控制工程基础-清华大学控制系统的动态数学模型

控制工程基础(第二章)，清华大学， 第二章控制系统的动态数学模型2.1基本环节数学模型2.2数学模型的线性化2.3拉氏变换和逆变换2.4传递函数和典型环节的传递函数2.5系统函数框图及其简化2.6系统信号流程图和梅森式2.7控制机械对象数学模型2.8实际机电系统的函数框图2 建立公式，第二章控制系统的动态数学模型，建立控制系统的数学模型，在此基础上分析集成控制系统，是机电控制工程的基本方法。 如果用数学公式描述物理系统的信号传递过程中的动态特性，则可以获得构成物理系统的数学模型。 经典控制理论采用的数学模型主要基于传递函数。 现代控制理论采用的数学模型主要基于状态空间方程式。 基于物理规律和实验规律的微分方程是最基本的数学模型，是传递函数和状态空间方程的基础。 本章介绍了1、基本链路(质量-弹簧阻尼系统和电路网络)的数学模型和模型线性化2、重要的分析工具：拉式变换和逆变换3、经典控制理论的数学基础：传递函数4、控制系统的图形表示：框图和信号流图5、控制描绘实际机电系统的函数框图图7，现代控制理论的数学基础：状态空间模型、2.1基本环节数学模型、数学模型是描述物理系统的运动规则、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型分为静态和动态的数学模型。 静态数学模型：属性变量之间关系的数学模型，反映了系统处于平衡点(稳态)时的系统状态。 也就是说，仅考虑同一时刻的实际系统的各物理量之间的数学关系，与各变量的时间进化无关，输出信号与过去的工作状态(历史)无关。 因此，静态模型都是代数表达式，数学公式不包含时间变量。 动态数学模型：描述动态系统的过渡特性和过渡特性的模型。 也可以被定义为描述实际系统中每个物理量的时间演化的数学公式。 动态系统的输出信号不仅依赖于同时时刻的激励信号，还依赖于其过去的工作状态。 微分方程或差分方程经常被用作动态数学模型。 在给定的动态系统中，数学模型不是唯一的。 工程常用的数学模型是微分方程、传递函数和状态方程。 在线性系统中，它们之间是等价的。 对于具体的问题，选择不同的数学模型。 建立数学模型是控制系统分析和设计的最重要的工作！ 2.1.1质量-弹簧阻尼系统的机电控制系统的控制对象为机械系统。 在机械系统中，既有惯性和刚性大的部件，也有惯性小、柔软性大的部件。 集中参数法中，无视前者要素的弹性作为质量块，无视后者要素的惯性作为没有质量的弹簧。 这些受控制的机构可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。 光盘课件(第二章第一节)，有源电路网络，2.2数学模型线性化，线性模型：满足重叠性和均匀性，描述线性系统。 叠加性等于当若干激励信号同时作用在系统上时，总输出响应与每个激励的单独作用引起的响应之和。 等效性是输入信号乘以某个常数，响应也乘以相同的常数。 即，如果是线性系统，则非线性模型：不满足重叠性和次数性，用非线性方程式表示。 它被用来表达非线性系统。 线性化方法：一般在系统工作平衡点附近，用台劳级数展开非线性方程式，省略高次项，保留一次项，就能得到近似的线性模型。 由于反馈系统不允许很大的偏差，该线性化方法对闭环控制系统具有现实意义。阀控制液压缸示例、线性化方法：假定变量相对于某一动作状态(平衡点)的偏差较小。 假设省略了系统的函数关系。 如果系统工作平衡点是，方程可以在点附近台劳展开，可以忽略其高阶项，所以上述方程在增量方程形式中，2.3拉氏变换和逆变换，Laplace (拉普拉斯)变换是描述和分析连续、线性、时不变系统的重要工具傅氏变换建立了时域和频域之间的联系，拉氏变换建立了时域和复频域之间的联系。 光盘课件(第一章第二节)，2.3.2简单函数的拉斯变换，正弦函数sint1(t )和馀弦函数cost1(t )的拉斯变换，的拉斯变换证：周期函数的象函数设定函数x(t )是以t为周期的周期函数，即x(t 拉斯逆变换式被称为简称，在一般的机电控制系统中，经常遇到以分母为零的s值为极的形式的有理分数式，其中，可以通过式中、常数、极的留数，从下式对式(2.19 )进行逆变换，利用逆变换表，在例子中求出的逆变换解：在包含共轭复极的情况下，在式中，用常数值乘以上式的两边，将两边设为同时命令(或同时命令)，可以通过使(2.21 )式(2.21 )的两边的实部、虚部的对应相等来求出。 可以通过方法形成正弦馀弦像函数的形式，求出逆变换。 的双曲馀弦值。 解：在将该公式的两侧相乘以获得解，从而包含共轭复根的情况下，也可以使用第一种情况下的方法。 值得注意的是，此时共轭复根据两个分式的分子和是共轭复，求出一个值就能得到另一个。 举个例子吧。 解：那么，在包括多极的情况下，式中，必须使用式对式的两侧进行拉变换、代入、组织，所以，2.4传递函数和典型链路的传递函数必须基于拉变换，以系统自身的参数描述的线性稳态系统的输入量与输出量之间的关系式无论是无量纲还是有维度，根据系统的进口出口量，都包含了联系进口量和出口量所需的维度。 那个不能显示系统的物理特性和物理结构。 许多物理性质不同的系统具有相同的传递函数。 某些不同的物理现象好像可以用相同的微分方程来描述。 参照光盘课件(第二章第三节)，表2-2的等效弹性刚性的说明、表2-2的复阻抗的说明、比例连杆(其中k是常数)、比例连杆(其中k是常数)、一次惯性连杆(其中t是时间常数)、一次惯性连杆(其中k是常数)，以及参见二次振动链路(其中01 )，二次振动链路(其中01 )光盘课件(第二章第四、第五节)，2.6系统的信号流程图和梅森公式，信号流程图中的网络在一些方向线段上有一些不此处，节点用来表示变量或信号，输入节点也被称为源点，输出节点被称为阱点，混合节点表示具有输入及输出两者的节点的方向性线段被称为分支电路，其上的箭头表示信号的流，各分支电路中包含增益、 即，把也表示了分支路的传递函数的从输入节点到输出节点的路径上不多次通过的路径称为正方向路径，把起点与终点一致、不与哪个节点多次交叉的路径称为循环。 从输入变量到输出变量的系统传递函数可以用梅森式求出。梅森公式可以表示为第第k条前向通道的传递函数-对于第k条前向通道的特征式的剩馀系数，即流程图的特征式，将与第k条前向通道接触的环传递函数代入零，设剩馀为。 例如，受2.7控制的机械对象数学模型；总体机械传动系统特性可以表示为多个相互耦合的质量-弹簧-衰减系统。 其中各部分的动力学特性可以表现为以下传递函数。 请注意，为了获得良好的闭环机电系统的性能，对于受控机械对象，以下面：(1)的高谐振频率的通用机械传动系统整体特性可以用几个相互耦合的质量弹簧衰减系统来表示。 为了满足机电系统的高动态特性，机械传动的各系统的谐振频率必须远高于机电系统的设计截止频率。 各机械传递系统的谐振频率最好相互错开。 另外，在晶闸管驱动装置中，请注意机械传动系统的谐振频率不要接近控制装置的脉冲频率。 如果不靠近，就会产生机械噪音，机械零件的磨损会加速。 (2)高刚性闭环系统中，低刚性会降低稳定性，随着摩擦会引起反转误差，系统在被控制的位置附近振动。 在刚度的计算中，必须注意机械传动零件的串联并联关系。 对于串联部件(例如同一轴上)，总刚性k为(2.36 )式，各部件的刚性。 对于并联零件(例如，同一支撑上有几个轴承)，总刚性k为(2.37 )式，各零件的刚性。 从低速轴上的刚性换算成高速轴上，等价的刚性k在(2.38 )式中为i-升变速比。 (3)适当地衰减机械传输的系统的衰减比(2.39 )从一般的电机驱动器的驱动电压到输出转速的数学模型是二次振动链路，并且存在必要的机械传输链路的适当衰减比。 增加机械传递阻力比会导致摩擦力的增加，产生摩擦反转误差的不良影响。 另一方面，为了衰减机械的振动和颤振，需要增加机械的传递阻力比。 以上对矛盾的要求，根据经验，适当的机械传递阻力比可选择为0.10.2。 (4)低惯性力矩的快速性是现代机电系统的显着特征。 在驱动扭矩一定的前提下，惯性力矩越小，加速性能越好。 机械传动部件对电动机等驱动装置施加负荷，通常换算成电动机旋转轴上的惯性力矩，评价其对急速性的影响。 像齿轮传动机构一样，驱动轮由电动机驱动，从动轮通过轴旋转负荷。 电动机轴上的扭矩、旋转角、惯性力矩、从动轴的负载扭矩、旋转角、惯性力矩、衰减系数、驱动轮和从动轮的齿数分别为和，是速比。 根据、问题意思，如果删除某个中间变量，则得到(2.45)(2.46 )。 这里，方程式(2.45 )是换算成主动轴的关系式，方程式(2.46 )是换算成主动轴的关系式。 换算成主轴后，从动轴上的惯性力矩和衰减系数除以齿轮比的平方，负载扭矩除以齿轮比。 因此，可以说在减速传动的情况下，相当于电动机传动带的负载变小，电动机传动带负载的扭矩变大。 相反，换算成从动轴时，主轴上的惯性力矩和衰减系数都要乘以齿数比的平方，输入扭矩要乘以齿数比。 对方程式(2.45 )和(2.46 )进行拉斯变换的结果，在从动轴的弹性刚性为的情况下，可以写主动轴和从动轴的动力学方程式，在换算为主动轴的情况下，可以将从动轴的惯性力矩、衰减系数和刚性除以速度比的平方，将负载扭矩除以速度比，将从动轴的旋转角除以速度比相反，换算成从动轴的话，主动轴上的惯性力矩、衰减系数和刚性乘以齿轮比的平方，输入扭矩乘以齿轮比，主动轴的旋转角除以齿轮比。 如果求解联立代数方程式(2-51 )和(2-52 )，则形成刚体传动，得到先导出的完全的刚体情况。螺纹螺母的副传动也能得到同样的结果。 设每个工件的工作台质量为m，位移为x，负载阻力为f，工作台和导轨间的粘性衰减系数为d，基本导程为d。 根据m、上图，(2.55)(2.56 )式中丝杠螺母的副齿轮比定义为，只要丝杠的弹性刚性高，上述结果就会扩展到更复杂的机械传动系统。 任何机器传输系统均可以通过简化而获得如上方程中描述的动态数学模型。 根据这些方程式可知，衰减系数d小时，分母方括弧中有一对共轭复根。 不考虑负荷力(或扭矩)，从输入扭矩到主动轴的旋转角的传递函数，由于分子和分母的多项式都具有接近一对数值的共轭复根，所以可以作为一对偶极子抵消，所以可以近似2次系的从输入扭矩到表位移的传递函数，分子为常数、进给传动链例、进给传动链例、进给传动链例、进给传动链例、进给传动链例、进给传动链例、状态空间方程式随着计算机的发展，基于状态空间理论的现代控制理论的数学模型采用状态空间方程式，以时域分析为主，着眼于系统的状态和内部关系状态方程是由系统状态变量组成的一阶微分方程组，状态变量是足以完全表现系统运动状态的最小个数的变量的集合。 状态变量彼此独立，但不唯一。 状态空间方程式分别是在(状态方程式) (2.63 ) (输出方程式)