结构力学-力法(一)

第六章力法Chapter6ForceMethod,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,超静定结构的概念,Contents,6-1,力法的基本原理,6-2,超静定次数和力法基本结构,6-3,力法典型方程和力法应用例题,6-4,对称性的利用,6-5,支座移动和温度改变时的力法计算,6-6,超静定结构的位移计算,6-7,StrucuralAnalysis,超静定结构最终内力图的校核,6-8,超静定结构的求解方法总体思想：同时考虑“变形、本构、平衡”。,6-1超静定结构的概念,超静定结构的几何特征和静力特征几何特征：有多余约束的几何不变体系。静力特征：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。与静定结构相比的优点：内力分布均匀；能够内力重分布，抵抗破坏的能力强。,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,超静定结构的求解方法总体思想：同时考虑“变形、本构、平衡”。基本方程中的未知量既有力（或应力）也有位移（或应变），选择不同类型的物理量作为基本未知量对应产生了三种不同的求解方法。以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上，将本构写成用力表示位移的形式，代入几何方程求解，这时最终方程是以力的形式表示的几何方程，这种分析方法称为力法（forcemethod）。以位移作为基本未知量，在自动满足几何方程的基础上，将本构写成用位移表示力的形式，代入平衡方程，当然这时最终方程是用位移表示的平衡方程，这种分析方法称为位移法（displacementmethod）。如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移约束和变形协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixturemethod）。,平衡方程力（或应力）的表达式基本方程本构（物理）方程力与位移（或应力与应变）关系几何方程位移（或应变）的表达式,6-1超静定结构的概念,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,“力法”的发展法国的纳维于1826年提出了求解超静定结构问题的一般方法（基本方程）。19世纪30年代，由于桥梁跨度的增长，出现了金属桁架结构。从1847年开始的数十年间，学者们应用图解法、解析法等研究静定桁架的受力，这奠定了桁架理论的基础。1864年英国的麦克斯韦创立了单位荷载法和位移互等定理，并用单位荷载法求出桁架的位移，由此学者们终于得到了求解超静定问题的方法力法。土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学类”。“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系），其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。“弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数学体系的建构，由微单元体（高等数学中的微分体）入手分析，简化模型通常是无骨架的连续介质，其力法基本未知量一般是“应力”，方程形式通常是微分方程。,6-1超静定结构的概念,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法的基本概念以图示单跨梁为例说明。,6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethod,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法的基本概念对基本结构应用叠加原理,6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethod,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法的基本概念和的计算,6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethod,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,单位弯矩图,荷载弯矩图,叠加计算最终内力：,力法的特点以多余约束力作为基本未知量。故，该方法称为力法。以内力和位移计算方法已知的结构（通常是静定结构）作为基本结构。根据多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移（或变形）条件，建立关于多余约束力的方程力法方程。求出多余约束力后，化超静定问题为静定问题。,6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethod,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。,超静定次数力法基本未知量和基本结构是相互对应的。若选择静定结构作为基本结构，那么基本未知量就是多余约束力，故，基本未知量的数量就是多余约束的数量。多余约束的个数称为超静定次数。若一个结构有n个多余约束，则称其为n次超静定结构。,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,几次超静定?,一根杆件所需要的最少约束数量是3个，本结构有2个多余约束，故，2次超静定。,力法基本结构原结构解除多余约束所形成的静定结构，称为力法基本结构。,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法基本结构,力法基本未知量与基本结构的关系力法基本未知量与基本结构是一一对应的，基本未知量确定后，对应的基本结构也就确定了。力法基本未知量数目（超静定次数）是唯一的，而基本结构不唯一。,还可以选择哪些基本结构?,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,超静定次数的判别判别方法物理方法解除多余约束法数学方法计算自由度法物理方法：解除多余约束，使原始超静定结构变为静定结构，从而确定多余约束数量。常见解除多余约束的方法主要有以下四种。去掉一支杆或切断一链杆（相当于去掉一个线位移约束）,StrucuralAnalysis,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,超静定次数的判别去掉一个单铰（相当于去掉两个线位移约束）,StrucuralAnalysis,将一个单刚连接改为单铰连接（相当于去掉一个角位移约束）,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,超静定次数的判别切断一个单刚结点（相当于去掉两个线位移约束和一个角位移约束）,StrucuralAnalysis,数学方法：计算结构体系的自由度，如果自由度小于零，说明体系是超静定结构，超静定次数为自由度的绝对值。,按平面链杆体系计算自由度：结点数量8；链杆数量16；支杆数量3。自由度W=2(结点数)(链杆数+支杆数)=28(16+3)=3三次超静定。,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,超静定次数的判别两种方法的比较,StrucuralAnalysis,具体应用中建议先采用物理方法判别超静定次数，然后采用数学方法校核。,注意的问题超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,注意的问题超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。,一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,注意的问题多余约束可以是外部约束，也可以是内部约束，解除约束要彻底。特别是无铰封闭框的内部多余约束极易忽略，一个无铰封闭框有三个多余约束。,6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,例题：判别下列结构的超静定次数，并作力法的基本结构。,(a),(b),(c),(d),(e),6-3超静定次数和力法基本结构,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,例题：判别下列结构的超静定次数，并作力法的基本结构。,(f),(h),(g),课堂练习：TextBookP.170习题6-1,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程以图示三次超静定刚架为例，说明如何建立力法方程。,基本结构,基本结构在未知多余约束力和已知外荷载共同作用下，与原结构等效；故，B点与三个多余约束力对应的位移均为零。即,引入：基本结构在单独作用下，作用点沿作用方向的位移。基本结构在已知外荷载单独作用下，作用点沿作用方向的位移。,根据叠加原理：,所以：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程,基本结构,力法方程：,力法方程的物理含义：（要求从以下三个方面理解）方程整体的物理含义：表示原结构的位移(或变形)条件，即基本结构在多余约束力和已知外荷载共同作用下，多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移与原结构的对应位移相同。通常方程等号左侧表示基本结构的位移，等号右侧表示原结构的位移。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程,基本结构,力法方程：,力法方程的物理含义：（要求从以下三个方面理解）方程整体的物理含义方程行和列的物理含义：行表示位移(变形)条件。第i行表示与第i个多余约束力Xi对应的位移(变形)条件。例：上述第2个方程表示基本结构B点竖向位移为零。列表示基本结构的受力状态。例：上述方程等号左侧4列表示将基本结构的受力分解成4种状态，其中第1、2、3列分别表示基本结构只承受X1、X2、X3单独作用，第4列表示基本结构只承受已知外荷载单独作用。图示如下：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程,基本结构,力法方程：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程,基本结构,力法方程：,力法方程的物理含义：（要求从以下三个方面理解）方程整体的物理含义方程行和列的物理含义系数项和自由项的物理含义：,基本结构在单独作用下，作用点沿作用方向的位移。基本结构在已知外荷载单独作用下，作用点沿作用方向的位移。系数项和自由项均可按照静定结构的位移计算方法计算。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程,对于n次超静定结构，去掉n个多余约束后，有n个位移条件与之对应，建立n个方程如下：,上式即为力法典型方程，可简写成矩阵形式，其中称为结构的柔度矩阵。,主系数恒正；副系数和自由项可正，可负；可零。,副系数。,Why?,位移互等,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法典型方程,解力法方程求出多余约束力后，由于基本结构与原结构等效，故原超静定结构的内力就是基本结构在多余约束力和已知外荷载共同作用下的内力。可采用叠加原理计算。以弯矩为例，有,由上述力法典型方程的建立，可以归纳出力法解题的一般步骤：,判别超静定次数(唯一)，选取基本结构(不唯一)。,列出力法方程。(强调：理解方程的物理含义),计算方程的系数项和自由项。(力法的主要计算工作),求解力法方程，得多余约束力。,用叠加原理计算最终内力。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例1超静定梁】用力法求作图示两跨连续梁的弯矩图。已知。,【解】判别超静定次数，选基本结构。,本结构1次超静定，取基本结构如图。,注意：基本结构的选择应尽量使力法方程的系数项和自由项计算简单，即尽量使基本结构在多余约束力和外荷载作用下的弯矩图简单，便于图乘。,列出力法方程：,(物理含义？),作单位弯矩图和荷载弯矩图，计算系数项和自由项。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例1超静定梁】用力法求作图示两跨连续梁的弯矩图。已知。,【解】判别超静定次数，选基本结构。,列出力法方程：,作单位弯矩图和荷载弯矩图，计算系数项和自由项。,解方程：,作最终弯矩图：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例2超静定桁架】用力法求图示桁架内力。各杆。,【解】2次超静定，选基本结构如图。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例2】,力法方程：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例2】,解方程，得,所有杆件最终内力均采用叠加法计算，以AB杆件为例：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【思考题】上述计算中基本结构（一）是将多余的桁架杆件切断，请考虑能否将多余的桁架杆件去掉，选择基本结构（二）进行力法计算？二者有何区别？,基本结构的力法方程：,力法方程表示与多余约束力对应的几何条件，两个不同基本结构多余约束力的作用点发生了变化，故力法方程应该不同。,基本结构的力法方程：,两个方程的主系数计算不同，的方程主系数比的方程主系数大，各多了一根斜杆的内力功项，其大小刚好等于方程等号右边项的系数。故两个方程等效。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例3超静定刚架】用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。,【解】2次超静定，选基本结构如图。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例3超静定刚架】用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。,图乘可求：,力法方程：,解得：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例3超静定刚架】用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。,叠加做最终弯矩图：,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【解】1次超静定。,【例4超静定组合结构】图示加劲梁，已知横梁，试用力法计算当分别为和时梁的弯矩图。并分析等于多少时梁的正负弯矩相等？,当时，,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【解】,【例4超静定组合结构】图示加劲梁，已知横梁，试用力法计算当分别为和时梁的弯矩图。并分析等于多少时梁的正负弯矩相等？,当时，,有无下部链杆时梁内最大弯矩之比,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【例4超静定组合结构】图示加劲梁，已知横梁，试用力法计算当分别为和时梁的弯矩图。并分析等于多少时梁的正负弯矩相等？,当时，,梁的弯矩与两跨连续梁相同。,通过改变连杆的刚度，可以调整梁内弯矩分布。,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【解】设竖杆压力为X1时，梁正负弯矩相等。,【例4超静定组合结构】图示加劲梁，已知横梁，试用力法计算当分别为和时梁的弯矩图。并分析等于多少时梁的正负弯矩相等？,负弯矩（叠加原理）,设最大正弯矩发生在离支座距离为S处，此处剪力应为零，有,6-4力法典型方程和力法应用例题,SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.,StrucuralAnalysis,力法应用例题,【解】,【例4超静定组合结构】图示加劲梁，已知横梁，试用力法计算当分别为和时梁的弯矩图。并分析等于多少时梁的正负弯矩相等？,由得,对应的力法方程为,从而，,6-