（柱体锥体）为载体，考查空间线面关系、距离的计算以及空间角的求法，所以出题重心就落在这三方面，此外，探索型问题也是立体几何中的常见题型，在知识点的交汇处出题也是高考命题的热点。基本题型：在立体几何的常见题型中，最基本的就是考察三大部分（1）证空间关系（2）求空间距离（3）求空间角。这一基本题型就可以全面考察学生的对立体几何知识的掌握。在证明空间关系中，多以证明线面、面面平行垂直为主，主要考察用概念，公理，判定定理，性质定理进行严格的推理证明的能力；在求空间距离中多以点线距离，点面距离为主，其它距离可以转化为这两种距离；在空间角的求法中异面直线所成的角，线面角，二面角都是考察点。解题策略：证空间关系：（1）利用概念，公理，判定定理，性质定理进行严格的推理证明。 （2）理科学生还可以利用空间向量法证明垂直平行等线面关系。求空间角：（1）通过作图把空间角转化为平面角，利用平面几何知识解决。（2）利用向量法求空间角求空间距离：（1）通过作图把空间距离转化为平面距离，利用平面几何知识解决。（2）利用向量法求空间距离。例1如图，梯形中，是的中点，将沿折起，使点折到点的位置，且二面角的大小为。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离。解： (1) 连结交于，连结， 又 ，即平分， 是等边三角形 ，。(2) 过作于，连接，设，则 ， 就是直线与平面所成的角 是二面角的平面角 在中 (3) 在平面外， ，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，过点作，垂足为， ，的长即为点到平面的距离。在菱形中 ，例2.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积，评注：证明平行、垂直关系，关键是线线平行和线线垂直，抓住转化的思想，如图的关系：面面垂直线面垂直性质定理线面垂直线线垂直线线平行线面平行面面平行注：线面平行的判定定理线面平行的性质定理面面平行的判定定理面面平行的性质面面平行的性质定理面面平行的判定线面垂直的性质线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理面面垂直的性质面面垂直的性质面面垂直的判定。善于利用向量解决问题也是一个很好的办法，但是利用向量证明平行问题有时并不简单。利用传统的方法求空间角的关键是作出这个角或着是其平面角，然后证明，进而再利用平面知识求解，利用向量法求空间角的关键是找到角的边所在的向量（线线角，线面角）或者是利用法向量（二面角）求解。求距离的关键是点线距离和点面距离，其它的距离都可以转化为它们求解，利用传统的方法求点线距离和点面距离往往采用等面积法或是等体积法，利用向量法解决距离问题常常用斜线在法向量上的投影。探索型问题立体几何的探索型问题往往考察学生的分析问题，解决问题的能力，常见题型为是否存在点或其他元素使得某种关系或数量成立。解题策略：（1）把结论当作已知来求得满足结论的必要条件，再判断是否满足大前提。（2）先判定是否存在或存在的条件，然后利用条件证明结论正确。例3（2009北京卷理）（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）PA底面ABC，PABC.又，ACBC.BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小.（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角，PA底面ABC，PAAC，.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得 . （），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.（）同解法1.知识的交汇点命题立体几何与其他知识在交汇点处命题，往往是与其他章节的知识进行融合，利用其他章节的基础知识，重点考查本章知识，例如在与函数，与数列等方面的交汇点处命题。解题策略：正确运用好交汇点处的知识例4平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CDAB（1）求证EFGH为矩形； （2）点E在什么位置，SEFGH最大?分析：本题考查学生利用二次函数求最值的方法处理立体几何问题，在函数和立体几何的交汇点处考查学生的数学能力。解：（1）面EFGH/CDCD/GH GH/EFCD/EF面EFGH/ABAB/HE EFGH为平行四边形 HE/FG AB/FG又ABCDEFFGEFGH为矩形.（2）AG=x，AC=m，GH=x ，GF=（mx）SEFGH=GHGF=x（mx）=（mxx2）= （x2+mx+）=（x）2+ 当x=时，SEFGH最大=评注：本题利用二次函数的观点求最大值是立体几何与函数的很好的结合点。近年新课标卷数学试题选编一 求证垂直关系：（2010新课标卷文科数学）（18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。解：1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD. .6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.所以HA=HB=.因为APB=ADR=600所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. .9分所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= .12分（2010辽宁文数）（19）如图，棱柱的侧面是菱形，（）证明：平面平面；（）设是上的点，且平面，求的值.解：（）因为侧面BCC1B1是菱形，所以 又已知, 平面A1BC1，又平面AB1C ，平面平面A1BC1 .（）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B/平面B1CD，所以A1B/DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1.（2010陕西理数）18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点。（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。解法一：（）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。 ，四边形ABCD是矩形 A,B,C,D,P的坐标为又E,F分别是AD,PC的中点， , 平面（）由（）知平面BEF的法向量,平面BAP的法向量， =8设平面BEF与平面BAP的家教为，则， ， 平面BEF与平面BAP的夹角为解法二：（）连接PE,EC，在和中，PA=AB=CD,AE=DE, PE=CE,即是等腰三角形，又F是PC的中点，EFPC，又是PC的中点，又（） PA平面ABCD, PABC,又ABCD是矩形， ABBC, BC平面BAP，BCPB,又由（）知PC平面BEF, 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在中，PB=BC, , 所以平面BEF与平面BAP的夹角为（2009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：（2010山东理数）（19）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC=45，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形（）求证：平面PCD平面PAC； （）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（）求四棱锥PACDE的体积解:（）因为ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因为，所以平面PCD平面PAC；（）由（）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又ABCD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；（）由（）知，所以，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥PACDE的体积为=。（2010新课标卷理科数学）(18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点（1） 证明：PEBC（2） 若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则 （）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为（2010陕西文数）18. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD； ()求三棱锥EABC的体积V.解: ()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD, 又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD. ()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,则BG平面ABCD,且EG=PA. 在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.（2010辽宁理数）（19）已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.（）,因为，所以CMSN .（）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量,则所以SN与片面CMN所成角为45。 （2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC（）若，且平面平面， 求三棱锥体积。解：（）因为是等边三角形，,所以,可得。如图，取中点，连结,则,所以平面,所以。 6分 （）作，垂足为，连结因为，所以，由已知，平面平面，故8分因为，所以都是等腰直角三角形。由已知，得， 的面积因为平面，所以三角锥的体积 12分（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。解法一： （）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则。又，所以, 连，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故二求证平行关系（2010北京文数）（17）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE； （）求证：CF平面BDF;证：（）设AC于BD交于点G。因为EFAG,且EF=1，AG=AG=1所以四边形AGEF为平行四边形, 所以AFEG,因为EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE （）连接FG。因为EFCG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD,且平面ACEF平面ABCD=AC,所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEG=G,所以CF平面BDE.（2010北京理数）（16如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC, AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE； （）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。证：（I） 设AC与BD交与点G。因为EF/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF/平面EG，因为平面BDE，AF平面BDE，所以AF/平面BDE.（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC,所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），A（，0），B（0，0）. 所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量,则，. 即, 所以且令则. 所以.从而。 因为二面角为锐角，所以二面角的大小为. (2009山东卷理)（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. （2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. 【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.三求距离角及其它（2010江西理数）20. 如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。(1) 求点A到平面MBC的距离；(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面平面,则MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。（2）CE是平面与平面的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60. ，所求二面角的正弦值是.解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面平面,则MO平面.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）设是平面MBC的法向量，则，由得；由得；取，则距离（2），.设平面ACM的法向量为，由得.解得，取.又平面BCD的法向量为，则.设所求二面角为，则.（2010四川理数）（18）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线； （）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积. 解：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA的中点，点O是BD的中点,所以AM,所以MO,由AAAK，得MOAA因为AKBD,AKBB，所以AK平面BDDB,所以AKBD,所以MOBD,又因为OM是异面直线AA和BD都相交,故OM为异面直线AA和BD的公垂线.（2）取BB中点N，连结MN，则MN平面BCCB,过点N作NHBC于H，连结MH,则由三垂线定理得BCMH,从而,MHN为二面角M-BC-B的平面角.MN=1,NH=Bnsin45=,在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小为arctan2.(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA内.点O到平面MAD距离hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1).(1) 因为点M是棱AA的中点,点O是BD的中点,M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1) ,=0, +0=0,所以OMAA,OMBD. 又因为OM与异面直线AA和BD都相交,故OM为异面直线AA和BD的公垂线.(2) 设平面BMC的一个法向量为=(x,y,z),=(0,-1,), (1,0,1) , 即. 取z2,则x2,y1，从而=(2,1,2) ,取平面BCB的一个法向量为(0,1,0)cos,由图可知，二面角M-BC-B的平面角为锐角,故二面角M-BC-B的大小为arccos.(3)易知，SOBCSBCDA.设平面OBC的一个法向量为(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0),即 取z11,得y11，从而(0,1,1)点M到平面OBC的距离d VMOBC.（08宁夏海南理数）18、（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60.（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于ABCDPxyzH设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以 即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为（08宁夏海南文数）18（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG。解：（）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图） 3分（）所求多面体体积ABCDEFG7分（）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面12分（2010天津文数）（19）如图，